浅谈美国微积分教材的编写特色

朱凤琴

［摘要］ 以美国流行的四部教材为样本，可以分析得出美国微积分教材的五个特色，它们分别是：先进的教育理念；教材内容呈现方式的多样性；重视微积分的应用；信息技术的充分运用；习题量丰富，层次分明，注重应用。由于中美微积分教学改革有着相似的历史背景，美国微积分教材的特色可给我国高等数学教材建设提供有益的启示。

［关键词］美国微积分教材特色启示

［中图分类号］O172［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）13-0051-03

20世纪90年代后期，随着高校扩招，高等教育从精英教育走向大众教育。高等数学（国外称为微积分）教学基本都是大班教学，由于学生基础参差不齐，且学习兴趣不大，因而学生的学业成绩不是很理想。针对我国高等数学教育的现状，各高校积极进行了一系列大学数学教学改革。教学内容改革是其中重要的一个方面，大家一致认为课程内容的合理设置是提高高等数学教学质量的起点。因此，随后几年高等数学教材便如雨后春笋般冒出来，但经典的不是很多。为了打开视野，多角度提供编写适于学生学习的好教材，下面介绍美国流行的微积分教材特点，期望为我国高等数学教材编写提供有益启示。

一、中美微积分教学改革背景的相似性

1965年-1975年间，美国高校扩招比例最大，越来越多的学生进入高校之前就已在高中学过微积分。因此扩招使得学生的组成与和教材内容各方面都有很多变化。到20世纪80年代中期,进入美国高等学院的学生人数达到历史最高,在那些招生规模很大的高校中，微积分教学班的学生数同样也急剧增加。其结果是,微积分班中不及格的学生人数以及百分比也增加了。从1985年起，美国的大学开始致力于微积分课程内容及教学方式的改革。1987年,国家科学基金会（NSF）宣布启动微积分计划。NSF投入大量资金用于微积分改革项目,这促使很多优秀数学家对整个微积分课程进行严肃的反思。改革虽有争议，但项目成果包括很多优秀的微积分教材及丰富的教学方式，今天还在美国大学的数学课堂中流行。由于中美教改背景的相似性，并且美国的教学改革要比我们早20年左右，所以我们可以借鉴他们的教材编写特色，吸收其精华，避免走不必要的弯路，以加快我国微积分教材的现代化建设。

为了便捷归纳出美国微积分教材特色，我们采用了在美国很多大学采用的流行的经典教材，它们是：

1. 微积分，D.休斯·哈雷特，A·M.克菜逊等著，胡乃,邵勇，徐可，马志鹏，徐刚译，高等教育出版社，1997.

2. 微积分（翻译版，原书第9版），Dale Varberg, Edwin J.Purcell, Steven E.Rigdon 著，刘深泉，张万芹，张同斌，杜保健等译，机械工业出版社，2011.

3. Thomas Calculus（10th Edition）,by Ross Finney et al,2001.

4.Calculus （5th Edition）, by James Stewart, 2003.

为了叙述方便，上述教材在下文中分别称为：“教材一”、“教材二”、“教材三”、“教材四”。

二、美国微积分教材的特色

（一）先进的教育理念

“教材一”是由美国国家科学基金会资助，以哈佛大学为首的合作组尝试编著的微积分课程。合作组认为微积分具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非凡能力，以前的教学往往忽略了数学本身，也忽略了它的实际价值。为了恢复微积分的数学内容，合作组在教材编写时努力遵循两条原则。一是三项准则：课程的每一主题都应该从几何、数值和代数三个方面加以体现；二是阿基米德方法：正式的定义与方法是根据对实际问题的调查研究得出的。

后来三项准则又被扩展成四原则，即认为除图像、数值、符号外还应包括语言。这里的语言既包括自然的描述性语言,也包括形式化的数学语言运用。从几何、代数、算术、数值的多元表征方式充分展现数学概念,符合个体认知规律,有利于个体理解。不同的表征能够传达不同的信息,从整合的表征中获取的信息,比从一种单一的表征中获取的信息要多。

