高阶行列式计算方法总结

李翰芳

摘 要： 本文总结了高阶行列式的计算方法，有定义法，化三角行列式法，升降法，递推法，拆行（列）法，数学归纳法，范德蒙行列式法.高阶行列式不同形式采用不同的方法计算，灵活运用这些方法，基本上可以解决高阶行列式的计算问题.

关键词： 高阶行列式 计算方法 灵活运用

一、引言

行列式的计算是行列式这章很重要的方面，也是学习线性代数的一个难点.对于较低阶的行列式可以直接用性质进行计算，对于高阶行列式若用行列式的性质解答，则计算量很大，而且很难解答出来.本文总结了高阶行列式计算的一些方法，有助于计算行列式.

二、高阶行列式的计算方法

方法1：定义法

这一类型的情况一般行列式中零比较多，根据行列式的定义知，行列式展开后，每项都取自行列式不同行，不同列的n个元素的乘积.符号取决于行和列的逆序.

例1：D■=a■ 0 … 00 0 … a■… … …0 a■ 0 0 =（-1）■a■a■a■…a■=（-1）■a■a■…a■

方法2：化三角行列式法

一般用行列式的性质将行列式化为上（下）三角行列式进行计算.

例2：

D■=x a■ … a■a■ x … a■… … …a■ a■ … a■a■ a■ … x=x+■a■ a■ … a■x+■a■ x … a■ … … …x+■a■ a■ … a■x+■a■ a■ … x

=（x+■a■） 1 a■ … a■ 1 x … a■… … … 1 a■ … a■ 1 a■ … x

=（x+■a■）1 0 … 01 x-a■ … 0… … …1 a■-a■ … 01 a■-a■ … x-a■=（x+■a■）■（x-a■）

方法3：升（降）法

（1）降阶：按行（列）展开计算行列式.

例3：D■=x y 0 … 00 x y … 0… … … …0 0 0 … yy 0 0 … x=x x y … 0 0… … … … 0 0 … x y 0 0 … 0 x+y·（-1）■y■=x■+（-1）■y■

（2）升阶加边法：给行列式加上一行一列，行列式可以化为上（下）三角行列式计算.

例4：计算n阶行列式（m≠0）

D■=x■-m x■ … x■ x■ x■-m … x■ … … … x■ x■ … x■-m■1 0 0 … 01 x■-m x■ … x■1 x■ x■-m … x■… … … …1 x■ x■ … x■-m

=1 -x■ -x■ … -x■1 -m 0 … 01 0 -m … 0… … … …1 0 0 … -m=1-■■x■ -x■ -x■ … -x■ 0 -m 0 … 0 0 0 -m … 0 … … … … 0 0 0 … -m=（1-■■x■）（-m）■

方法4：递推法

递推方法计算行列式：是将已知行列式按照行（列）展开成结构完全相同的低阶行列式，找出结构相同的递推关系式，利用递推关系求出行列式的值.

例5：计算n阶行列式，按照第一列展开

D■=x -1 0 … 00 x -1 … 00 0 x … 0… … … -1a■ a■ a■ … a■+x=-1 0 … 0x -1 … 0… … …0 0 … -1+xx -1 … 00 x … 0… … …a■ a■ … x+a■

得到递推关系式D■=xD■+a■，

故D■=xD■+a■=x（xD■+a■）+a■=x■（xD■+a■）+a■x+a■

=…=x■+a■x■+a■x■+…+a■x+a■

方法5：拆行（列）法

利用行列式定义，将行列式拆成几个行列式之和再进行计算.

例6：计算n阶行列式D■=1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■ y■1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■ … … …1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■■

解：当n=1时，D■=1+x■y■

当n=2时，D■=1+x■y■ 1+x■y■1+x■ y■ 1+x■ y■=（x■-x■）（y■-y■）

当n>2将行列式第1列拆成两列得

D■=1 1+x■y■ … 1+x■y■1 1+x■ y■ … 1+x■ y■1 1+x■y■ … 1+x■y■… … …1 1+x■y■ … 1+x■y■■+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■x■ y■ 1+x■ y■ … 1+x■ y■x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■… … …x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■■

=1 x■y■ x■y■ … x■y■1 x■ y■ x■ y■ … x■ y■1 x■y■ x■y■ … x■y■… … … …1 x■y■ x■y■ … x■y■

+y■x■ 1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■x■ 1+x■ y■ 1+x■ y■ … 1+x■ y■x■ 1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■… … … …x■ 1+x■y■ 1+x■y■ … 1+x■y■■=0

方法6：数学归纳法

例7：证明D■=α+β αβ 0 … 0 1 α+β αβ … 0 0 1 α+β … 0… … … … 0 0 0 … α+β=■

证明：当n=1时，D■=α+β等式显然成立.

假设对于小于n自然数，等式仍成立.

当k=n时，将D■按第一列展开

D■=α+β αβ 0 … 0 0 1 α+β αβ … 0 0 0 1 α+β … 0 0 … … … … … 0 0 0 … 1 α+β=（α+β）D■-αβD■

利用归纳假设，有：

D■=（α+β）■-αβ■=■结论成立，

因此对于所有的正整数N结论成立.

类型7：范德蒙行列式法

只要行列式结构符合范德蒙行列式结构就可以进行计算了，有些行列式形式上看起来不像范德蒙行列式，但是经过一定的变形之后就是范德蒙行列式.

例8：计算D■=a■■ a■■b■ … b■■a■■ a■■b■ … b■■… … … a■■ a■■b■ … b■■a■a■…a■≠0

此行列式可化为范德蒙行列式

解：D■=a■■a■■…a■■1 ■ … （■）■1 ■ … （■）■… … …1 ■ … （■）■=a■■…a■■ 1 1 … 1 ■ ■ … ■ … … …（■）■ （■）■ … （■）■

=a■■a■■…a■■■（■-■）

参考文献：

[1]蔡光兴，李逢高.线形代数（第三版）[M].2011.

[2]郑列，耿亮.线性代数应用与提高[M].2012.

[3]耿亮.线性代数习题集[M].2011.

[4]黄基廷，赵丽棉.高阶行列式的计算方法与技巧[J].科技信息，2010（23）.