浅谈构造函数法证明不等式

钟水兵

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式，在介绍如何构造函数证明复杂的不等式，以及在构造函数时如何如何整体把握.

首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1，x∈R与lnx≤x-1，x>0.

这两个不等式不难从图象上看出，注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数，图象关于y=x对称.

用导数证明如下： 构造函数

f（x）=ex-x-1，f ′（x）=ex-1.

x∈（-∞，0）时，f ′（x）<0，f（x）递减，x∈（0，+∞）时，f ′（x）>0， f（x）递增，所以f（x）≥f（0）=0，

即ex≥x+1.

构造函数f（x）=lnx-x+1，

f ′（x）=1x-1=1-xx，

x∈（0，1）时，f ′（x）>0， f（x）递增；x∈（1，+∞）时，f ′（x）<0， f（x）递减，所以f（x）≤f（0）=0.

即lnx≤x-1.

推论： ex-1≥x，x∈R；ln（x+1）≤x，x>-1.

这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛，下面举例给以说明

例1已知f（x）=e2x-2t（ex+x）+x2+2t2+1，求证： f（x）≥32.

分析根据函数特征，考虑关于x的函数较为复杂，注意主次元的交换与整体把握.

解法一设

f（x）=g（t）=2t2-2（ex+x）t+x2+e2x+1.

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式，在介绍如何构造函数证明复杂的不等式，以及在构造函数时如何如何整体把握.

首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1，x∈R与lnx≤x-1，x>0.

这两个不等式不难从图象上看出，注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数，图象关于y=x对称.

用导数证明如下： 构造函数

f（x）=ex-x-1，f ′（x）=ex-1.

x∈（-∞，0）时，f ′（x）<0，f（x）递减，x∈（0，+∞）时，f ′（x）>0， f（x）递增，所以f（x）≥f（0）=0，

即ex≥x+1.

构造函数f（x）=lnx-x+1，

f ′（x）=1x-1=1-xx，

x∈（0，1）时，f ′（x）>0， f（x）递增；x∈（1，+∞）时，f ′（x）<0， f（x）递减，所以f（x）≤f（0）=0.

即lnx≤x-1.

推论： ex-1≥x，x∈R；ln（x+1）≤x，x>-1.

这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛，下面举例给以说明

例1已知f（x）=e2x-2t（ex+x）+x2+2t2+1，求证： f（x）≥32.

分析根据函数特征，考虑关于x的函数较为复杂，注意主次元的交换与整体把握.

解法一设

f（x）=g（t）=2t2-2（ex+x）t+x2+e2x+1.

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式，在介绍如何构造函数证明复杂的不等式，以及在构造函数时如何如何整体把握.

首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1，x∈R与lnx≤x-1，x>0.

这两个不等式不难从图象上看出，注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数，图象关于y=x对称.

用导数证明如下： 构造函数

f（x）=ex-x-1，f ′（x）=ex-1.

x∈（-∞，0）时，f ′（x）<0，f（x）递减，x∈（0，+∞）时，f ′（x）>0， f（x）递增，所以f（x）≥f（0）=0，

即ex≥x+1.

构造函数f（x）=lnx-x+1，

f ′（x）=1x-1=1-xx，

x∈（0，1）时，f ′（x）>0， f（x）递增；x∈（1，+∞）时，f ′（x）<0， f（x）递减，所以f（x）≤f（0）=0.

即lnx≤x-1.

推论： ex-1≥x，x∈R；ln（x+1）≤x，x>-1.

这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛，下面举例给以说明

例1已知f（x）=e2x-2t（ex+x）+x2+2t2+1，求证： f（x）≥32.

分析根据函数特征，考虑关于x的函数较为复杂，注意主次元的交换与整体把握.

解法一设

f（x）=g（t）=2t2-2（ex+x）t+x2+e2x+1.