“鸡兔同笼”问题的一般化拓展

刘慧 刘宪升

【摘要】为了使“鸡兔同笼”问题模型具有更广泛的适用范围，在简述其拓展现状的基础上，应用一般化方法，通过逐步减弱问题条件的限制，给出了三个类型的拓展;并进一步将其拓展为“鸡兔同笼”问题的一般模型，并用假设法给出了其一般解，得到了一般解的公式.

【关键词】鸡兔同笼;一般化;拓展;假设法

“鸡兔同笼”问题一进入小学教材，就引发了广大教师的教研热情.屡屡刊发的教学设计、实录与探究等文章，在传承我国古代数学文化的基础上，尽情地展现了其有趣、益智、典型性的特点.尤其是抓住典型性将其拓展为一类问题，既扩大了作为其重要解法“假设法”的应用范围，又展现了其本身难以展现的现实意义.然而，纵观诸多文献对这个问题的拓展，笔者认为还有更大的拓展空间，本文就对这个问题作一探讨.

一、“鸡兔同笼”问题拓展现状简述

不少文献对“鸡兔同笼”问题的拓展，往往以枚举实例（如“龟鹤”“人狗”“钱币”“人船”等问题）的形式来进行，希望学生通过这些例子感悟具有相似数量关系的问题模型，掌握这类问题的解法.当然，也有进行归纳总结的，但给出一般性结论的不多.文[1]中列举了10类常见的问题，给出了具体实例，并归纳如下：

“‘雞兔同笼展现的是这样一类问题：把有联系的两种事物放在一起描述，已知这两种事物的总数和关于这两种事物本身特有的另一个数量，求这两种事物各自的数量.”

这是有关文献中较为全面的归纳，且基本能包含其他文献通过枚举给出的拓展实例.在这些拓展中，都用其他两种事物将原问题的主体“鸡”和“兔”置换下来，且这两种事物的总数对应“鸡”和“兔”的总只数，它们的另一方面数量对应着“鸡”和“兔”的腿数，总数对应着“鸡”和“兔”的总腿数.但这些拓展只是放开了鸡和兔固有腿数的条件限制.

二、“鸡兔同笼”问题的一般化拓展

一般化方法是从特殊到一般，从个别到普遍的认识方法.从数学方法论的角度讲，命题的一般化就是通过放宽或取消原命题的某个或某几个约束条件（即减弱命题条件的限制），使其从特殊的数学命题上升为一般的数学命题.下面，我们从问题的条件入手，通过一般化将其拓展.为此，先给出“鸡兔同笼”问题，并将其条件进行分解.

“鸡兔同笼”问题都可简述为以下命题.

原命题 鸡兔同笼，已知总头数和总腿数，鸡、兔各几只？

由于总头数和总腿数的数量变化不影响问题的拓展，故未给出具体数.

这个命题有以下两方面条件：

一是作为主体的鸡兔自身固有的相关数量特征条件（隐含条件）：

（1）一只鸡和一只兔都有1个头;

（2）一只鸡有2条腿，一只兔有4条腿.

二是已知的条件：

（3）所有鸡兔头数总和;

（4）所有鸡兔腿数总和.

另外，在进行一般化时，拓展问题中的两种事物都与“鸡”“兔”对应，但它们本身固有的数量特征不一定和“鸡兔”一样，为了方便，将这两种事物称为“怪鸡”“怪兔”.

下面，应用一般化方法进行拓展.

拓展一

将原命题中的条件（2）放开，即放开鸡兔固有腿数的限制，保留其他条件不变，就拓展为下面的问题类型.

类型一：本身固有两方面特征数量的两种事物，其一方面特征数量都是1.有一些两种事物，它们该两方面的数量之和均已知，求这两种事物各多少.

例1 一个信封里放有1元和 5元的钞票，共 8 张，24 元，信封里 1 元和 5 元的钞票各有多少张？

把1张1元的钞票看作“1个头1条腿的怪鸡”，把1张5元的钞票看作“1个头5条腿的怪兔”，可用“假设法”给出下面的解.

