力的分解与求作三角形

王子洲

众所周知，力的合成与分解遵循平行四边形定则，并由此衍生出三角形法则。即：

1力的三角形法则

两个分力及其合力组成三角形的三条边。两个分力首尾相接。从起点直接到终点的有向线段表示合力的大小和方向。如图示：

既然两个分力与合力恰好组成三角形，那么我们可以把力的分解问题看成是求作三角形的问题。

2 几何中确定三角形的条件

至少知道三个量，且三个量中至少有一个是边。我们在初中几何中学过，三角形有六个要素，即三个角和三条边。要作一个三角形，至少要知道三个要素，且三个要素中至少有一个是边。 例如：已知三角形的两边及其夹角，我们就可以根据“边角边判定定理”判定能且仅能作一个三角形。又如：已知三角形的一条边及两个角，我们就可以根据“角边角判定定理” 判定能且仅能作一个三角形。

3 力的矢量三角形与几何中三角形边和角的对应关系

我们先明白两个基本知识：①力的大小对应三角形的边长，即知道一个力的大小就知道三角形的一条边。②两个力的方向确定三角形的一个角。即：在两个分力及其合力三个量中，知道任两个力的方向就相当于知道了该两个力的夹角。

4 求分力的解法

由于两个分力及其合力组成三角形，所以在求一个力的分力时,一般地，能作几个三角形就有几种分解方法。下面我们举例来说明一下。

例1：已知一个力F及其一个分力F1求另一个分力F2。问有几种分解方法（有几个解）？分析：题中给的条件是知道合力F及F1就相当于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的两条边F、F1，同时由于也知道他们的方向。故又给出了三角形该两边的夹角。根据“边角边全等定理〈SAS〉”知由题中所给的条件可得到一个固定的三角形。故分解方法仅有一种即F2仅有一解。如图一。

例2：已知力F及其两个分力的方向。求两个分力。分析：已知力F就同时知其大小和方向。不难看出本题设给出了的矢量三角形的一条边和三个角。由全等定理ASA或推论AAS可知能且仅能作出一个三角形。故本题仅有一种分解方法。如图二。

图一 图二

例3：已知力F及两个分力的大小，求两个分力。分析：从题设可以看出本题给了三角形的三条边。由SSS知，能且仅能作出一个三角形。但考虑到三角形的矢量性，我们将两个分力F1、F2的方向交换一下便又得一个三角形。在几何上两个三角形全等。但考虑到矢量性，我们知道是两种解法。故本题有两解。如图：

从上面的例子我们可以看出，把力的分解转化成求作三角形的问题，可以把一些问题简单化、明了化。使问题的思路清晰可见，起到化繁为简，化抽象为具体，化难为易的作用。我们再看下面的例子：

例4 已知力F及一个分力F1的方向和另一个分力F2大小，问有几种分解方法。分析：本题等于给了三角形的两边和其中一条边的对角。不满足“角角边”所以能作几个三角形并不固定。我们先画出力F和力F1的夹角，设它们的夹角为θ如图示：由几何知，

（1）若 F2=F·Sinθ时，恰能作一个三角形。故只有一解。如图示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ时，可作两个三角形，故有两个解。如图示：

（3）若 F2≥F时，只能作一个三角形。故只有一解。如图示

（4）若 F2≤F·Sinθ时，不能作三角形。故无解。图略

小结：综上所述，由于两个分力与合力恰好组成三角形，我们可以把力的分解问题转变为初中几何中的三角形问题，使问题更简单化。力的分解问题其实就是作三角形和解三角形的问题。一般地，根据题中条件，能作几个三角形就能有几种分解方法。但我们还要根据几何中的纯线段三角形与力的矢量三角形的不同而具体情况具体区别。

注意：本节所讲的规律只适用于不在一条直线上的力的分解。同一条直线上的力的分解由于不能组成三角形故不适用于本规律。

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众所周知，力的合成与分解遵循平行四边形定则，并由此衍生出三角形法则。即：

1力的三角形法则

两个分力及其合力组成三角形的三条边。两个分力首尾相接。从起点直接到终点的有向线段表示合力的大小和方向。如图示：

既然两个分力与合力恰好组成三角形，那么我们可以把力的分解问题看成是求作三角形的问题。

2 几何中确定三角形的条件

至少知道三个量，且三个量中至少有一个是边。我们在初中几何中学过，三角形有六个要素，即三个角和三条边。要作一个三角形，至少要知道三个要素，且三个要素中至少有一个是边。 例如：已知三角形的两边及其夹角，我们就可以根据“边角边判定定理”判定能且仅能作一个三角形。又如：已知三角形的一条边及两个角，我们就可以根据“角边角判定定理” 判定能且仅能作一个三角形。

3 力的矢量三角形与几何中三角形边和角的对应关系

我们先明白两个基本知识：①力的大小对应三角形的边长，即知道一个力的大小就知道三角形的一条边。②两个力的方向确定三角形的一个角。即：在两个分力及其合力三个量中，知道任两个力的方向就相当于知道了该两个力的夹角。

4 求分力的解法

由于两个分力及其合力组成三角形，所以在求一个力的分力时,一般地，能作几个三角形就有几种分解方法。下面我们举例来说明一下。

例1：已知一个力F及其一个分力F1求另一个分力F2。问有几种分解方法（有几个解）？分析：题中给的条件是知道合力F及F1就相当于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的两条边F、F1，同时由于也知道他们的方向。故又给出了三角形该两边的夹角。根据“边角边全等定理〈SAS〉”知由题中所给的条件可得到一个固定的三角形。故分解方法仅有一种即F2仅有一解。如图一。

