一道问题的多角度审视

李维春

一、问题提出

题已知△ABC中，3tanA·tanB-tanA-tanB=3.

（1）求∠C的大小；（2）设角A，B，C的对边依次为a，b，c，若c=2且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围.

[HTH]解[HT]（1）C=π3 （略）.

（2） 学生解1：由余弦定理得a2+b2-ab=4.

a2+b2-4=ab≤a2+b22，

所以a2+b2≤8（“=”当且仅当a=b时取到）.

又因为a2+b2=4+ab>4，

所以a2+b2∈（4，8].

全班50人中有48人这样解，另两人是这样解.

学生解2：由正弦定理得asinA=bsinb=csinc=232，

从而a2+b2=163（sin2A+sin2B）=163[sin2A+sin2（120°-A）]=163[1+12cos（2A-120°）].

因为A+B=120°，0°

所以a2+b2的取值范围是（203，8].

两种解法对比易知解2正确，解1错误.其实ab>0，范围太宽了，没有考虑锐角三角形条件，

应为

a2+b2-ab=4，a2+b2>4，a2+4>b2，b2+4>a2.①②③④

事实上，列出的式子是“边”的形式，难道非要通过三角函数，将“边”转化为“角”，才能求出a2+b2范围？真有如梗在喉的感觉.

二、探究

1.增量换元，函数视角

两个变量a，b，三个不等关系式和一个等式，怎样才能消去一个变量呢？如果通过解方程b=a±16-3a22代入消去b不行，就是说消a，b都行不通，增量换元一试，将a，b全部消去.

将③④分别代入①得b<2a，a<2b.

设λ=ba（12<λ<2），代入①得a2=4λ2-λ+1，

则b2+a2=a2（1+λ2）=4（λ2+1）λ2-λ+1 .

记f（λ）=4（λ2+1）λ2-λ+1，f ′（λ）=-4（λ2-1）（λ2-λ+1）2.

当λ∈（12，1）时，f ′（λ）>0；λ∈（1，2），f ′（λ）<0，

又f（12）=f（2）=203，f （1）=8.

所以f （λ）∈（203 ，8].

将a2+b2表示成ba的函数，求得范围，导数“一显身手”.

2.静中有动，解析视角

一、问题提出

题已知△ABC中，3tanA·tanB-tanA-tanB=3.

（1）求∠C的大小；（2）设角A，B，C的对边依次为a，b，c，若c=2且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围.

[HTH]解[HT]（1）C=π3 （略）.

（2） 学生解1：由余弦定理得a2+b2-ab=4.

a2+b2-4=ab≤a2+b22，

所以a2+b2≤8（“=”当且仅当a=b时取到）.

又因为a2+b2=4+ab>4，

所以a2+b2∈（4，8].

全班50人中有48人这样解，另两人是这样解.

学生解2：由正弦定理得asinA=bsinb=csinc=232，

从而a2+b2=163（sin2A+sin2B）=163[sin2A+sin2（120°-A）]=163[1+12cos（2A-120°）].

因为A+B=120°，0°

所以a2+b2的取值范围是（203，8].

两种解法对比易知解2正确，解1错误.其实ab>0，范围太宽了，没有考虑锐角三角形条件，

应为

a2+b2-ab=4，a2+b2>4，a2+4>b2，b2+4>a2.①②③④

事实上，列出的式子是“边”的形式，难道非要通过三角函数，将“边”转化为“角”，才能求出a2+b2范围？真有如梗在喉的感觉.

二、探究

1.增量换元，函数视角

两个变量a，b，三个不等关系式和一个等式，怎样才能消去一个变量呢？如果通过解方程b=a±16-3a22代入消去b不行，就是说消a，b都行不通，增量换元一试，将a，b全部消去.

将③④分别代入①得b<2a，a<2b.

设λ=ba（12<λ<2），代入①得a2=4λ2-λ+1，

则b2+a2=a2（1+λ2）=4（λ2+1）λ2-λ+1 .

记f（λ）=4（λ2+1）λ2-λ+1，f ′（λ）=-4（λ2-1）（λ2-λ+1）2.

当λ∈（12，1）时，f ′（λ）>0；λ∈（1，2），f ′（λ）<0，

又f（12）=f（2）=203，f （1）=8.

所以f （λ）∈（203 ，8].

将a2+b2表示成ba的函数，求得范围，导数“一显身手”.

2.静中有动，解析视角

一、问题提出

题已知△ABC中，3tanA·tanB-tanA-tanB=3.

（1）求∠C的大小；（2）设角A，B，C的对边依次为a，b，c，若c=2且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围.

[HTH]解[HT]（1）C=π3 （略）.

（2） 学生解1：由余弦定理得a2+b2-ab=4.

a2+b2-4=ab≤a2+b22，

所以a2+b2≤8（“=”当且仅当a=b时取到）.

又因为a2+b2=4+ab>4，

所以a2+b2∈（4，8].

全班50人中有48人这样解，另两人是这样解.

学生解2：由正弦定理得asinA=bsinb=csinc=232，

从而a2+b2=163（sin2A+sin2B）=163[sin2A+sin2（120°-A）]=163[1+12cos（2A-120°）].

因为A+B=120°，0°

所以a2+b2的取值范围是（203，8].

两种解法对比易知解2正确，解1错误.其实ab>0，范围太宽了，没有考虑锐角三角形条件，

应为

a2+b2-ab=4，a2+b2>4，a2+4>b2，b2+4>a2.①②③④

事实上，列出的式子是“边”的形式，难道非要通过三角函数，将“边”转化为“角”，才能求出a2+b2范围？真有如梗在喉的感觉.

二、探究

1.增量换元，函数视角

两个变量a，b，三个不等关系式和一个等式，怎样才能消去一个变量呢？如果通过解方程b=a±16-3a22代入消去b不行，就是说消a，b都行不通，增量换元一试，将a，b全部消去.

将③④分别代入①得b<2a，a<2b.

设λ=ba（12<λ<2），代入①得a2=4λ2-λ+1，

则b2+a2=a2（1+λ2）=4（λ2+1）λ2-λ+1 .

记f（λ）=4（λ2+1）λ2-λ+1，f ′（λ）=-4（λ2-1）（λ2-λ+1）2.

当λ∈（12，1）时，f ′（λ）>0；λ∈（1，2），f ′（λ）<0，

又f（12）=f（2）=203，f （1）=8.

所以f （λ）∈（203 ，8].

将a2+b2表示成ba的函数，求得范围，导数“一显身手”.

2.静中有动，解析视角