深埋海底隧洞内水压力下饱和土的动力特性

高华喜，闻敏杰

(1.浙江海洋学院海运与港航建筑工程学院，浙江舟山 316004;2.嘉兴职业技术学院生物与环境分院浙江嘉兴 314036;3.上海大学土木工程系，上海 200072)

由于饱和土中孔隙水的流动特性及衬砌与土体的不同渗透率，饱和土与单相土的动力响应存在较大差异［1］。因此，动荷载下具有圆形隧道饱和土的动力学行为分析热点成为岩土工程领域研究的热点之一，它在污水管道、海底管线和轨道交通等方面具有广泛的应用背景。

近年来，许多学者在饱和土与衬砌系统的动力特性方面进行了深入研究。Kumar和Miglani［2］利用Laplace变换等数学手段得到了具有深埋圆形隧洞饱和多孔介质径向位移的表达式，着重讨论了冲击荷载下的封闭形式解答。Senjuntichai和Rajapakse［3］研究了边界透水情形下饱和土中圆形孔洞的动力响应。Lu Jianfei和Jeng dongsheng［4］通过引入位移势函数，采用傅立叶变换得到了三维柱坐标下具有无限圆形孔洞饱和多孔介质的位移、应力和孔隙水压力等的表达式。Nateghi等［5］通过现场监测研究了爆炸波对地下隧道的影响，得到了衬砌结构的位移、应力时程曲线。Penzen等［6］将土体和衬砌的连接简化为弹簧支撑，得到了爆炸荷载作用下衬砌结构动力响应的计算方法。范鹏贤等［7］采用矩阵力法研究了爆炸地震波作用下衬砌结构的动力响应。然而，上述研究都认为衬砌和土体边界仅处于透水或不透水状态。但是，由于混凝土具有渗透性，实际工程中隧道衬砌结构都处于以上两种边界之间，即半封闭状态［8-11］。此时，必须要考虑渗流场的分布问题，即衬砌和孔隙水分别承担水头的压力值。

在此基础上，考虑土体的惯性效应和黏性，基于多孔介质理论分别研究了内水压力作用下饱和土中多孔柔性和弹性衬砌结构的动力响应。采用Darcy定律建立了土体和衬砌部分透水边界，假定内水压力由孔隙水和衬砌分别承担，通过引入应力系数来描述两者承担的压力值，得到了饱和黏弹性土和衬砌的位移、应力和孔隙水压力表达式，考察了具有多孔柔性衬砌和弹性衬砌的饱和土径向位移、孔隙水压力随频率的变化规律。

1 数学模型与控制方程

如图1，饱和黏弹性土中有衬砌厚度为d、内外半径分别为R1和R2的圆形隧洞，其边界承受圆频率为ω的径向均布内水压力q0eiωt(i2=-1)。假定土骨架和衬砌为小变形，且衬砌和土体完全紧密接触，即衬砌与饱和土在接触面上满足应力与位移连续。根据饱和多孔介质理论［12］，并参考文献［13］的方程求解和参数定义，可得极坐标下饱和土土骨架的径向位移为:

图1 海底圆形隧洞模型Fig.1 Model of under-sea circular tunnel

孔隙流体的径向位移为:

孔隙水压力为:

土骨架的有效应力:

土体的总应力为:

参数物理意义和字母定义详见文献［13］。

2 多孔柔性衬砌条件下表达式求解

文献［8］认为实际工程中隧道边界不能单被考虑为透水和不透水两种极限状态，而是处于半封闭状态。因此，建立了符合Darcy定律的隧洞边界部分透水条件，假设衬砌内边界的水头为P1，而外边界的水头为P2。结合本文模型，衬砌中流体流量为:

式中:kL为衬砌的渗透系数。

而饱和黏弹性土和衬砌接触面处土体中流体流量为

式中:γω为孔隙流体重度，kF为Darcy渗透系数。

文献［11］通过定义应力系数δ=1-ηc确定隧洞边界衬砌和孔隙水分别承担的内水压力值。这里ηc为孔隙水压力作用面积系数，与土体孔隙率有关。当应力系数δ→0时，内水压力全部由孔隙水承担，隧洞边界上应力为0;当δ→1时，边界上内水压力全部由衬砌承担。另外，认为隧洞边界上的内水压力无论是作用在内边界还是外边界对响应幅值影响不大。因此，结合本文实际，利用饱和黏弹性土和柔性衬砌(EL→0)接触面处应力协调，可得

假设土体和衬砌接触面处满足连续性条件，即衬砌中流体流量与饱和土中流体流量相等:

由此，将边界条件式(8)、式(9)代入式(1)～(5)，可求得待定系数C1、C2的具体表达式.从而，可得饱和分数导数型黏弹性土的动力响应解。

3 多孔弹性衬砌条件下表达式求解

由式(10)可易解得

式中:I1(x)和K1(x)分别为第一类和第二类变形Bessel函数C5、C6为待定系数。

于是，可得衬砌径向应力:

式中:

