时标上的二阶中立型泛函微分方程的周期解

庞丽艳

时标上的二阶中立型泛函微分方程的周期解

庞丽艳

(宁夏师范学院数学与计算机科学学院，宁夏，固原 756000)

利用叠合度理论研究了一类时标上的二阶中立型泛函微分方程，得到方程

周期解；二阶中立型泛函微分方程；延拓定理；时标

1990年， Hilger S[1]的博士论文首次提出时标上动力方程的研究后，吸引着众多学者对时标上动力方程的广泛研究，推动了时标理论的快速发展。目前，时标上中立型泛函微分方程已在生物、经济、机械等诸多领域有着广泛的应用[2-5]，因此研究中立型泛函微分方程有重要的意义。Wu J[6]应用文献[7]中的定理及不动点指数定理研究中立型二阶微分方程

正周期解的存在性。

基于时标理论把连续的和离散的进行了统一，本文考虑下面时标上的二阶中立型微分方程

(2)

其中和都是ω-周期函数，是常时滞，关于第一个分量是-周期函数，关于第二个分量不是单调递减的，且。

1 准备知识

首先，引入以下定义和引理，详见文献[8-11]。

引理1[8]假设A是Banach空间X上的一个有界线性算子，若，则有有界的逆算子,且。

引理2[8] 假设是Banach空间X上的一个有界线性算子，且逆算子存在，对任意A：X→X，若，则。

引理3[8] 令是一个有界开集，是一个连续算子且在上是L-紧的，假设

a、由于下层挡板主要作用是促使煤粉气流产生初级旋流，而现有上层挡板部分或大部分处于全开位置，当煤粉气流进入上层挡板后，上层挡板不但没有起到增加旋流强度的作用，反而起到了降低旋流强度的均流板作用，从而使得煤粉气流旋流强度降低，沿分离器轴向运动，分离效果变差，因此即使下层挡板在较大范围内调整，而当煤粉气流通过上层挡板后，旋转强度显著降低且与调整前后变化不大，从而造成分离器挡板在较大范围内调整时煤粉细度变化较小；

(i)对每个及有；

(ii)对每个，；

(iii)Brouwer 度。

则在上至少有一个解。

定义 ，其上的范数为，，其上的范数为，则和分别带上范数和为Banach空间。

令映射定义为

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(3)

且。

为了验证系统（3）至少有一个ω-周期解，引入以下概念和结果。

令X，Y为两个矢量空间，是一个线性映射，是一个连续映射，若dimKerL=codim Im L且ImL在Y上紧，则映射L称为指数为0的Fredholm映射。若L是指数为0的Fredholm映射且存在两个连续映射P：X→X和Q：Y→Y使得ImP=KerL，KerQ=ImL=Im（I-Q），则映射是可逆的，定义其可逆映射为。若Ω是X的一个有界开子集，是一个有界集且是紧的，则映射称为上的L-紧集。若Im Q与KerL同构，则存在一个同构映射J:Im Q→KerL。

焊接试验：试件按规定组对后，用CO2气体保护焊焊接拘束焊缝，焊接时严格控制了试件的角变形。拘束焊缝焊接24h后，完成试验焊缝的焊接。对板厚32 mm的钢板不预热，对板厚50mm的钢板预热80℃，分别采用焊条电弧焊和气体保护焊进行焊接试验。

2 主要结果

定义一个线性算子

此外，语料中的古汉语词、古越语底层词、古楚语词等，需花大量的时间和精力对本字进行甄别和考证。要做到这一点，不仅需要深厚的语言学功底和严谨的治学态度,而且需要开阔的学术视野和敏捷的思维能力。

， ，

其中。

线性算子

不失一般性，假设最后一个资源余额的分配部门仅在{1,2}中选择且si-≤s≤si+,i=1,2.则应该将余额分给部门i=1，如果

， ，对 ，得到 ， 其中且为常数。 由, 有， 负载F:采用液压缸加载。实验装置采用加载液压缸与工作液压缸的活塞杆处于同心位置直接对顶的加载方案，调节加载缸工作腔的油压大小，即可使调速回路获得不同的负载值。 即，则。 令是方程的一个解，则。 显然，因此在中是紧的，并且dim KerL = codim Im L = 1，所以算子L是指数为0的Fredholm算子。定义连续映射 ，

；

特设智能感知系统，泡沫感知，给你定制漂洗次数，还你干净衣物。水位感知，多少衣服放多少水，自动匹配水位，省水由它开始。筒内温度感知，呵护娇柔的衣物纤维不受损。衣量感知，衣量多少，自动测量，任何时候给你最佳匹配方案。

。

因此，。令算子

，

则方程(2)至少有一个-周期解。

证明：这里分三步来验证。

对(4)两边从0到进行积分，有

由(5)得到

由(5)、(8)得到

由(5)得到

故由引理1及（4）有

由度理论得到，

例子 考虑下面的方程

其中

通过计算得到

应用定理1得到方程(12)至少有一个2-周期解。

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[10] Bohner M Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications[M]. Boston: Birkhaser, 2001.

PERIODIC SOLUTION OF SECOND-ORDER NEUTRAL FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON TIME SCALES

PANG Li-yan

(School of Mathematics and Computer Science,Ningxia Teachers University, Guyuan, Ningxia 756000, China)

We consider one type of second-order neutral functional differentialequations on time scales. By applying the continuation theorem of coincidence degreetheory, we establish the existence of periodic solutions to the equation

periodic solution; second-order neutral functional differential equation; continuation theorem; time scales

O175.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.03.004

1674-8085(2014)03-0017-05

2014-02-21；

2014-04-06

宁夏回族自治区自然科学基金项目(NZ13215)；宁夏师范学院校级科研项目(YB201438)

庞丽艳(1986-)，女，陕西西安人，助教，硕士生，主要从事微分方程定性理论研究(Email：Lanhai.happy@163.com).