二阶非线性常微分方程组周期边值问题的正解

刘健，封汉颍

（军械工程学院基础部，河北石家庄 050003）

二阶非线性常微分方程组周期边值问题的正解

刘健，封汉颍

（军械工程学院基础部，河北石家庄 050003）

研究一类二阶非线性常微分方程组周期边值问题，在满足假设条件下，利用锥拉伸压缩不动点定理，得到了当f和g满足超线性或次线性时边值问题一个正解存在的充分条件.

正解；周期边值问题；常微分方程组

MSC2010：34B18

在物理学、工程实践和生物学等领域中，许多问题可以抽象成常微分方程组进行研究.近年来，关于非线性常微分方程边值问题的研究引起人们的广泛注意，尤其是对二阶非线性常微分方程边值问题的研究已有许多结果［1－2］.然而，对于非线性常微分方程组边值问题的研究不是特别广泛.文献［3-4］利用拓扑方法和锥理论，对一类非线性常微分方程组边值问题进行了研究，获得了非零解存在性的结果；文献［5］利用锥拉伸压缩不动点定理研究了一类非线性二阶常微分方程组边值问题，证明了在适当条件下正解存在性的充分条件.

近年，胡玲等［6］研究了一类二阶非线性微分方程组边值问题的多个正解，

其中，f，g∈C（［0，1］×R＋，R＋），f（x，0）≡0，g（x，0）≡0，α，β，γ，δ≥0且ρ＝αγ＋αδ＋βγ＞0.通过应用Krasnosel-skii的2个锥上的不动点定理，分别得到了边值问题正解存在性及多解性的充分条件.

杨景保等［7］研究了一类非线性奇异微分系统的Sturm-Liouville边值问题正解的存在性，

其中，ψ1，ψ2均为正参数，αi＞0，βi≥0，γi＞0，δi≥0均为常数且满足αiγi＋αiδi＋βiγi＞0，f1，f2：（0，1）×［0，∞）×［0，∞）→［0，∞）连续，在t＝0，1处奇异，pi：（0，1）→（－∞，＋∞），i＝1，2勒贝格可积，且在［0，1］中有限定地可为奇异。通过应用范数形式的锥拉伸压缩不动点定理，作者得到了该问题正解的存在性，推广改进了现有的某些研究成果.

受此启发，本文研究以下二阶非线性常微分方程组周期边值问题正解的存在性：

1 预备知识

2 主要结果

［1］ 葛渭高.非线性常微分方程边值问题［M］.北京：科学出版社，2007.

［2］ 马如云.非线性常微分方程非局部问题［M］.北京：科学出版社，2004.

［3］ ZHANG Zhitao.Existence of non-trivial solution for superlinear system of integral equations and its applications［J］.Acta Math Sinica，1999，15：153-162.

［4］ MA Ruyun.Multiple nonnegative solutions of second-order systems of boundary value problems［J］.Nonlinear Analysis，2000，42：1003-1010.

［5］ LIU Bingmei，LIU Lishan，WU Yonghong.Positive solutions for singular systems of three-point boundary value problems［J］.Comput Math Anal，2007，53：1429-1438.

［6］ LING Hu，WANG Lianglong.Multiple positive solutions of boundary value problems for systems of nonlinear second-order differential equations［J］.J Math Anal Appl，2007，335，1052-1060.

［7］ YANG Jingbao，WEI Zhongli.On existence of positive solutions of sturm-liouville boundary value problems for a nonlinear singular differential system［J］.Appl Math Comput，2011，217，6097-6104.

［8］ ATICI F MERDIVENCI，GUSEINOV G SH.On the existence of positive solutions for nonlinear differential equations with periodic boundary conditions［J］.J Comput Appl Math，2001，132：341-356.

［9］ GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V.Nonlinear problems in abstract cones［M］.New York：Academic Press，1988.

［10］ KRASNOSELSKII M.Positive solutions of operator equations［M］.Groningen：Noordhoff，1964.

（责任编辑：王兰英）

Positive solutions of periodic BVP for systems of nonlinear second-order ordinary differential equations

LIU Jian，FENG Hanying
（Department of Basic Courses，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

A periodic boundary value problem for systems of nonlinear second-order ordinary differential equations is investigated.By using the fixed point theorem of cone expansion and compression，the existence of at least one positive solution for the problem is established under certain assumptions，when fand gare superlinear or sublinear.

positive solution；periodic boundary value problem；ordinary differential equation systems

O175.8

A

1000-1565（2014）05-0455-05

10.3969／j.issn.1000-1565.2014.05.002

2013-12-23

国家自然科学基金资助项目（11271106）；河北省自然科学基金资助项目（A2012506010）

刘健（1990-），男，山东德州人，军械工程学院在读硕士研究生，主要从事微分方程与动力系统方向研究.E-mail：jian＿liu1990＠163.com