利用土体和衬砌接触面处应力和位移连续及隧洞部分透水边界条件求得待定系数C1、C2、C5、C6的具体表达式。

在衬砌内边界处(η=1)衬砌径向应力等于内水压力值

衬砌和土体接触面处应力和位移协调，

由此，利用边界条件式(9)、(14)、(15)代入式(11)、(12)和式(1)～(5)可得 C1、C2、C5、C6的表达式。至此，可得饱和黏弹性土-多孔弹性性衬砌系统的动力响应解。

4 算例分析及讨论

考察了分数导数阶数α、材料参数比Tσ/Tε、衬砌厚度ξ、应力系数δ以及相对渗透系数κ对径向位移U=(［Re(USη)］2+ ［Im(USη)］2)1/2和孔隙水压力幅值P= ［μS(［Re(P)］2+［Im(P)］2)1/2］/μL的影响。据文献［11，13］参数取值:

图2和图3分别表示在η=1.5处衬砌为多孔柔性和弹性条件下阶数α变化对位移幅值U 和孔压幅值P 的影响。图2可见，随着阶数α的增加，位移幅值的峰值逐渐减小，而系统共振效应的基频逐渐增大。当阶数α=0和α=1时，分数导数本构模型分别退化为经典弹性和经典黏弹性本构模型，显然，经典弹性饱和土(α=0)时，位移峰值达到最大值，而经典黏弹性饱和土(α=1)时，位移峰值为最小值。另外，由于衬砌为弹性材料条件下的刚度远大于柔性条件的刚度，故位移峰值要小。由图3可见，由于孔隙水承担了部分内水压力，故在静止内水压力作用下孔压幅值P 不为零。多孔弹性衬砌材料条件下系统动力响应产生的孔压幅值P 的峰值反而比柔性衬砌材料时孔压峰值要大。

图2 阶数对径向位移幅值的影响Fig.2 Influence of order on radial displacement amplitude

图3 阶数对孔隙水压力幅值的影响Fig.3 Influence of order on pore water pressure amplitude

图4和图5分别表示在η=1.5处材料参数比Tσ/Tε改变时，位移幅值U 和孔压幅值P 随频率λ的变化曲线。可见，随着材料参数比Tσ/Tε的增加，位移幅值U 和孔压幅值P 都会减小。这是因为土体的阻抗变大引起的。柔性衬砌条件下系统位移幅值U 的峰值比弹性衬砌条件下系统位移峰值要大，而孔压幅值P 反而要小。

图4 材料参数比对径向位移幅值的影响Fig.4 Influence of material parameter on radial displacement amplitude

图5 材料参数比对孔隙水压力幅值的影响Fig.5 Influence of material parameter on pore water pressure amplitude

图6和图7分别表示衬砌厚度d对位移幅值U 和孔压幅值P 的影响。可见，随着衬砌厚度d的增加，系统响应的基频逐渐增大，这是由于衬砌的刚度增大引起的。显然，衬砌厚度d增加时，位移幅值U 的峰值逐渐减小，而孔压幅值P 的峰值却随之增加。

图6 衬砌厚度对径向位移幅值的影响Fig.6 Influence of lining thickness on radial displacement amplitude

图7 衬砌厚度对孔隙水压力幅值的影响Fig.7 Influence of lining thickness on pore water pressure amplitude

图8和图9分别为应力系数δ对位移幅值U 和孔压幅值P 的影响。图8可见，应力系数δ改变时，系统响应的基频基本不变。多孔弹性衬砌材料时系统的基频明显比柔性衬砌材料时的基频要大。随着应力系数δ增加，系统响应幅值逐渐增大。说明当应力系数越接近1时，衬砌承担的内水压力值越大，当应力系数越接近0时，孔隙水承担的内水压力值越大。

图8 应力系数对径向位移幅值的影响Fig.8 Influence of stress coefficient on radial displacement amplitude

图9 应力系数对孔隙水压力幅值的影响Fig.9 Influence of stress coefficient on pore water pressure amplitude

图10 相对渗透系数对径向位移幅值的影响Fig.10 Influence of relative permeability coefficient on radial displacement amplitude

图11 相对渗透系数对孔隙水压力幅值的影响Fig.11 Influence of relative permeability coefficient on pore water pressure amplitude

5 结语

采用多孔介质理论，将土体和衬砌视为具有分数导数型本构关系的黏弹性体和多孔柔性/弹性材料，在频域内得到了内水压力作用下饱和分数导数型黏弹性土-隧洞衬砌系统的动力响应。得出如下结论:

1)饱和分数导数型黏弹土-隧洞衬砌系统的动力响应与饱和弹性土/经典黏弹性土-隧洞衬砌系统的动力响应存在很大差异。随着分数导数阶数的增加，系统共振效应明显减弱，而基频反而增大。

2)随着材料参数比的增加，系统响应减小。

3)当系统发生共振时，多孔柔性衬砌材料条件下系统的动力响应明显大于弹性衬砌材料条件下系统的动力响应。

4)应力系数合理地确定了孔隙水和衬砌分别承担的内水压力值。改变应力系数的值对系统共振效应的基频影响不明显，而对共振效应的强弱程度有明显影响。

5)衬砌和土体的相对渗透系数对系统动力响应的影响很大。衬砌边界透水和不透水只是反映边界渗透性的两种极限状态。

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