线性非齐次常系数微分方程待定系数法的严格证明及其解的有界性讨论

尹伯亚

【摘要】大多数书本在待定系数法这个很重要很好用的方法上没有给出非常严格的证明，以特殊情况达到更容易理解的目的，本人这里给出一个严格的证明.以一个简单的问题引出满足一定条件的线性非齐次常系数微分方程有界性的证明.本文为纯数学推导，无任何参考文献，旨在解决在学习过程中出现的问题和对遇到的有趣问题进行延伸.

【关键词】待定系数法;引例;有界性

1.

待定系数法的严格证明

考虑方程dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx=（b0+b1t+b2t2+…+bmtm）est.

L[x]=dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx.

将x=yest代入，可得

dixdti=∑ik=0Ckiyi-kestsk（i=1，2，…，n）.

两边eat约掉，以下这里不再考虑est，

作和∑ni=0aidixdti.

我们考虑y（i）（i=0，1，2，…，n）的系数，

至少dkxdtk（k≥i）才有可能产生y（i）.可得系数

Ji=∑nk=iCikan-isk-i=1i！∑nk=ik！（k-i）！an-ksk-i（a0=1，0！=1）.

Jndnydtn+Jn-1dn-1ydtn-1+Jn-2dn-2ydtn-2+…+J1dydt+J0y=b0+b1t+b2t2+…+bmtm.

考虑dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…an-1dxdt+anx的特征多项式：

λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+a.

通过求导可以发现特征多项式的i阶导就是i！Ji其中将λ换成指数系数s.

i重根满足f（k）=0（k=1，2，…，i-1），f（i）≠0.

若s是特征方程的i重根，则Jk=0（i=0，1，…，i-1），Ji≠0.

y=φ（t）=tl（d0+d1t+d2t2+……+dmtm）.

显然只有满足l=i，才能使等式两边可能相等

而又由x=yest，

则可假设x=ti（d0+d1t+d2t2+…+dmtm）est.

x代入初始方程两边相等便可列出等价方程，此方程一定可解出di（i=0，1，…，m），这样我们便完整地证明了线性非齐次常系数方程待定系数法求特解的方法.

2.满足一定条件的微分方程有界性引例

给定方程x″+8x+7=q（t），已知q（t）在0≤x≤+∞连续，

（1）若q（t）在0≤x≤+∞上有界，则此方程的每一个解在0≤x<+∞上有界.

（2）若limt→+∞q（t）=0，则此方程每一个解x（t）都有limt→+∞x（t）=0.

（1）解：可列出特征方程λ2+8λ+7=0，

得λ1=-1，λ2=-7.

∴相应的线性齐次方程的解为C1e-t+C2e-7t（C1，C2为任意常数）.

由常数变异法取x=C1（t）e-t+C2（t）e-7t（*）.

C′1（t）e-t+C′2（t）e-7t=0，

-C′1（t）e-t-7C′2（t）e-7t=q（t）.

其系数行列式为e-te-7t

-e-t-7e-7t

将e-t和e-7t提出，则行列式为e-8t11

-1-7=-6e-8t

由cramer法则

C′1（t）=0e-7t

p（t）-7e-7t/（-6e-8t）=e-7tp（t）6e-8t=etp（t）6.

先只考虑C1（t），

可取C′1（t）的特殊积分∫t0etp（t）6dt作为C1（t）.

代回（*）中，

考慮I=e-t∫t0etp（t）6dt的有界性，

由于p（t）有界，不妨设p（t）<6M，

则

I

则I有界.

同理可证C2（t）e-7t有界.

由常数变异法可知（*）为一特解，则这一特解有界

可得方程任一解均可表示为

x=（*）+C1e-t+C2e-7t.

显然x在（0，+∞）有界.

（2）解：同题（1）中可以得到方程的解为（*）+C1e-t+C2e-7t.

显然对任一C1，C2，C1e-t+C2e-7t均是趋于无穷极限为零的.

那么就只需讨论（*）的极限.

同样我们先考虑可取C′1（t）的特殊积分∫t0etp（t）6dt作为C1（t），

I=e-t∫t0etp（t）6dt的极限.

∵limt→+∞q（t）=0，

∴对6ε>0，总N>0，t>N时，q（t）<6ε

由于t总会趋于无穷，不妨取t>N.

I=∫N0etp（t）6dtet+∫tNetp（t）6dtet=I1+I2.

显然定积分是常数对I1取t→+∞极限为0.

I2<ε∫tNetdtet=ε1-eNet<ε.

这样就证明了I取t→+∞时极限为0.

同理可证C2（t）e-7t极限为0.

x=（*）+C1e-t+C2e-7t，任一确定的C1，C2，limt→∞x（t）=0.

3.满足一定条件的微分方程有界性说明分析证明

经过引例的证明，可以发现引例的方程的特征多項式的解均为负实值.

不妨设一微分方程dnxdtn+a1dn-1xdtn-1+a2dn-2xdtn-2+…+an-1dxdt+anx=p（t）的特征多项式的解为b1，b2，…，bn均为负实值且互不相同，p（t）在（0，+∞）上有界来讨论其解的有界性.

证：显然方程对应的齐次方程的解为：

C1eb1t+C2eb2t+…+Cnebnt.

与引例同样，根据常数变异法：

C′1（t）eb1t+C′2（t）eb2t+…+Cn′（t）ebnt（*）.

可列出方程：

C′1（t）eb1t+C′2（t）eb2t+…+Cn′（t）ebnt=0

b1C′1（t）eb1t+b2C′2（t）eb2t+…+bnCn′（t）ebnt=0

……

b1n-1C′1（t）eb1t+b2n-1C′2（t）eb2t+…+

bnn-1Cn′（t）ebnt=p（t）

可得系数行列式

J=eb1teb2t…ebnt

b1eb1tb2eb2t…bnebnt

b1n-1eb1tb2n-1eb2t……bnn-1ebnt

=e（b1+b2+…+bn）t11…1

b1b2…bn

bn-11bn-12…bn-1n

=e（b1+b2+……+bn）t∏1≤i

这里也先只考虑C1（t），

通过cramer法则，可以解得：

C′1（t）=0eb2t…ebnt

0b2eb2t…bnebnt

p（t）b2n-1eb2t……bnn-1ebnt/J

=（-1）np（t）e（b2+b3+…+bn）t∏2≤i

=（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）

同样取C1（t）=∫t0（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）dt.

p（t）有界，则取p（t）

这样就得到C1（t）eb1t≤eb1t∫t0（-1）np（t）eb1t∏ni=2（bi-b1）dt

同理可证Ci（t）ebit（i=2，3，…，n）有界.

又方程的解x=*+C1eb1t+C2eb2t+…+Cnebnt，

显然Ciebit（i=1，2，3，…，n）在（0，+∞）有界.

∴方程的任一解x均在（0，+∞）有界.

这样就证得了满足一定条件的微分方程的有界性.

当limt→+∞p（t）=0时，方程解x的极限limt→+∞x（t）=0也可仿照引例的方法证明，这里不再赘述.

【参考文献】

[1]周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用.科学出版社.