两参数强马氏过程之间的关系

杜保建，蔡定教，袁付顺

（安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳455000）

0 引 言

文献［1－5］研究了两参数各种马氏性之间的关系，得到了许多有意义的结果；文献［6－8］研究了各种停点之间的关系，为研究两参数强马氏过程之间的关系奠定了基础.在两参数马氏过程理论中，强马氏性是一个重要的基本概念.本文得到了两参数中参数变换为非随机的几种强马氏过程之间的关系.

设（Ω，F，P）为一概率空间，（E，E）为一可测空间，bE表示（E，E）上一切有界可测实值函数的集合，F的子σ－域流｛Fz；z∈ℝ2＋｝满足通常的（F1）和（F2）条件，｛Xz；z∈ℝ2＋｝是适应于｛Fz；z∈ℝ2＋｝且取值于可测空间（E，E）的随机过程.令X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝，则X 即为（Ω，F，P）上的两参数适应过程.扩张X到平面ℝ2上，对z∈ℝ2－ℝ2＋，令Xz＝c（常数），Fz＝｛Ω，Ø｝.

（F4）条件：F1z与F2z关于Fz条件独立.

1 引 理

由文献［3］中命题1和命题2可知：ℝ2＋上的1－马氏性、2－马氏性和宽将来马氏性分别等价于ℝ2上的1－马氏性、2－马氏性和宽将来马氏性.

定义1［7］取值于ℝ2＋上的随机点T＝（T1，T2），若T1为Fs1停时（即（T1≤s）∈Fs1，∀s∈ℝ＋），T2关于可测，则称T＝（T1，T2）为1－停点；若T取值于ℝ2，T1为Fs1停时，T2关于FT11可测，则称T为ℝ2上的1－停点.其中＝｛A∈F：∀s∈ℝ＋，A（T1≤s）∈Fs1｝.

类似可定义2－停点.

定义2［8］取值于ℝ2＋上的随机点T，若对∀z∈ℝ2＋，有（T≤z）∈Fz，则称T为停点；若（T≤z）∈F＊z，则称T为弱停点.若T的取值为ℝ2，对∀z∈ℝ2，有（T≤z）∈F＊z，则称T为ℝ2上的弱停点.

引理1 T是停点，则T既是1－停点，又是2－停点（充分性要求（F4）条件）.

证明可参见文献［7］中定理2.11或文献［8］中定理3.

定义3 若对任意的正整数n和任意1－停点（T1，ηi）（i＝1，2，…，n）及任意的实数s≥0和f∈bEn，有：

则称1－马氏过程X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝是1－强马氏过程.

注1 （T1＋s，ηi）（i＝1，2，…，n）都是1－停点.

类似可定义2－强马氏过程.

引理2 X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝为1－强马氏过程的充要条件是对任意正整数n和任意1－停点（T1，ηi）（i＝1，2，…，n）及任意的si≥0（i＝1，2，…，n）和f∈bEn，有：

证明：充分性显然，下面证明必要性.

1）显然.

2）过n个1－停点（T1＋si，ηi）（i＝1，2，…，n）做水平和垂直线，交点（T1＋si，ηj）（i，j＝1，2，…，n）都是1－停点.由定义3可知，对固定的i＝1，2，…，n，与σ｛XT1＋si，ηj，j＝1，2，…，n｝关于σ｛XT1，ηj，j＝1，2，…，n｝条件独立，从而与关于条件独立，再由

引理3 若随机过程X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝1－循序可测，即对任意的s≥0和Γ∈E，有

证明：对任意的s≥0，因为T是1－停点，所以限制在（T1≤u）上时，ω→（T1－s，T2，ω）是的可测变换.又因为 X 为1－循序可测，所以（t1，t2，ω）→Xt1t2（ω）是（（－∞，u］×ℝ＋×Ω，B（（－∞，u］×ℝ＋）×F1u）→（E，E）的可测变换，从而其复合变换ω→XT1－s，T2（ω）是（Ω，F1u）→（E，E）的可测变换，故XT1－s，T2∈.

类似有X为2－循序可测时的相应结果.