解 假设8张都是1元的，则有24-1×8÷5-1=4（张）5元的，故1元的有8-4=4（张）.

此拓展，其实就是大多数文献中枚举或归纳的拓展，但不限于两种事物的总和，只需知道它们本身一方面的特征数量为1即可.正是这一不可忽略的因素，才使我们可进一步进行下面的拓展.

拓展二

在拓展（一）的基础上，再将原命题中的条件（1）放开，即同时放开鸡兔固有的头数和腿数的限制，保留条件（3）（4），则可拓展为下面问题类型.

类型二：一些本身固有两方面特征数量的两种事物，它们这两方面的数量之和均已知，求这两种事物各多少.

例2 一辆三轮车有2个座位，一辆四轮车有4个座位.若干辆三轮车和四轮车共有24个车轮，20个座位.问三轮车和四轮车各多少辆？

把一辆三轮车当作一只2个头3条腿的“怪鸡”，一辆四轮车当作一只4个头4条腿的“怪兔”，可用“假设法”给出如下解.

解 假设20个座位都是四轮车的，则有20÷4=5（辆）四轮车，有4×5=20（个）车轮，比实际车轮少24-20=4（个）.四轮车的一个车座换成三轮车的一个车座，车轮多3÷2-4÷4=0.5（个），需要换4÷0.5=8（个）车座，故三轮车有8÷2=4（辆），四轮车有5-8÷4=3（辆）.

由此可见，“鸡兔同笼”问题并不限于知道这两种事物的总数，只要知道两种事物固有的两方面特征数量之和即可.此拓展是拓展（一）的进一步发展，它包含了类型一所不能包含的大量数学问题.

拓展三

在拓展一、二的基础上，再将原命题中的条件（3）或（4）放开，即再将鸡与兔的头数或腿数之和放开，使其至少一个为差，这就有一和一差、两个都是差的情况，而两个都是差的情况又包含一大一小、都大或都小的情况.下面分别举例说明，然后给出一般结论.

例3 某次数学测验，答对一题得5分，答错一题倒扣1分.小华共答了20道题，得了76分.问小华答对和答错了各几道题？

小华所得分是他答对题的得分与答错题的扣分之差，故此例是一个和、一个差的情况.将答对的一题对应1个头5条腿的“怪鸡”，将答错的一题对应1个头1条腿的“怪兔”，可用“假设法”给出如下解.

解 假设小华20道题全答对了，应得5×20=100（分），比实际得分多100-76=24（分）.将一道答对的题换成一道答错的题，所得分减少5+1=6（分），故答错了24÷6=4（道）题，答对了20-4=16（道）题.

例4 鸡兔同笼，鸡头比兔头多3个，鸡腿比兔腿多2条.问鸡与兔各几只？

此例已知两个差，且都多的情况，可用“假设法”给出如下解（都少的情况可转化为都多的情况，不另举例）.

解 假设有3只鸡，则兔有0只，有0条腿.可据假设和已知，兔腿比0条多2×3-2=4（条）.同时增加一只鸡和一只兔（保持鸡头比兔头多3个），相当于兔的腿数增加4-2=2（条），故应增加4÷2=2（只）兔，即兔有2只，鸡有3+2=5（只）.

例5 某学期某班一、二组同学各平均获得3个和2个小红星，及德育加2分和3分的奖励.一组比二组获得的小红星多8个，德育加分少3分.两小组各有几名同学？

此例是已知两个差，且一个多一个少的情况.将一组的每名同学对应着3个头2条腿的一只“怪鸡”，将二组的每名同学对应着2个头3条腿的一只“怪兔”，可用“假设法”给出如下解.

解 假设一组有8个小红星，则二组应获得德育加分3+2×8÷3=253（分）.一、二组同学同时平均增加一个小红星，二组同学平均多增加3÷2-2÷3=56（分），故应增加253÷56=10（个）小红星，故二组有10÷2=5（人），一组有8+5×2÷3=6（人）.

