再谈圆锥曲线与通径有关的一个统一性质的证明

孙占青+++包虎

文献[1]给出了圆锥曲线与通径有关的一个统一性质，即：性质1—3，在此基础上归纳出如下定理：

定理：已知圆锥曲线C，点Q是过焦点F的通径的一个端点，点P是曲线C上的任意一点，点P在过焦点F所在的对称轴上的射影为点M，曲线C在点Q处的切线与直线PM交于点N，则|PF|=|MN|.

文献[1]中只对圆锥曲线C分别为椭圆、双曲线、抛物线的情形下分别给出了性质1—3的证明，对定理没有给出统一证明.下面用极坐标给出定理的统一证明.

证法1：如图所示，以焦点F为极点，过焦点F与准线n垂直的直线为极轴，建立极坐标系，设圆锥曲线的离心率为e，焦点到准线的距离为p，点E的极坐标为（-p，0）

则圆锥曲线的方程为■=e ①

当θ=■时，得Q点坐标（ep，■），设过QE的直线上任意一点的极坐标为（ρ，θ），

则直线QE的方程为■=e ②

联立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直线EQ与圆锥曲线C只有一个公共点（ep，■），这说明直线EQ是圆锥曲线C在点Q处的切线。

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

证法2：先求直线l的极坐标方程，设极点F到直线l的距离为d，由F向直线l作垂线FA，垂足为A，由极轴Fx到直线FA的角度为α，则直线l的极坐标方程为

ρ=■，

当直线l过Q（ep，■）时，得ep=■=■，

所以直线l的方程可化为

ρ=■.

又曲线C的极坐标方程为■=e，

当直线l为曲线C在Q点处的切线时，方程组■=eρ=■只有一个解，

消去ρ，并化简得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.

此方程有且仅有一个解的充要条件是

sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，

所以esinα=-cosα.

于是，直线l的方程再次化简为

ρ=-■，当θ=π时，解得ρ=-p.

所以曲线C在Q点处的切线经过准线n与极轴Fx所在直线的交点E.

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，

又P为圆锥曲线C的点，|PF|=e|ME|，

所以|MN|=|PF|.

参考文献：

[1]彭世金.圆锥曲线与通径有关的一个统一性质.数学通讯，2010（8下半月）.

[2]高存明，主编.普通高中课程标准实验教科书（数学）.选修4—4.人民教育出版社，2007.endprint

文献[1]给出了圆锥曲线与通径有关的一个统一性质，即：性质1—3，在此基础上归纳出如下定理：

定理：已知圆锥曲线C，点Q是过焦点F的通径的一个端点，点P是曲线C上的任意一点，点P在过焦点F所在的对称轴上的射影为点M，曲线C在点Q处的切线与直线PM交于点N，则|PF|=|MN|.

文献[1]中只对圆锥曲线C分别为椭圆、双曲线、抛物线的情形下分别给出了性质1—3的证明，对定理没有给出统一证明.下面用极坐标给出定理的统一证明.

证法1：如图所示，以焦点F为极点，过焦点F与准线n垂直的直线为极轴，建立极坐标系，设圆锥曲线的离心率为e，焦点到准线的距离为p，点E的极坐标为（-p，0）

则圆锥曲线的方程为■=e ①

当θ=■时，得Q点坐标（ep，■），设过QE的直线上任意一点的极坐标为（ρ，θ），

则直线QE的方程为■=e ②

联立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直线EQ与圆锥曲线C只有一个公共点（ep，■），这说明直线EQ是圆锥曲线C在点Q处的切线。

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

证法2：先求直线l的极坐标方程，设极点F到直线l的距离为d，由F向直线l作垂线FA，垂足为A，由极轴Fx到直线FA的角度为α，则直线l的极坐标方程为

ρ=■，

当直线l过Q（ep，■）时，得ep=■=■，

所以直线l的方程可化为

ρ=■.

又曲线C的极坐标方程为■=e，

当直线l为曲线C在Q点处的切线时，方程组■=eρ=■只有一个解，

消去ρ，并化简得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.

此方程有且仅有一个解的充要条件是

sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，

所以esinα=-cosα.

于是，直线l的方程再次化简为

ρ=-■，当θ=π时，解得ρ=-p.

所以曲线C在Q点处的切线经过准线n与极轴Fx所在直线的交点E.

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，

又P为圆锥曲线C的点，|PF|=e|ME|，

所以|MN|=|PF|.

参考文献：

[1]彭世金.圆锥曲线与通径有关的一个统一性质.数学通讯，2010（8下半月）.

[2]高存明，主编.普通高中课程标准实验教科书（数学）.选修4—4.人民教育出版社，2007.endprint

文献[1]给出了圆锥曲线与通径有关的一个统一性质，即：性质1—3，在此基础上归纳出如下定理：

定理：已知圆锥曲线C，点Q是过焦点F的通径的一个端点，点P是曲线C上的任意一点，点P在过焦点F所在的对称轴上的射影为点M，曲线C在点Q处的切线与直线PM交于点N，则|PF|=|MN|.

文献[1]中只对圆锥曲线C分别为椭圆、双曲线、抛物线的情形下分别给出了性质1—3的证明，对定理没有给出统一证明.下面用极坐标给出定理的统一证明.

证法1：如图所示，以焦点F为极点，过焦点F与准线n垂直的直线为极轴，建立极坐标系，设圆锥曲线的离心率为e，焦点到准线的距离为p，点E的极坐标为（-p，0）

则圆锥曲线的方程为■=e ①

当θ=■时，得Q点坐标（ep，■），设过QE的直线上任意一点的极坐标为（ρ，θ），

则直线QE的方程为■=e ②

联立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直线EQ与圆锥曲线C只有一个公共点（ep，■），这说明直线EQ是圆锥曲线C在点Q处的切线。

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

证法2：先求直线l的极坐标方程，设极点F到直线l的距离为d，由F向直线l作垂线FA，垂足为A，由极轴Fx到直线FA的角度为α，则直线l的极坐标方程为

ρ=■，

当直线l过Q（ep，■）时，得ep=■=■，

所以直线l的方程可化为

ρ=■.

又曲线C的极坐标方程为■=e，

当直线l为曲线C在Q点处的切线时，方程组■=eρ=■只有一个解，

消去ρ，并化简得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.

此方程有且仅有一个解的充要条件是

sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，

所以esinα=-cosα.

于是，直线l的方程再次化简为

ρ=-■，当θ=π时，解得ρ=-p.

所以曲线C在Q点处的切线经过准线n与极轴Fx所在直线的交点E.

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，

又P为圆锥曲线C的点，|PF|=e|ME|，

所以|MN|=|PF|.

参考文献：

[1]彭世金.圆锥曲线与通径有关的一个统一性质.数学通讯，2010（8下半月）.

[2]高存明，主编.普通高中课程标准实验教科书（数学）.选修4—4.人民教育出版社，2007.endprint