泰勒公式与泰勒级数的比较教学

汪训洋　张鹏展

【摘要】泰勒公式与泰勒级数是科学与工程计算中的两大重要数学工具，但对于初学者很难弄清两者的细微差异从而影响它们在具体问题中的正确应用.本文，我们首先通过分别分析它们的定义指出二者的区别，继而指出它们在科学计算中的不同作用.最后，我们列举了二者若干相关应用来结束本文.

【关键词】比较教学法；泰勒公式；泰勒级数；科学计算

引言

比较教学法是教师在教学实践中传授的思维过程和方法，主要反映和确定不同教学内容的差异和相似之处.其要素包括“比较”“对比”和“参照”.通常，包括三种类型，即寻求共同点和差异比较，以及相似性比较.比较教学法的运用有助于培养学生独立思考和自主学习的能力.正确运用该方法可以帮助学生区分概念，提高分析的层次，并最终得出对问题的理解与规律性认识.比较教学方法也应用于物理、医学、数学等诸多领域的教学.本文将运用比较教学法，探讨泰勒公式和泰勒级数的异同点及其作用.

众所周知，泰勒公式和泰勒级数均为古老的数学命题，它们首次被杰出的英国数学家Brook Taylor所提出并命名.它们在近似计算以及函数性质研究[7，8]等方面发挥着极其重要的作用.我们注意到对二者的应用已经远远超出了其初衷，换言之，它们不仅仅作为工具应用于数学领域，它们更加被广泛地应用于某些应用型学科，譬如力学、分析化学、计算物理等等.因此，它们都被作为大学生在学习专业知识之前的先修内容而出现在“高等数学”中，特别是对主攻科学与工程计算的学生尤为重要.然而遗憾的是，由于大学新生们知识相对匮缺、经验不足，他们在学习过程中很难辨别二者的细微差异，从而不能方便地应用这两个重要工具.在学习这些内容时，大学生们面临如下实际问题：泰勒公式与泰勒级数的区别与联系是什么？它们在未来的学习中到底有何作用或者应用？

本文结构安排如下.下节，我们详细讨论以上提出的两个问题，具体地讲，我们将通过分析它们各自的定义来明确二者的差异并指出它们的作用与在各方面的应用.最后，我们给出一些相关结论，并希望对学生有所启发与帮助.

一、泰勒公式与泰勒级数的比较

预备知识

为了方便后续讨论，我们首先回顾相关的定义与重要的定理.

定义1假设函数f（x）在点x0处存在直到n阶导数，则我们称多项式

Tn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2！+…+f（n）（x0）（x-x0）n/n！

为函数f（x）在点x0处展开的n阶泰勒多项式.

由定义1已知，泰勒多项式Tn（x）具有如下性质：

f（k）（x0）=T（k）0（x0），k=0，1，2，…，n，

该性质揭示了如下事实：在具体工程计算中，常常可用泰勒多项式来代替函数本身进行处理.

定理1假设函数f（x）在点x0处存在直到n阶导数，则

f（x）=Tn（x）+o（x-x0）n，（1）

这里Tn（x）就是n阶泰勒多项式.

公式（1）通常被称为泰勒公式，并频繁地被用于各种数学证明.我们记Rn（x）=f（x）-Tn（x），称之为泰勒公式的余项.余项Rn（x）有多种形式，譬如o（x-x0）n被称为Peano-型余项，确切地讲，公式（1）应当被称着带有Peano-型余项的泰勒公式.另一个常见形式为

f（n+1）（ξ）（x-x0）（n+1）/（n+1）！

被称为Lagrange-型余项，带有此余项的泰勒公式形如

f（x）=Tn（x）+f（n+1）（ξ）（x-x0）n+1/（n+1）！，（2）

当我们用Tn（x0）来近似函数值f（x0）时，它经常被用于估计由此引起的误差.公式（2）也常常被称为泰勒中值定理.

定义2假设函数f（x）在点x0无穷次可微，则无穷级数

f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2！+…+f（n）（x0）（x-x0）n/n！+…

被称为函数f（x）在点x0处的泰勒级数.

以下定理由Brook Taylor建立，它指出了泰勒公式与泰勒级数的区别.

定理2假设函数f（x）在x0的某个领域U（x0，r）存在各阶导数，则在U（x0，r）内，f（x）=∑∞n=0f（n）（x0）n！（x-x0）n充要条件是limn∞Rn（x）=0，这里，Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1为Lagrange-型余项.

二、泰勒公式与泰勒级数的区别、作用与应用

我们首先来澄清这两个相似概念中的细微区别.一般而言，计算一个已知函数在某个固定点处的近似值，其精度往往依赖于两个方面.其一是函数自身的属性，即当函数在该点只能有限次求导时，函数在该点处不能展为无穷泰勒级数，我们只能利用有限项的泰勒公式来近似计算其函数值.其二是具体要求，如果仅仅需要有限近似，我们往往选择泰勒公式进行处理，这种情况经常在多个领域的工程计算中会出现.当要求无限近似时，我们就选取泰勒级数，譬如在相关问题的数学证明时.

总而言之，我们有如下结论：泰勒公式常用于不要求足够精度的近似计算，而泰勒级数是用于研究具有无穷可微性质的函数，特别在函数性质证明方面.

进一步地，我们来讨论二者在实际问题与科学研究的共同作用，即它们在近似计算中的应用.近似计算的本质思想是用简单的多项式函数来代替相对复杂的一般的非线性函数.为了阐述此思想，我们通过一个简单的例子说明如下.

例估算以下近似计算所引起的误差：

（1+x）1/2≈1+x/2-x2/8，x∈[0，1].

由公式（2），易得

（1+x）1/2≈1+x/2-x2/8+…+（-1）n-1（2n-3）！！xn/2nn！+（-1）n（2n-1）！！（1+θx）-n-1/2xn+1/2n+1（n+1）！，0<θ<1，

因此，若取n=2，则有

|R2（x）|=3|x3（1+θx）|-5/2/233！≤1/16（1+θ）-5/2≤1/16.

例题表明当x∈[0，1]时，我们用二阶多项式1+x/2-x2/8去近似代替非线性函数（1+x）1/2的误差不超过1/16.

实际上，泰勒公式与泰勒级数在数学中还有以下广泛的应用，现列举如下.

（1）它们可用于计算极限问题；

（2）在求解微分方程的解时，我们可以先验地假设存在无穷级数解，然后代回方程逐次确定各项.即所谓的无穷级数解法；

（3）泰勒公式常常可用于证明不等式问题；

（4）它们可以用来研究函数的极值相关等问题，如凹凸性和拐点等；

（5）它们可以用来证明其他级数的敛散性.

当然，它们还有很多其他方面的应用，不一而足.而且，随着学科的发展也许还会有一些新的突破性的应用.最近泰勒公式与泰勒级数已经被利用于研究多变量函数的性质，请参阅Reshetnyak的工作.

三、结论

本文旨在帮助大学新生学习与理解泰勒公式与泰勒级数的差异与作用.有鉴于此，我们首先介绍了二者最新的应用以激发大家的学习兴趣.然后，我们指出了二者的细微差别，即在近似计算的精度方面，泰勒公式是有限精度而泰勒级数是无限精度.此外，为了启发大家的学习，我们还列举出了二者的常见的应用.

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