对课本一些例题解法的探讨

陕全录

浙教版八年级（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法笔者认为值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一个完全平方式，则– 4（n+1）2+16n=0

化简，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常数n的值为1

本题已经说明n为常数，代数式4x2+8（n+1）x+16n是关于x一个完全平方式，也就是说它是关于x的一个二次三项式，二次项系数为4，一次项系数为8（n+1），常数项为16n，那么，这个二次三项式可以化为4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一个完全平方式，一个二次三项式是一个完全平方式应该满足：一次项系数一半的平方等于常数项，即（n+1）2=4n。

笔者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一个关于x的二次三项式

∴（n+1）2=4n（一次项系数一半的平方等于常数项）

化简，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如课本P36对一元二次方程求根公式是基于配方法的基础上进行推导，在这个过程中应当要进行两次讨论，具体过程如下：

对于ax2+bx+c=0（a≠0），两边同除以a，得x2+x+=0移项得x2+x=-；

方程两边同时加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±号，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明显，当b=c=0时，x=0；当c=0时，x1=0；x2=-；当b=0时，且a、c同号时，此方程无实数根，a、c异号时，此方程的解为x1=-；x2=。

其实，对一元二次方程求根公式的推导也可以从完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）两边同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移项，得

4a2x2+4abx=-4ac，两边同时加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，这样的推导对各项系数的讨论可以减弱。

实际上课本中有多处可以商讨的地方，这些只是我个人的看法，有不周之处还望指正。

（作者单位：浙江宁波七中）

浙教版八年级（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法笔者认为值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一个完全平方式，则– 4（n+1）2+16n=0

化简，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常数n的值为1

本题已经说明n为常数，代数式4x2+8（n+1）x+16n是关于x一个完全平方式，也就是说它是关于x的一个二次三项式，二次项系数为4，一次项系数为8（n+1），常数项为16n，那么，这个二次三项式可以化为4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一个完全平方式，一个二次三项式是一个完全平方式应该满足：一次项系数一半的平方等于常数项，即（n+1）2=4n。

笔者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一个关于x的二次三项式

∴（n+1）2=4n（一次项系数一半的平方等于常数项）

化简，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如课本P36对一元二次方程求根公式是基于配方法的基础上进行推导，在这个过程中应当要进行两次讨论，具体过程如下：

对于ax2+bx+c=0（a≠0），两边同除以a，得x2+x+=0移项得x2+x=-；

方程两边同时加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±号，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明显，当b=c=0时，x=0；当c=0时，x1=0；x2=-；当b=0时，且a、c同号时，此方程无实数根，a、c异号时，此方程的解为x1=-；x2=。

其实，对一元二次方程求根公式的推导也可以从完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）两边同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移项，得

4a2x2+4abx=-4ac，两边同时加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，这样的推导对各项系数的讨论可以减弱。

实际上课本中有多处可以商讨的地方，这些只是我个人的看法，有不周之处还望指正。

（作者单位：浙江宁波七中）

浙教版八年级（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法笔者认为值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一个完全平方式，则– 4（n+1）2+16n=0

化简，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常数n的值为1

本题已经说明n为常数，代数式4x2+8（n+1）x+16n是关于x一个完全平方式，也就是说它是关于x的一个二次三项式，二次项系数为4，一次项系数为8（n+1），常数项为16n，那么，这个二次三项式可以化为4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一个完全平方式，一个二次三项式是一个完全平方式应该满足：一次项系数一半的平方等于常数项，即（n+1）2=4n。

笔者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一个关于x的二次三项式

∴（n+1）2=4n（一次项系数一半的平方等于常数项）

化简，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如课本P36对一元二次方程求根公式是基于配方法的基础上进行推导，在这个过程中应当要进行两次讨论，具体过程如下：

对于ax2+bx+c=0（a≠0），两边同除以a，得x2+x+=0移项得x2+x=-；

方程两边同时加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±号，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明显，当b=c=0时，x=0；当c=0时，x1=0；x2=-；当b=0时，且a、c同号时，此方程无实数根，a、c异号时，此方程的解为x1=-；x2=。

其实，对一元二次方程求根公式的推导也可以从完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）两边同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移项，得

4a2x2+4abx=-4ac，两边同时加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，这样的推导对各项系数的讨论可以减弱。

实际上课本中有多处可以商讨的地方，这些只是我个人的看法，有不周之处还望指正。

（作者单位：浙江宁波七中）