双线性发生率的艾滋病模型的研究

（安徽工业大学数理学院，安徽马鞍山 243002）

（安徽工业大学数理学院，安徽马鞍山 243002）

讨论了具有阶段结构和双线性发生率的艾滋病SI模型.在该模型中,通过分析讨论,得到了地方病平衡点存在的阈值条件,以及无病平衡点局部渐进稳定和全局渐进稳定的充分条件和地方病平衡点局部渐进稳定的充分条件.

平衡点；局部稳定；全局稳定

在传染病动力学的研究中，相当部分的论文资料都是将染病者粗略地分为一个仓室［1-4］.其中的模型对很多传染病是符合其实际情况的，但对某些具体的传染病，如艾滋病，还是有很大出入的.因为艾滋病的染病周期较为漫长，病人在染病的不同时期病理反应也不相同.因此，在查阅相关文献［6，7］后，建立了如下的艾滋病动力学模型：

1 模型解释

根据艾滋病特点，假设所有的输入者都是易感者，而所有的感染者根据染病的不同阶段分为两类：变异前患者和变异后患者，这两类病人感染易感者所产生的新病人都为变异前患者.假设出生率和死亡率相等均为μ，人口输入率为μS0，变异后患者转化为失去传染能力的重症病人的转化率为ε，变异前患者转化为变异后患者的转化率为α，疾病的发生率为双线性发生率.

其中S=S（t），I1=I1（t）和I2=I2（t）分别表示t时刻易感者、变异前和变异后患者的数量，α表示I1转化为I2的转化率，μ表示人类的自然死亡率系数，ε表示I2转化为R的转化率，β1和β2别表示变异前患者和变异后患者的传染率系数，R表示t时刻重度病人的数量，仓室R中的病人无活动能力.

2 模型分析

由于方程（1）中前3个方程中不含R，故只须讨论由前3个方程构成的方程组.将由式（1）的前3个方程构成的方程组记为式（2）.

由于这里的移出者被认为无活动能力，不与他人接触，故不计入总人口，即N=S+I1+I2.

故根都有负实部，即地方病平衡点局部渐近稳定.

关于地方病平衡点的全局稳定性到目前在理论上还没有完全解决.

3 实际意义

给出了一个更贴近艾滋病实际情况的传染病动力学模型，阐述了阈值条件，证明了地方病平衡点的全局稳定性和地方病平衡点的局部稳定性，这在模型研究和艾滋病控制中具有重要意义.

［1］ALBERTO D.Stability Properties of Pulse Vaccination Strategy in SEIR Epidemic Model［J］.Math Biosci，2002（179）：57-72

［2］WEBB G F，DAGATA E M，MAGAL P，et al.A Model of Antibiotic Resistant Bacterial Epidemics in Hospitals［J］.Proc Nati Acad Sci USA，2005，102（37）：13343-13348

［3］李建全，王峰，马知恩.一类带有隔离的传染病模型的全局分析［J］.工程数学学报，2005，22（1）：20-24

［4］ANDREIK.Liapunov Founctions and Global Stability for SIRSEpdemiological Modelswith Non-linear Transmission［J］.Bulletin of Math，2006（1）：615-626

［5］马知恩，周义仓.传染病动力学的数学建模与研究［M］.北京：科学出版社，2004

［6］郑丽丽，王豪，方勤华.一类具有非线性传染力的阶段结构SI模型［J］.数学的实践与认识，2004，34（8）：128-135

［7］HYMAN J，LI J.An Intuitive Formulation for the Reproductive Number for the Spread of Diseases in Heterogeneous Populations［J］.Math Biosci，2000（167）：65-68

校 对：李翠薇

双线性发生率的艾滋病模型的研究

李 俊

Research on AIDSModelwith Bilinear Incidence Rate

LI Jun

（School of Science，Anhui University of Technology，Anhui Maanshan 243002，China）

This paper discusses AIDSSIModelwith periodic structure and with bilinear incidence rate，in this Model，obtains threshold value condition for the existence of the equilibrium point of local diseases through analysis and discussion，gets the sufficient condition for local asymptotic stability and for global asymptotic stability of disease-free equilibrium point and the sufficient condition for local asymptotic stability of the equilibrium point of local diseases.

equilibrium point；local stability；global stability

代小红

O29

A

1672-058X(2014)02-0033-04

2013-09-10;

2013-10-03.

李俊（1982-），男，安徽合肥人，助教，硕士研究生，从事生物数学研究.