二次函数与绝对值函数联姻

杨光

中数参2012年第3期《一道不等式题的求解历程》一文中，提出了一道以二次不等式为背景的题目：已知关于x的不[JP3]等式（2x-1）2

数a的取值范围.[JP]

原文作者从数与形两方面对上题进行了分析求解，综合得出“形”在解决此题中的优势，随后又就数a的几何意义做了进一步的挖掘：|a|的大小影响了二次函数g（x）=ax2图象的开口大小.

研读全文，结合实际数学情况，如果用原文“形”的办法，需要绘制两幅二次函数图象，且还需要比较两条曲线相对开口大小，学生绘图时难免会出错，直接影响后续的用图求解.能否实现数与形更充实地融合，以期进一步提高解题效率呢？我们不妨做一番探索.

首先，容易发现a值肯定大于0；其次，等价转化为绝对值不等式：|2x-1|

解后反思：上述解法较原文“数”上多做了一步等价转化，而“形”中巧妙地以直代曲，可操作性更强.不妨进一步做一般化的归纳——形如y=a|x-h|+k的绝对值函数，与形如y=a（x-h）2+k的二次函数在“形”上有许多相似点，他们都有相同的顶点（h，k），都有相同的对称轴方程

为x=h，参量a决定了图象的开口方向及大小等，所以根据解题的不同需要完全可以进行相互模拟.

以下给出一变题，读者不妨再次体验一下这种以直代曲的好处.

变式：已知关于x的不等式（2x-a）2

当然，由于学生对二次函数图象性质较熟悉，所以在解决[HJ1.5mm]绝对值函数问题时，我们又可以套用二次函数典型问题的处理办法.

例已知函数f（x）=|x+13-a|+2a，且0≤a≤34，当x∈[0，12]时，试求函数f（x）的最大值M（a）.

分析解决此问题的常规办法，对绝对值内代数式x+13-a的符号进行讨论，进而去绝对值符号，但由于代数式x+13-a内含参，讨论起来十分麻烦.换个思维方向，如果能把绝对值函数y=f（x）与二次函数g（x）=[x-（a-13）]2+2a的图象联系起来，不觉茅塞顿开.y=f（x）的图象有一条类似二次函数的“动”对称轴，即直线x=a-13，而x的取值为“定”区间[0，12]，且x=a-13为函数f（x）的极小值点，函数的最大值点只能出现在区间的两个端点处，故可以类比于二次函数中典型的“定区间，动对称轴”问题进行讨论.

解1.当a-13<14时，即0≤a<712时，f（x）max=f（12）=|56-a|+2a=a+56.

2.当a-13≥14时，即712≤a≤34时，f（x）max=f（0）=|13-a|+2a=3a-13.

综上M（a）=a+56 （0≤a<712），3a-56 （712≤a≤34）.

通过以上的探索，我们体会到了二次函数与一类绝对值函数在“形”上有较理想的契合，可以借此进行两种函数图象的相互类比，从而实现对问题的灵活求解.

中数参2012年第3期《一道不等式题的求解历程》一文中，提出了一道以二次不等式为背景的题目：已知关于x的不[JP3]等式（2x-1）2

数a的取值范围.[JP]

原文作者从数与形两方面对上题进行了分析求解，综合得出“形”在解决此题中的优势，随后又就数a的几何意义做了进一步的挖掘：|a|的大小影响了二次函数g（x）=ax2图象的开口大小.

研读全文，结合实际数学情况，如果用原文“形”的办法，需要绘制两幅二次函数图象，且还需要比较两条曲线相对开口大小，学生绘图时难免会出错，直接影响后续的用图求解.能否实现数与形更充实地融合，以期进一步提高解题效率呢？我们不妨做一番探索.

首先，容易发现a值肯定大于0；其次，等价转化为绝对值不等式：|2x-1|

解后反思：上述解法较原文“数”上多做了一步等价转化，而“形”中巧妙地以直代曲，可操作性更强.不妨进一步做一般化的归纳——形如y=a|x-h|+k的绝对值函数，与形如y=a（x-h）2+k的二次函数在“形”上有许多相似点，他们都有相同的顶点（h，k），都有相同的对称轴方程

为x=h，参量a决定了图象的开口方向及大小等，所以根据解题的不同需要完全可以进行相互模拟.

以下给出一变题，读者不妨再次体验一下这种以直代曲的好处.

