函数的图像复习三步曲

我们知道，函数图像能直观反映出函数的所有性质.抓住了函数的图像，也就抓住了函数的“命脉”.那么，在高考一轮复习中，我们应如何复习函数的图像呢？请看“函数图像复习三步曲”.

第一步、学会作图

例1分别画出下列函数的图像：

（1）y=|lg（x-1）|；（2）y=2x+1-1；（3）y=x2-|x|-2.

解析：（1）首先作出y=lgx的图像C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y=lg（x-1）的图像C2，再把C2在x轴下方的图像作关于x轴对称的图像，即为所求图像C3：y=|lg（x-1）|.如图（1）所示（实线部分）.

（2）y=2x+1-1的图像可由y=2x的图像向左平移1个单位，得y=2x+1的图像，再向下平移一个单位得到，如图（2）所示.

（3）y=x2-|x|-2=x2-x-2（x≥0）

x2+x-2（x<0），其图像如图（3）所示.

小结：画函数图像的一般方法：

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出.

（2）图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

第二步、学会识图

例2（1）（2014·浙江改编）如下图，在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图像可能是（填序号）

解析：只有④符合，此时0

（2）（2014·山东改编）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图像如图所示，则a的取值范围是，c的取值范围是.

解析：由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，

∴0

∵图像与x轴的交点在区间（0，1）之间，

∴该函数的图像是由函数y=logax的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0

（3）已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图像如图所示，则在下面四个图中，y=-f（2-x）的图像为.

解析：法一：由y=f（x）的图像知

f（x）=x（0≤x≤1），

1（1

当x∈[0，2]时，2-x∈[0，2]，

所以f（2-x）=1（0≤x≤1），

2-x（1

故y=-f（2-x）=-1（0≤x≤1），

x-2（1

法二：当x=0时，-f（2-x）=-f（2）=-1；

当x=1时，-f（2-x）=-f（1）=-1.观察各选项，可知应选B.

小结：对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：（1）定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；（2）定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；（3）函数模型法，也就是由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

第三步、学会用图

例3（1）（2014·江苏）已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是.

解析：画出二次函数的分析简图（如图）：

分析图像知：开口向上的二次函数f（x）在[m，n]上恒小于0的充要条件为f（m）<0，

f（n）<0.开口向下的二次函数f（x）在[m，n]上恒大于0的充要条件为f（m）>0，

f（n）>0.

∴f（m）<0，

f（m+1）<0.-22

-32

（2）（2014·江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2-2x+12|.若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.

解析：作出函数f（x）=|x2-2x+12|，x∈[0，3）的图像（如图），可知f（0）=12，当x=1时，f（x）极大=12，f（3）=72，方程f（x）-a=0在x∈[-3，4]上有10个零点，即函数y=f（x）的图像与直线y=a在[-3，4]上有10个交点，由于函数f（x）的周期为3，因此直线y=a与函数f（x）=|x2-2x+12|，x∈[0，3）的图像有4个交点，则a∈（0，12）.

（3）（2009·盐城模拟）若关于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是.

解析：在同一坐标系中画出函数f（x）=2-x2，g（x）=|x-a|的图像，如图所示.

若a≤0，则其临界情况为折线g（x）=|x-a|与抛物线f（x）=2-x2相切，由2-x2=x-a可得x2+x-a-2=0，由Δ=1+4·（a+2）=0，解得a=-94；

若a>0，则其临界情况为两函数图像的交点为（0，2），此时a=2.结合图像可知，实数a的取值范围是（-94，2）.

小结：函数图像的应用主要涉及两类问题：一类是利用函数的图像研究函数的性质.从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图像的对称性，分析函数的奇偶性；从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性和函数值的正负等，如本例中的第（1）题；另一类是利用函数的图像研究方程根的个数.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值，如本例中的第（2）、（3）题.

（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学）

我们知道，函数图像能直观反映出函数的所有性质.抓住了函数的图像，也就抓住了函数的“命脉”.那么，在高考一轮复习中，我们应如何复习函数的图像呢？请看“函数图像复习三步曲”.

第一步、学会作图

例1分别画出下列函数的图像：

（1）y=|lg（x-1）|；（2）y=2x+1-1；（3）y=x2-|x|-2.

解析：（1）首先作出y=lgx的图像C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y=lg（x-1）的图像C2，再把C2在x轴下方的图像作关于x轴对称的图像，即为所求图像C3：y=|lg（x-1）|.如图（1）所示（实线部分）.

（2）y=2x+1-1的图像可由y=2x的图像向左平移1个单位，得y=2x+1的图像，再向下平移一个单位得到，如图（2）所示.

（3）y=x2-|x|-2=x2-x-2（x≥0）

x2+x-2（x<0），其图像如图（3）所示.

小结：画函数图像的一般方法：

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出.

（2）图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

第二步、学会识图

例2（1）（2014·浙江改编）如下图，在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图像可能是（填序号）

解析：只有④符合，此时0

（2）（2014·山东改编）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图像如图所示，则a的取值范围是，c的取值范围是.

解析：由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，

∴0

∵图像与x轴的交点在区间（0，1）之间，

∴该函数的图像是由函数y=logax的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0

（3）已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图像如图所示，则在下面四个图中，y=-f（2-x）的图像为.

解析：法一：由y=f（x）的图像知

f（x）=x（0≤x≤1），

1（1

当x∈[0，2]时，2-x∈[0，2]，

所以f（2-x）=1（0≤x≤1），

2-x（1

故y=-f（2-x）=-1（0≤x≤1），

x-2（1

法二：当x=0时，-f（2-x）=-f（2）=-1；

当x=1时，-f（2-x）=-f（1）=-1.观察各选项，可知应选B.