基于原则二阿基米德方法，课本的编写是问题驱动式的，只要有可能，编者总是从实际问题出发，并由此推出相关定义或定理。另外，四部教材的编者也一直牢记一个编写原则：教科书是为学生写的。因此教材的语言都重视自然语言，由浅入深，由特殊到一般，由直观到抽象，知识台阶层次分明，给学生自学提供了方便。

（二）教材內容呈现方式的多样性

正是基于先进的教育理念，美国教材总是从简单的实际问题或浅显的旧知识入手，利用自然的语言层层铺垫，引导出新知。教材的表述不仅体现数学的严谨性和抽象性，还在行文中恰当的将前人由现实到抽象，再到应用的过程中所经历的智慧、方法及趣事展现给学习者，这种全方位的展示，使学生在学习过程中，不仅学到微积分知识，同时也了解到微积分的发展背景、本质及其局限，有利于培养学生的创新性思维。

教材内容、结构顺序的多样化。比如“教材二”的内容安排是：0.预备知识，1.极限，2.导数，3.导数的应用，4.定积分，5.积分的应用，6.超越函数，7.积分技巧，8.不定型的极限和反常积分，9.无穷级数，10.圆锥曲线与极坐标，11.空间解析几何与向量代数，12.多元函数的微分，13.多重积分，14.向量微积分。“教材一”的内容安排则是：1.函数库（包括指数函数与对数函数），2.关键概念：导数，3.关键概念：定积分，4.简明微分，5.利用导数，6.由函数的导数重新构造函数本身，7.积分，8.定积分的应用，9.微分方程，10.逼近。可见教材内容及结构顺序的不同，可适合不同学习者的需求，满足学习者的好奇心，促进轻松自由的多元化学习方式。

（三）重视微积分的应用

美国教材的突出特点是把数学理论应用于解决实际问题,题目内容丰富,涉及面广,量大,紧密结合了最新的实际问题。“教材三”的应用题就涉及物理、建筑、几何、生物、医学、经济、金融、军事、政治等各个方面。比如，在讲到导数应用问题时教材介绍了血管照影术和成形术,并引用了两张医学上的原理图。从数学的角度看，这些问题都只不过是关于某个指标的变化率,然而一旦和实际问题相联系,就增加了题目的趣味性,拓宽了读者的知识面,学生也会在学习过程中感受到微积分的应用价值。

（四）信息技术的充分运用

计算机辅助教学已在美国各教材中有所体现，比如一些较复杂函数的图形都是计算机绘制的。“教材四”是一本适合高职院校使用的微积分教材。这本书在当今国际上是非常畅销的微积分教材，这与其丰富的信息技术的应用不无关系。其信息技术应用的特色包括：1．力求将微积分知识用图形、文字、数值和代数的方式加以呈现（即“四原则”），以帮助学生理解这些学习内容，而不仅满足于只会进行计算或证明。2．充分发挥计算机的符号运算功能。计算机的绘图功能在微积分教材中得到充分体现应是必然，但其强大的符号运算功能在国内微积分教材中却显得“无用武之地”。3．重视图形计算器（或计算机）的应用。教材开辟专门章节讲述图形计算器（或计算机）的使用方法。并强调信息技术在处理微积分中的优势与不足。4．重视信息技术对培养学生思维能力的作用,如例题或习题都明确给出了基于信息技术的验证、估计、猜想、比较等思维环节与方法，将培养学生的数学思维能力落到实处。另外，该教材还有辅助学习软件与教材网站，这都有助于学生个性化学习及创新性学习。

（五）习题量丰富，层次分明，注重应用

因为教材是为学生编的，为了方便学生学习，美国教材都配置了大量的习题。下面以“教材二”为例来说明其习题配置特色。

1．教材中的习题量大，类型多，层次分明。习题总量达6100题，包括概念复习题，难度各异的计算题、证明题和应用题，综合性较强的探索研究题。2．有的习题是不同数学学科之间的交叉题，开阔了学生思路。3．应用题尽可能反映当代科技发展的新成果，贴近时代发展步伐。4．有的习题需要运用信息技术方可完成。5．适当注意习题的趣味性，吸引学生去做。

