“比较教学法”在力学课程教学中的运用实践

陈玉骥

［摘要］“比较教学法”是教学中的常用方法之一，是教师在教学实践中着重体现教学内容间异同关系的思维过程和方法。任何一门课的教学都离不开比较，只要根据课程特点，适当地把握好“比较”这一教学方法，就有利于提高教学效果和作用。

［关键词］比较教学力学课程

［中图分类号］G642［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）13-0121-03

比较是通过对比对象之间的差异和共同点来认识对象的一种科学方法，正如黑格尔指出的：“我们所要求的是看出异中之同或同中之异”。比较在教学中的应用就是“比较教学法”，其思路是在教学活动中将两个或两个以上的认识对象放在一定的条件下进行对比, 从而确定认识对象属性的异同、地位的主次、作用的大小、问题的难易或认识的正误深浅, 以达到辨识、了解和把握认识对象之目的。

“比较教学法”是教学中的应用较广泛的方法之一。教学中的比较包括相关课程中相关内容的比较和同一课程中相关内容的比较。在力学课程教学中，“比较”的内容包括基本原理、基本概念、计算公式和计算结果等方面。“比较”贯穿于教学的各环节中，可以在讲授新内容前提出前述已修相关内容的思路并对比提出新内容的整体思想（如在讲授弹性力学课程中的薄板小挠度弯曲问题时，可先回顾平面问题位移解法的思路，由此再引出薄板小挠度弯曲问题的基本思想）；可以在讲述新内容过程中的每一步或若干步与前述已修相关内容进行比较（如在讲授结构力学课程中的位移法基本原理过程时，可不断与力法的相关步骤进行比较分析）；可以在讲述完新内容后再与前述已修相关内容进行比较（如结构力学课程中讲完矩阵位移法之后，可将其与传统位移法进行比较作为本章的小结）。在教学中，通过比较，提出问题，并分析、解决问题，既可巩固前面已修相关内容的知识，又可加深对新内容的理解，分清新、旧内容的联系和差别，避免混淆相关概念，促进思考，培养学生进行比较、分析和鉴别的能力，区分不同课程及不同方法的适用条件、应用范围，可以使学生所学知识系统化, 对问题的认识更加全面、细致、深入, 启发学生的求异思维, 培养学生的创新思想，等等。可见，教学中“比较”的作用是十分重要的。

下面结合在结构力学和弹性力学教学中的经验，谈一下笔者在这两门课程教学中比较方法的应用实践（包括与先修课程材料力学的比较）。

一、相关课程中相关内容的比较

材料力学与弹性力学、结构力学与弹性力学是前后密切联系的课程，通过它们之间异同的比较，以加深对三门课程差异和关系的认识。

（一）弹性力学与材料力学的比较

弹性力学与材料力学可以在研究对象、力学模型、研究方法和计算结果等方面进行比较。材料力学的研究对象主要是梁结构（悬臂梁、简支梁等）和杆结构，而弹性力学的研究对象则十分广泛，包括板、壳、实体结构等，此外还对梁结构作进一步研究。材料力学中为简化计算引入了平截面假定，由此求出梁横截面上的正应力沿梁高为线性分布；而弹性力学则无此假定，故弹性力学的解更为精确。通过弹性力学中将梁的解答与材料力学的解答进行比较，可以说明在梁纯弯曲时，平截面假定是正确的，因而材料力学的解答与弹性力学的解答相同。而梁在一般横向荷载作用下，平截面假定不成立。此時只是在浅梁中，材料力学确定的梁中最大应力与弹性力学的解相差较小。但对于深梁，用材料力学的方法计算应力，则误差较大，故深梁只能用弹性力学的方法求解。另外，材料力学的方法只能求出梁轴线的挠度，而无法确定其他点的挠度与整个梁的轴向位移，但是弹性力学的解法则可求出梁中所有各点的各个方向的位移。

此外，通过对开有小孔的矩形薄板在均布拉（压）力作用下的应力分布情况的材料力学解答与弹性力学解答比较可知，在离孔边较远处，材料力学的解与弹性力学的解基本相同。但在孔边附近存在应力集中，材料力学的解无法反映此现象，故必须用弹性力学的方法确定孔边应力集中问题。

