“截图”技术——解决立体几何问题的法宝

曹沈华

摘 要：“立体几何”是大部分中职学生数学学习的难点，尤其是“立体几何”中有关“线线、线面、面面”各种位置关系定理的判断、证明，以及各种位置关系性质的应用，不但困扰着学生，也困扰着教师。本文介绍如何以“截图”技术，破解这一难题。

关键词：截图 立体几何 数学教学

一、中职学生学习立体几何典型障碍分析

就学生来说，一是中职学生空间想象力较差，大部分学生对空间点线面的位置关系不能正确理解，无法完整分类呈现，经常把二维平面中的点线面位置关系，混淆到三维空间，使得学生在学习起点上就产生了大问题；二是学生初中“平面几何”知识储备薄弱。尤其是没有掌握“几何”知识的正确学习方法，造成大部分学生的制图、识图、用图能力很差。

就教师来说，教学中一般教师很少使用几何体实物、挂图、图片，或者是视频等直观手段，造成学生无法正确理解空间线面、面面中，有关平行、相交、异面、垂直等各种判定定理、性质定理，以至于在应用各类定理、性质证明问题时，学生往往手足无措，无法顺利解决。如此日积月累，大量的定理、性质得不到正确理解应用，造成学生整章立体几何学习的失败。

二、“截图技术”概述

鉴于以上现象，本文提出“截图”理念。所谓“截图技术”是指，学生在问题解决中要根据题目主要条件，把题中所给图形加以分解，并删除无关或是弱相关线面，重新呈现相关图形的形成过程，形成几个互相联系的“子图”从而实现图形的简化，并突出题中的关键点线面，以帮助学生顺利识图、用图，找到解题思路。如果题中未给定相关图形，则要求学生根据主要条件，逐步添加线面，同样要形成系列“子图”，在“子图”中呈现不同关键线面、角度或是距离等，而不是像以往给出图形的整体。因此，笔者把“根据条件呈现图形形成过程，或是分解有图形”的技术称为“截图”，教学中常常利用“截图”引导学生分析解决立体几何问题。

三、立体几何“截图技术”的一般应用路径

“截图技术”是笔者的新提法，是一种方法创新。笔者认为有必要把它作为一种学习方法加以肯定，提供给教师、学生。其应用路径简述如下。

1.辨

分析题目条件，按题目叙述顺序，确定题中关键点、直线和平面，以及题中其他无关或是弱相关的线面等。

2.画

结合题目已给图形，重新逐步绘制以上关键点线面，去掉无关或是弱相关的线面，获得有密切联系的系列“子图”。

3.析

根据题中所诉平行、垂直等位置关系，或是各种角度、距离等条件，结合所证、所求实际问题，来分析应用以上系列“子图”，获得问题解决思路。

4.写

整理以上解题思路，按照立体几何书写要求，规范使用各种符号语言，正确严密表达逻辑过程，以解决问题。

下面试举一例，说明“截图”技术的应用策略。

典型例题：在正方体AC1中，求证：直线DB1⊥平面A1BC1。

分析：本题属于线面垂直的证明，需要用到线面垂直判定定理、性质定理、三垂线定理及其逆定理等，并涉及多条直线多个平面，图形比较复杂。根据“截图”应用路径，具体分析如下：

辨：显然，原图中点线面关系复杂，学生很难清晰辨认。实际上，本题仅需证明DB1⊥平面A1BC1内的两条相交直线，即证明DB1⊥A1C1，且DB1⊥A1B，而与其他无关。所以，可以将其他无关线面暂时删除。

画：为分别证明DB1⊥A1C1与DB1⊥A1B，可以实施分别截图，保留所需相关线面，去掉无关点线面等得到两个子图。

析：（1）首先根据子图，DD1⊥上底面A1C1→斜线DB1，以及斜线DB1在上底面的射影D1B1；其次，因为正方体上底面为正方形，则射影D1B1⊥平面内直线A1C1；最后，据三垂线定理，则斜线DB1⊥平面内直线A1C1（结论1）。

（2）同理可得，斜线DB1⊥平面内直线A1B。

（3）所以，由DB1⊥A1C1和DB1⊥A1B，可以推出直线DB1⊥平面A1BC1。

写：整理思路，规范使用符号语言，表达逻辑过程。

通过以上案例笔者认为，中职学生学习立体几何的关键有三：一要正确把握题目条件，二要准确判断题目类型，三要精确分析线面关系，而这些都离不开作图，或是对已有图形的深入。因此截图技术在立体几何问题解决中，有着更为广阔的运用。

四、小结

通过长期实践发现，“截图技术”不但可以帮助学生分析题目条件，想象线面关系，顺利找到题中涉及的主要线面，迅速发现证明思路，长期坚持还可以帮助学生养成独立思考习惯，提高学生制图、识图能力，培养学生正确的问题分析思路，从而树立学生学习的信心，提高课堂教学实效性。因此，对中职学生来说，“截图”是一种比较适合立体几何初学者的方法。

（作者单位：海盐县技工学校）