定义4［9］若对任意停点T及任意z≥0和f∈bE，有：

则称单点马氏过程X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝是单点强马氏过程.其中

定义5 若对任意停点T及任意正整数n，zi＝（si，ti）（i＝1，2，…，n，其中对每个i，si≥0或ti≥0）和任意f∈bEn，有：

则称宽将来马氏过程X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝是宽将来强马氏过程.显然宽将来强马氏过程一定是单点强马氏过程.

引理4 设随机过程X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝循序可测，即对任意的z′∈ℝ2＋及Γ∈E，有

T＝（T1，T2）是停点，则XT∧（T＋z）∈FT，其中z＝（s，t），s≥0或t≥0.

证明：因 为 T 是 停 点，所 以 限制在 （T≤z′）上 时，ω→ （T∧ （T＋z），ω）是 （ω，Fz′）→（（－∞，z′］×Ω，B（（－∞，z′］）×Fz′）的可测 变 换；又因 为 X 循 序 可 测，所 以 （z，ω）→Xz（ω）是（（－∞，z′］×Ω，B（（－∞，z′］）×Fz′）→（E，E）的可测变换，从而其复合变换ω→XT∧（T＋z）（ω）限制在（T≤z′）上是（Ω，Fz′）→（E，E）的可测变换，故 XT∧（T＋z）∈FT.

注2 若s≥0，t≥0时，即证XT∈FT，是文献［10］的命题2.2，它是引理4的特例.

显然，X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝循序可测，则X既是1－循序可测，又是2－循序可测.

证明：∀A∈F1，

定义6［11］设X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝是＊－马氏过程，若对ℝ2上的任一弱停点T及任意Ω→ℝ2的F＊T可测映射η≥T和任意f∈bE，有：

则称X是＊－强马氏过程.其中F＊T＝｛A∈F：∀z∈ℝ2，A（T≤z）∈F＊z｝.

由文献［12］中定理3.1的类似方法可得：设X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝是＊－强马氏过程，则对ℝ2上的任一弱停点T及任意Ω→ℝ2的可测映射ηi≥T（i＝1，2，…，n）和任意f∈bEn，有：

2 主要结果

定理1 设X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝是＊－强马氏过程，若X是1－循序可测，则X是1－强马氏过程；若X是2－循序可测，则X是2－强马氏过程.

从而X是1－强马氏过程.类似可证X是2－强马氏过程.

定理2 设X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝是1，2－强马氏过程，且循序可测，则X是宽将来强马氏过程.

证明：对任意停点T＝（T1，T2）及任意自然数n和任意zi＝（si，ti）（si≥0或ti≥0，i＝1，2，…，n），由引理1，T既是1－停点，又是2－停点，由引理4，XT∧（T＋zi）∈FT（i＝1，2，…，n）.

下面证明对任意的f∈bEn，有

为叙述简单，不失一般性，只证n＝3，z1≥0，z2≥0，z3≥0，将来是 XT1－s1，T2＋t1，XT1＋s2，T2＋t2，XT1＋s3，T2－t3的情况.记

由式（2），（3）及引理5得（FT，σ（Xτ1，Xτ2，Xτ3）σ（Xτ4，XT，Xτ6）），故X是宽将来强马氏过程.

定理3 若X＝｛Xz，Fz；z∈ℝ2＋｝既是1－强马氏过程，又是2－强马氏过程，且（F4）条件成立，则X是单点强马氏过程.

证明：对任意停点T＝（T1，T2），由引理1，T既是1－停点，又是2－停点.因为X是1，2－强马氏过程，所以XT∈，XT∈，再由T2∈，T1∈得，对任意的Γ∈E及任意的z＝（s，t）≥0，有（XT∈Γ，T1≤s，T2≤t）∈F1s∩F2t＝Fz（（F4）条件）［13－14］，故XT∈FT成立.

对任意的z＝（s，t）≥0及任意的f∈bE，由X是1－强马氏性得

关于σ（XT1，T2＋t）可测，从而存在有界E可测函数g，使得

又由X的1，2－强马氏性得

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