小结：对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：（1）定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；（2）定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；（3）函数模型法，也就是由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

第三步、学会用图

例3（1）（2014·江苏）已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是.

解析：画出二次函数的分析简图（如图）：

分析图像知：开口向上的二次函数f（x）在[m，n]上恒小于0的充要条件为f（m）<0，

f（n）<0.开口向下的二次函数f（x）在[m，n]上恒大于0的充要条件为f（m）>0，

f（n）>0.

∴f（m）<0，

f（m+1）<0.-22

-32

（2）（2014·江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2-2x+12|.若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.

解析：作出函数f（x）=|x2-2x+12|，x∈[0，3）的图像（如图），可知f（0）=12，当x=1时，f（x）极大=12，f（3）=72，方程f（x）-a=0在x∈[-3，4]上有10个零点，即函数y=f（x）的图像与直线y=a在[-3，4]上有10个交点，由于函数f（x）的周期为3，因此直线y=a与函数f（x）=|x2-2x+12|，x∈[0，3）的图像有4个交点，则a∈（0，12）.

（3）（2009·盐城模拟）若关于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是.

解析：在同一坐标系中画出函数f（x）=2-x2，g（x）=|x-a|的图像，如图所示.

若a≤0，则其临界情况为折线g（x）=|x-a|与抛物线f（x）=2-x2相切，由2-x2=x-a可得x2+x-a-2=0，由Δ=1+4·（a+2）=0，解得a=-94；

若a>0，则其临界情况为两函数图像的交点为（0，2），此时a=2.结合图像可知，实数a的取值范围是（-94，2）.

小结：函数图像的应用主要涉及两类问题：一类是利用函数的图像研究函数的性质.从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图像的对称性，分析函数的奇偶性；从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性和函数值的正负等，如本例中的第（1）题；另一类是利用函数的图像研究方程根的个数.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值，如本例中的第（2）、（3）题.

（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学）

我们知道，函数图像能直观反映出函数的所有性质.抓住了函数的图像，也就抓住了函数的“命脉”.那么，在高考一轮复习中，我们应如何复习函数的图像呢？请看“函数图像复习三步曲”.

第一步、学会作图

例1分别画出下列函数的图像：

（1）y=|lg（x-1）|；（2）y=2x+1-1；（3）y=x2-|x|-2.

解析：（1）首先作出y=lgx的图像C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y=lg（x-1）的图像C2，再把C2在x轴下方的图像作关于x轴对称的图像，即为所求图像C3：y=|lg（x-1）|.如图（1）所示（实线部分）.

（2）y=2x+1-1的图像可由y=2x的图像向左平移1个单位，得y=2x+1的图像，再向下平移一个单位得到，如图（2）所示.

（3）y=x2-|x|-2=x2-x-2（x≥0）

x2+x-2（x<0），其图像如图（3）所示.

小结：画函数图像的一般方法：

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出.

（2）图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

第二步、学会识图

例2（1）（2014·浙江改编）如下图，在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图像可能是（填序号）

解析：只有④符合，此时0

（2）（2014·山东改编）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图像如图所示，则a的取值范围是，c的取值范围是.

解析：由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，

∴0

∵图像与x轴的交点在区间（0，1）之间，

∴该函数的图像是由函数y=logax的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0

（3）已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图像如图所示，则在下面四个图中，y=-f（2-x）的图像为.

解析：法一：由y=f（x）的图像知

f（x）=x（0≤x≤1），

1（1

当x∈[0，2]时，2-x∈[0，2]，

所以f（2-x）=1（0≤x≤1），

2-x（1

故y=-f（2-x）=-1（0≤x≤1），

x-2（1

法二：当x=0时，-f（2-x）=-f（2）=-1；

当x=1时，-f（2-x）=-f（1）=-1.观察各选项，可知应选B.

小结：对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：（1）定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；（2）定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；（3）函数模型法，也就是由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

第三步、学会用图

例3（1）（2014·江苏）已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是.

解析：画出二次函数的分析简图（如图）：

分析图像知：开口向上的二次函数f（x）在[m，n]上恒小于0的充要条件为f（m）<0，

f（n）<0.开口向下的二次函数f（x）在[m，n]上恒大于0的充要条件为f（m）>0，

f（n）>0.

∴f（m）<0，

f（m+1）<0.-22

-32

（2）（2014·江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2-2x+12|.若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.

解析：作出函数f（x）=|x2-2x+12|，x∈[0，3）的图像（如图），可知f（0）=12，当x=1时，f（x）极大=12，f（3）=72，方程f（x）-a=0在x∈[-3，4]上有10个零点，即函数y=f（x）的图像与直线y=a在[-3，4]上有10个交点，由于函数f（x）的周期为3，因此直线y=a与函数f（x）=|x2-2x+12|，x∈[0，3）的图像有4个交点，则a∈（0，12）.

（3）（2009·盐城模拟）若关于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是.

解析：在同一坐标系中画出函数f（x）=2-x2，g（x）=|x-a|的图像，如图所示.

若a≤0，则其临界情况为折线g（x）=|x-a|与抛物线f（x）=2-x2相切，由2-x2=x-a可得x2+x-a-2=0，由Δ=1+4·（a+2）=0，解得a=-94；

若a>0，则其临界情况为两函数图像的交点为（0，2），此时a=2.结合图像可知，实数a的取值范围是（-94，2）.

小结：函数图像的应用主要涉及两类问题：一类是利用函数的图像研究函数的性质.从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图像的对称性，分析函数的奇偶性；从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性和函数值的正负等，如本例中的第（1）题；另一类是利用函数的图像研究方程根的个数.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值，如本例中的第（2）、（3）题.

（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学）