变式：已知关于x的不等式（2x-a）2

当然，由于学生对二次函数图象性质较熟悉，所以在解决[HJ1.5mm]绝对值函数问题时，我们又可以套用二次函数典型问题的处理办法.

例已知函数f（x）=|x+13-a|+2a，且0≤a≤34，当x∈[0，12]时，试求函数f（x）的最大值M（a）.

分析解决此问题的常规办法，对绝对值内代数式x+13-a的符号进行讨论，进而去绝对值符号，但由于代数式x+13-a内含参，讨论起来十分麻烦.换个思维方向，如果能把绝对值函数y=f（x）与二次函数g（x）=[x-（a-13）]2+2a的图象联系起来，不觉茅塞顿开.y=f（x）的图象有一条类似二次函数的“动”对称轴，即直线x=a-13，而x的取值为“定”区间[0，12]，且x=a-13为函数f（x）的极小值点，函数的最大值点只能出现在区间的两个端点处，故可以类比于二次函数中典型的“定区间，动对称轴”问题进行讨论.

解1.当a-13<14时，即0≤a<712时，f（x）max=f（12）=|56-a|+2a=a+56.

2.当a-13≥14时，即712≤a≤34时，f（x）max=f（0）=|13-a|+2a=3a-13.

综上M（a）=a+56 （0≤a<712），3a-56 （712≤a≤34）.

通过以上的探索，我们体会到了二次函数与一类绝对值函数在“形”上有较理想的契合，可以借此进行两种函数图象的相互类比，从而实现对问题的灵活求解.

中数参2012年第3期《一道不等式题的求解历程》一文中，提出了一道以二次不等式为背景的题目：已知关于x的不[JP3]等式（2x-1）2

数a的取值范围.[JP]

原文作者从数与形两方面对上题进行了分析求解，综合得出“形”在解决此题中的优势，随后又就数a的几何意义做了进一步的挖掘：|a|的大小影响了二次函数g（x）=ax2图象的开口大小.

研读全文，结合实际数学情况，如果用原文“形”的办法，需要绘制两幅二次函数图象，且还需要比较两条曲线相对开口大小，学生绘图时难免会出错，直接影响后续的用图求解.能否实现数与形更充实地融合，以期进一步提高解题效率呢？我们不妨做一番探索.

首先，容易发现a值肯定大于0；其次，等价转化为绝对值不等式：|2x-1|

解后反思：上述解法较原文“数”上多做了一步等价转化，而“形”中巧妙地以直代曲，可操作性更强.不妨进一步做一般化的归纳——形如y=a|x-h|+k的绝对值函数，与形如y=a（x-h）2+k的二次函数在“形”上有许多相似点，他们都有相同的顶点（h，k），都有相同的对称轴方程

为x=h，参量a决定了图象的开口方向及大小等，所以根据解题的不同需要完全可以进行相互模拟.

以下给出一变题，读者不妨再次体验一下这种以直代曲的好处.

变式：已知关于x的不等式（2x-a）2

当然，由于学生对二次函数图象性质较熟悉，所以在解决[HJ1.5mm]绝对值函数问题时，我们又可以套用二次函数典型问题的处理办法.

例已知函数f（x）=|x+13-a|+2a，且0≤a≤34，当x∈[0，12]时，试求函数f（x）的最大值M（a）.

分析解决此问题的常规办法，对绝对值内代数式x+13-a的符号进行讨论，进而去绝对值符号，但由于代数式x+13-a内含参，讨论起来十分麻烦.换个思维方向，如果能把绝对值函数y=f（x）与二次函数g（x）=[x-（a-13）]2+2a的图象联系起来，不觉茅塞顿开.y=f（x）的图象有一条类似二次函数的“动”对称轴，即直线x=a-13，而x的取值为“定”区间[0，12]，且x=a-13为函数f（x）的极小值点，函数的最大值点只能出现在区间的两个端点处，故可以类比于二次函数中典型的“定区间，动对称轴”问题进行讨论.

解1.当a-13<14时，即0≤a<712时，f（x）max=f（12）=|56-a|+2a=a+56.

2.当a-13≥14时，即712≤a≤34时，f（x）max=f（0）=|13-a|+2a=3a-13.

综上M（a）=a+56 （0≤a<712），3a-56 （712≤a≤34）.

通过以上的探索，我们体会到了二次函数与一类绝对值函数在“形”上有较理想的契合，可以借此进行两种函数图象的相互类比，从而实现对问题的灵活求解.