极限算法的几种特殊技巧

徐芹

【摘要】极限是微积分学最重要的概念之一，是高等数学后续知识的基础.而极限的计算是微积分学的基本运算之一.本文介绍了一些特殊的极限计算方法并通过实例加以说明，力求使初学者掌握更多计算极限的方法和技巧.

【关键词】极限;特殊算法;夹逼原理;Stolz原理;单调有界;收敛

极限讨论的是变化趋势问题，极限的计算是事物运动变化由量变到质变的辩证规律在数上的反映.导数和积分的定义都是建立在极限的计算基础上的.因此，熟练掌握极限的计算是必须的.常用的极限计算方法有利用定义求极限、利用极限的四则运算法则和性质求极限、利用两个重要极限公式求极限、利用等价无穷小求极限、利用洛必达法则求未定式的极限等等.但有些极限的计算需要有一些特殊的技巧，下面列举一些特殊的极限计算方法供大家参考，除增加极限的算法外，也力求能够对微积分的知识有贯通性的把握.

1.利用夹逼原理求数列极限

夹逼定理：设{an}，{bn}，{cn}为三个数列，an≤cn≤bn，limn→∞an=limn→∞bn=a，则limn→∞cn=a.

例1 求极限limn→∞∑ni=112n2+i .

解 n2n2+n≤∑ni=112n2+i≤n2n2+1，

limn→∞n2n2+n=limn→∞n2n2+1=22.

由夹逼原理有 limn→∞∑ni=112n2+i=22.

此方法的要点是当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放缩后所得的新数列易于求极限，且两者的极限值相同，则原数列的极限存在，且等于此公共值.

2.利用级数审敛法求极限

通过此方法是找出要求极限的数列所对应的级数∑an.如果能判定此级数是收敛的，则由级数收敛的必要条件可知limn→∞an=0.

例2 计算limn→02n·n！nn.

解 设an=2n·n！nn，有级数∑∞n=12n·n！nn.

因为limn→∞an+1an=limn→∞2n+1·（n+1）！（n+1）n+1·nn2n·n！=limn→∞2·nn（n+1）n=2limn→∞11+1nn=2e<1，

由级数审敛法可知级数∑an收敛，故limn→02n·n！nn=0.

虽然这种方法只能判断以零为极限的数列，具有很大局限性，但由于级数的审敛方法很多，所以对某些极限来说使用该方法还是方便的.

3.利用Stolz原理求数列极限

CauchyStolz定理：设数列{xn}及{yn}满足条件：

（1） {yn}严格递增且limn→∞yn=+∞;

（2） limn→∞xn+1-xnyn+1-yn存在（有限或为±∞），则limn→∞xnyn=limn→∞xn+1-xnyn+1-yn.

例3 设k为正整数，证明limn→∞1k+2k+…+nknk+1=1k+1.

证明 令xn=1k+2k+…+nk，yn=nk+1，由Stolz定理，

limn→∞1k+2k+…+nknk+1=limn→∞xnyn

=limn→∞xn+1-xnyn+1-yn=limn→∞（n+1）k（n+1）k+1-nk+1

=limn→∞（n+1）k（k+1）nk+12（k+1）knk-1+…+1=1k+1.

例4 求极限limn→∞1n！∑np=1p！.

解 令xn=∑np=1p！，yn=n！，则yn严格递增且limn→∞yn=+∞.由CauchyStolz定理，有limn→∞∑np=1p！n！=limn→∞xnyn=limn→∞xn+1-xnyn+1-yn

=limn→∞（n+1）！（n+1）！-n！=limn→∞n+1n=1.

4.利用极限满足的关系式求极限

设f是连续函数，若数列{xn}由式xn+1=f（xn）给出，就说该数列是用递推方法给出的.倘若{xn}收敛于x-，对式xn+1=f（xn）两端求极限，注意到f的连续性，有x-=limn→∞xn+1=limn→∞f（xn）=f（x-）.可见{xn}的极限是方程x=f（x）的解.于是问题归结为证明数列{xn}收敛.通常用单调有界原理或数列收敛的Cauchy准则证明{xn}收敛.我们也看到，决定递推式xn+1=f（xn）给出的数列的要素是初值x0和函数f.为使{xn}收敛，讨论初值x0和函数f所应满足的条件，常可给出一般的结果，例如压缩映象原理.这类数列的收敛问题，用某些一般的结果，可给出较简洁的证明.

例5 已知函数f在[0，+∞）上连续，且0≤f（x）≤x，x∈[0，+∞）.对a1≥0，构造数列an+1=f（an），n=1，2，….证明：

ⅰ）{an}为收敛数列;

ⅱ）设limn→∞an=t，则f（t）=t;

ⅲ）若条件改为0≤f（x）

证明 ⅰ）an+1=f（an）≤an，an单调递减，由单调有界原理，{an}收敛.

ⅱ）设limn→∞an=t，对式an+1=f（an）两端取极限，利用f的连续性有

t=limn→∞an+1=limn→∞f（an）=f（limn→∞an）=f（t）.

ⅲ）倘若t>0，有t=f（t）

可以看到，极限的计算既是一种重要的运算，同时它又牵扯到多方面的知识点和技巧，相信通过极限计算能力的提高也必然可以提升我们综合处理问题的能力.

【参考文献】

[1]同济大学.高等数学[M].第5版.北京：高等教育出版社，2002：23- 38.

[ 2]陈效群，等.微積分学习辅导[M].北京：科学出版社，2004：1- 28.

[3]马振民.数学分析的方法与技巧选讲[M].兰州大学出版社，1999：5-32.