综上所述，此拓展不管是哪种情况，都可用“假设法”来解，都属于“鸡兔同笼”类问题.这一拓展的问题类型可叙述如下.

类型三：一些本身固有两方面特征数量的两种事物，已知它们这两方面数量之一和一差或两差，求这两种事物各多少.

三、“鸡兔同笼”问题的一般模型及其一般解

（一）“鸡兔同笼”问题的一般模型

将上面的三次拓展，再进一步整合和一般化，可得到更一般的拓展，称之为“鸡兔同笼”问题的一般模型，叙述如下.

一般模型：一些本身固有两方面特征数量的两种事物，它们这两方面的数量之和或差均已知，求这两种事物各多少.

（二）“鸡兔同笼”问题的一般解

在一般模型中，为叙述方便，以“怪鸡”与“怪兔”来代表两种事物，给出如下一般命题，并用“假设法”给出其一般解.

命题：“怪鸡”“怪兔”分别有a，b个头和c，d条腿.一些“怪鸡”“怪兔”同笼，它们的头的个数之和（差）为m，腿的条数之和（差）为n.“怪鸡”“怪兔”各几只？（a，b，c，d均不为零，且ad≠bc）

下面先把m，n当作和给出解法.

解 假设“怪鸡”的头有m个，则有c（m÷a）条腿，比实际少n-c（m÷a）条腿.把一个“怪鸡”头换成一个“怪兔”头多d÷b-c÷a条腿，故应换上[n-c（m÷a）]÷（d÷b-c÷a）個“怪兔”头，“怪兔”有：

[n-c（m÷a）]÷（d÷b-c÷a）÷b=（an-cm）÷（ad-bc）（只）.

因此，“怪鸡”有

{m-[（an-cm）÷（ad-bc）]b}÷a=（dm-bn）÷（ad-bc）（只）.

只列算式为：

“怪兔”有：[n-c（m÷a）]÷（d÷b-c÷a）÷b=（an-cm）÷（ad-bc）……①

“怪鸡”有：{m-[（an-cm）÷（ad-bc）]b}÷a=（dm-bn）÷（ad-bc）（只）……②

注：关于m，n一个为和一个为差，或两者都为差的情况，只要引入负数的概念，上面的解法都适用.这时把“怪鸡”“怪兔”总头数或总腿数少的一方固有的该特征数量记为负数，多的一方记为正数，这样m，n就都可看作代数和来处理.且上面①与②可作为这类问题的公式用，对具体问题只需将对应数字代入即可.下面用例5来进行说明.

在例5中，将一组的每名同学对应着有3个头-2条腿的一只“怪鸡”，将二组的每名同学对应着有-2个头，3条腿的一只“怪兔”.此时，一组比二组小红星多8个可看成共有8个头，德育加分少3分看成共有3条腿.将相应数字代入①与②中即可获得下面的解.

解 二组同学有：

[3-（-2）（8÷3）]÷[3÷（-2）-（-2）÷3]÷（-2）=5（人）;

一组同学有：[8-5（-2）]÷3=6（人）.

当然，也可将相应数字代入①与②化简后的式子求解（略）.

上面“鸡兔同笼”问题的一般模型，可以说包含了小学乃至初中的大量数学应用题，在扩大“假设法”应用范围的同时，对学生解题策略和思路的形成及迁移具有重要意义，有利于学生从题海中解放出来.

【参考文献】

[1]杨忠.关于“鸡兔同笼”问题的教学思考[J].教育实践与研究（A），2013（6）.

[2]郑桂元.分析比较 揭示内涵——“鸡兔同笼”教学设计[J].小学教学设计，2013（10）.

[3]许卫兵，朱乐平.感受“模型”的力量——“鸡兔同笼”教学新解[J].小学教学（数学版），2009（6）.

[4]王建.在一题多解中培养数学思维的广阔性[J].数学学习与研究，2010（4）.