（二）结构力学与弹性力学的比较

结构力学与弹性力学可以在杆系结构有限元法与平面问题有限元法、力法与应力解法、位移法与位移解法、梁的振动与板的振动、梁的稳定与板的稳定等方面进行比较。

结构力学中的杆系结构有限元法与弹性力学中的平面问题有限元法，它们的总体思路是相同的，即先离散，进行单元分析；再集合，进行整体分析。但前者属于一维问题，后者属于二维问题。对于一维问题，单元只有杆单元一种；而二维问题中，单元类型则较多，包括三角形三结点单元、矩形四结点单元等。对于杆单元，只要保证结点位移与单元杆端位移协调，即可保证位移的连续性，且内力也是连续的。而对于平面单元（三角形单元、矩形单元等），为了由结点位移确定单元内的位移以及由位移求出应变，并保证相邻单元之间位移的连续性，就必须建立单元的位移模式。可见，平面问题有限元法较杆系结构有限元法复杂。

此外，结构力学中的力法和位移法可分别与弹性力学平面问题的应力解法和位移解法进行比较，见表1和表2。

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二、同一课程中相关内容的比较

结构力学和弹性力学都是逻辑性很强的学科, 许多内容既相互联系, 又存在区别。根据教学实际, 在讲授某些章节新知识的时候, 可以联系以前学过的、学生已掌握的相关的知识进行比较教学, 使学生在“温故”的过程中更好地“知新”。

（一）结构力学中相关内容的比较

结构力学中有很多相关内容具有可比性，如静定结构与超静定结构、力法与位移法、力矩分配法与无剪力分配法、影响线与内力图、动力计算与静力计算、自由振动与受迫振动、先处理法与后处理法等内容都可进行比较。比如，力法与位移法，虽然两者从计算步骤上看非常相似，但每一步的含义却不相同。第一步都是确定基本未知量，取基本结构。但力法是确定多余约束力，位移法则是确定独立结点位移。力法取基本结构的方式是去约束，而位移法则是加约束，虽然两者措施相反，但目的却是一致的，即要将原结构的计算转化为基本结构的计算，也就是要将未知领域的计算问题转化为已知领域的计算问题。对于力法，是将超静定结构的计算转化为静定结构（当然也可转化为较简单的超静定结构）的计算，而位移法则是将原结构的计算转化为单跨梁的计算。进行这种转化条件为：对于力法是变形条件，对于位移法则是平衡条件。最后得到的典型方程也很相似，但具体含义不同，力法典型方程中未知量为多余约束力，系数、自由项表示位移，而位移法典型方程中未知量为独立结点位移，系数、自由项表示力。可见，虽然两种方法步骤上有某些类似之处，但内含却是完全不同的。

结构力学中有许多易混淆的概念, 在教学中要特别注意比较, 以帮助学生准确理解。影响线与内力图就是容易混淆的两个概念，它们的比较见表3。

表3 影响线与内力图的比较

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（二）弹性力学中相关内容的比较

弹性力学中的平面应力问题与平面应变问题、逆解法与半逆解法、位移解法与应力解法、直角坐标下的基本方程与极坐标下的基本方程、平面问题的应力函数解法与扭转问题的应力函数解法、薄板的小挠度问题与大挠度问题、扭转问题与薄膜问题等内容均可进行比较。如，直角坐标下的平面微分方程■+■+X=0■+■+Y=0与■+■■+■+K■=0■+■■+■+K■=0极坐标下的平衡微分方程 可比较如下：直角坐标下的两个平衡方程表示∑Fx=0和∑Fy=0（水平平衡和竖向平衡），而极坐标下的两个平衡方程表示∑Fr=0和∑Fθ=0（径向平衡和环向平衡）。直角坐标下的体力X、Y和σx、σy、σxy应力分别相当于极坐标下的Kr、Kθ和σr、σθ、σrθ。但极坐标下的两个平衡微分方程较直角坐标下的两个平衡微分方程各多出了一部分。其原因是：在极坐标中微元体为扇形，即与r轴平行两边长度均为dr, 但彼此却不平行，其夹角为dθ, 导致环向正应力σθ在∑Fr=0中有贡献，其影响就是-■；而与θ轴平行的两个边是平行的但不等长，其中长边较短边长了drdθ，该部分上的径向正应力σr对∑Fr=0的贡献即为■，剪应力τrθ对∑Fθ=0贡献即为■。可见，极坐标下平衡微分方程中的多出部分是由于扇形微元体的四条边“等长不平行、平行不等长”的特征导致的。同理，两种坐标系下的几何方程也可进行类似分析比较。

另外，两种平面问题以及扭转问题和薄膜问题都具有可比性，它们的比较情况分别见表4和表5。

表4两种平面问题的比较

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表5扭转问题与薄膜问题比较

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三、结语

本文介绍了笔者在两门力学课程教学中实施比较的一些具体作法。实际上，任何一门课的教学都离不开比较，只要根据课程特点，适当地把握好“比较”这一教学方法，对于提高教学效果，其作用是不言而喻的。

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［责任编辑：张雷］