例2：已知力F及其两个分力的方向。求两个分力。分析：已知力F就同时知其大小和方向。不难看出本题设给出了的矢量三角形的一条边和三个角。由全等定理ASA或推论AAS可知能且仅能作出一个三角形。故本题仅有一种分解方法。如图二。

图一 图二

例3：已知力F及两个分力的大小，求两个分力。分析：从题设可以看出本题给了三角形的三条边。由SSS知，能且仅能作出一个三角形。但考虑到三角形的矢量性，我们将两个分力F1、F2的方向交换一下便又得一个三角形。在几何上两个三角形全等。但考虑到矢量性，我们知道是两种解法。故本题有两解。如图：

从上面的例子我们可以看出，把力的分解转化成求作三角形的问题，可以把一些问题简单化、明了化。使问题的思路清晰可见，起到化繁为简，化抽象为具体，化难为易的作用。我们再看下面的例子：

例4 已知力F及一个分力F1的方向和另一个分力F2大小，问有几种分解方法。分析：本题等于给了三角形的两边和其中一条边的对角。不满足“角角边”所以能作几个三角形并不固定。我们先画出力F和力F1的夹角，设它们的夹角为θ如图示：由几何知，

（1）若 F2=F·Sinθ时，恰能作一个三角形。故只有一解。如图示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ时，可作两个三角形，故有两个解。如图示：

（3）若 F2≥F时，只能作一个三角形。故只有一解。如图示

（4）若 F2≤F·Sinθ时，不能作三角形。故无解。图略

小结：综上所述，由于两个分力与合力恰好组成三角形，我们可以把力的分解问题转变为初中几何中的三角形问题，使问题更简单化。力的分解问题其实就是作三角形和解三角形的问题。一般地，根据题中条件，能作几个三角形就能有几种分解方法。但我们还要根据几何中的纯线段三角形与力的矢量三角形的不同而具体情况具体区别。

注意：本节所讲的规律只适用于不在一条直线上的力的分解。同一条直线上的力的分解由于不能组成三角形故不适用于本规律。

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众所周知，力的合成与分解遵循平行四边形定则，并由此衍生出三角形法则。即：

1力的三角形法则

两个分力及其合力组成三角形的三条边。两个分力首尾相接。从起点直接到终点的有向线段表示合力的大小和方向。如图示：

既然两个分力与合力恰好组成三角形，那么我们可以把力的分解问题看成是求作三角形的问题。

2 几何中确定三角形的条件

至少知道三个量，且三个量中至少有一个是边。我们在初中几何中学过，三角形有六个要素，即三个角和三条边。要作一个三角形，至少要知道三个要素，且三个要素中至少有一个是边。 例如：已知三角形的两边及其夹角，我们就可以根据“边角边判定定理”判定能且仅能作一个三角形。又如：已知三角形的一条边及两个角，我们就可以根据“角边角判定定理” 判定能且仅能作一个三角形。

3 力的矢量三角形与几何中三角形边和角的对应关系

我们先明白两个基本知识：①力的大小对应三角形的边长，即知道一个力的大小就知道三角形的一条边。②两个力的方向确定三角形的一个角。即：在两个分力及其合力三个量中，知道任两个力的方向就相当于知道了该两个力的夹角。

4 求分力的解法

由于两个分力及其合力组成三角形，所以在求一个力的分力时,一般地，能作几个三角形就有几种分解方法。下面我们举例来说明一下。

例1：已知一个力F及其一个分力F1求另一个分力F2。问有几种分解方法（有几个解）？分析：题中给的条件是知道合力F及F1就相当于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的两条边F、F1，同时由于也知道他们的方向。故又给出了三角形该两边的夹角。根据“边角边全等定理〈SAS〉”知由题中所给的条件可得到一个固定的三角形。故分解方法仅有一种即F2仅有一解。如图一。

例2：已知力F及其两个分力的方向。求两个分力。分析：已知力F就同时知其大小和方向。不难看出本题设给出了的矢量三角形的一条边和三个角。由全等定理ASA或推论AAS可知能且仅能作出一个三角形。故本题仅有一种分解方法。如图二。

图一 图二

例3：已知力F及两个分力的大小，求两个分力。分析：从题设可以看出本题给了三角形的三条边。由SSS知，能且仅能作出一个三角形。但考虑到三角形的矢量性，我们将两个分力F1、F2的方向交换一下便又得一个三角形。在几何上两个三角形全等。但考虑到矢量性，我们知道是两种解法。故本题有两解。如图：

从上面的例子我们可以看出，把力的分解转化成求作三角形的问题，可以把一些问题简单化、明了化。使问题的思路清晰可见，起到化繁为简，化抽象为具体，化难为易的作用。我们再看下面的例子：

例4 已知力F及一个分力F1的方向和另一个分力F2大小，问有几种分解方法。分析：本题等于给了三角形的两边和其中一条边的对角。不满足“角角边”所以能作几个三角形并不固定。我们先画出力F和力F1的夹角，设它们的夹角为θ如图示：由几何知，

（1）若 F2=F·Sinθ时，恰能作一个三角形。故只有一解。如图示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ时，可作两个三角形，故有两个解。如图示：

（3）若 F2≥F时，只能作一个三角形。故只有一解。如图示

（4）若 F2≤F·Sinθ时，不能作三角形。故无解。图略

小结：综上所述，由于两个分力与合力恰好组成三角形，我们可以把力的分解问题转变为初中几何中的三角形问题，使问题更简单化。力的分解问题其实就是作三角形和解三角形的问题。一般地，根据题中条件，能作几个三角形就能有几种分解方法。但我们还要根据几何中的纯线段三角形与力的矢量三角形的不同而具体情况具体区别。

注意：本节所讲的规律只适用于不在一条直线上的力的分解。同一条直线上的力的分解由于不能组成三角形故不适用于本规律。

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