三、美国微积分教材特色对我国教材编写的启示

（一）明确教材编写的目的与原则

目前，国内也有一些经典的高等数学教材，比如同济大学的《高等数学》，人大出版社吴赣昌编著的《高等数学》，这些都是很受大家欢迎的。比如同济《高等数学》（第四版）这样讲到:本书第四版是在全国高校工科数学课程教学指导委员会指导下,遵照国家教委“对质量较高,基础较好，使用面较广的教材要进行锤炼”的精神,并结合修改的《高等数学课程教学基本要求》在三版的基础上修改成的。这次修改广泛吸取全国同行的意見,从教学角度出发进行仔细推敲,改写了一些重要概念的论述,调整了习题的配制,每章增加总习题,使内容和系统更加完整。第四版保持了第三版结构严谨、逻辑清晰、叙述详细、通俗浅显、例题较多、便于自学等优点,又在保证教学基本要求的前提下,扩大了适应面,增强了伸缩性。可见，好的教材必须有好的指导方针与编写原则。不可回避的是我们还有一些教材编写质量很差，不谈编者的数学功底，这些教材编写的初衷往往不是为了学生，而是为了应付学校的科研考核，或是为了评职称。今天我们重读经典教材，希望他们的编写原则能影响到我们，也让国产高等数学教材走出国门，走向世界。

（二）在尊重数学逻辑性与抽象性同时，注重数学的直观性、趣味性

数学是一个公理化体系，逻辑性与抽象性是它的特征。教材编写就是把学术性数学形态转化为教育数学形态的工作。为了易于学生接受数学知识，教材编写者有责任以直观形象、通俗易懂的语言表达数学，从图像、数值、符号、语言多元表征方式充分展现数学概念及定理。适时介绍杰出的数学家，介绍数学概念发展史，介绍各种数学符号的由来，这不仅有助于学生理解所学数学知识，同时也能对学生进行人文素质教育，使学生对所学知识有认同感，提高学习兴趣。

（三）增加例题及习题量，注重应用题

相对于美国教材，国内教材的习题量偏少，应用题型还徘徊在几十年不变的几个物理或经济上的应用。例题量的增加，并不意味着课堂教学量的提升，而是给学生提供更多的自学题材，大学生不同于中学生，课后完全可以通过自学例题加深课堂认知，通过课外适当做习题巩固新知，扩宽视野。当然，为了感受到微积分的强大应用功能，提高学生的学习兴趣，习题配置一定要和实际问题相结合，这样才能让学生真实感受到微积分的非凡能力。

（四）加强信息技术在教材中的体现

国内教材的编写者也注意到了信息技术必将走进微积分教学，翻开每本教材，在附录中总会看到有关某个数学软件的介绍。在进行精品教材建设时，总会有部分内容被上传到网络，这说明在我们的高等数学教学中已有信息技术的身影。但是真正能把信息技术恰当地融入教材中的还很少。信息技术的使用是以提高学生的学习质量为原则的，并非为用技术而技术，不当的技术使用不如不用。具体怎么把信息技术恰当地融入教材，是一个值得深入研究的课题，我们可以借鉴国外的一些做法，慢慢探讨实践。

［参考文献］

［1］D.休斯·哈雷特，A·M.克菜逊等著，胡乃,邵勇，徐可，马志鹏，徐刚译.微积分［M］.北京：高等教育出版社，1997.

［2］ Dale Varberg, Edwin J.Purcell, Steven E.Rigdon 著，刘深泉，张万芹，张同斌，杜保健等译.微积分（翻译版，原书第9版）［M］.北京：机械工业出版社，2011.

［3］ ［美国］Finney, Weir, Giordano.托马斯著，叶其孝,王耀东,唐兢译.微积分（第十版）［M］.北京:高等教育出版社,2003.

［4］James Stewart著，白峰杉译．微积分（第5 版）［M］．北京：高等教育出版社，2004.

［5］郭镜明，应明，朱晓平．美国微积分教材中的习题配置特色［J］．大学数学，2005（2）：13-17.

［6］郭镜明，朱晓平，应明．交流互补融合提高——中美微积分教材内容的比较［J］．高等数学研究，2006（1）：6-10.

［7］吴志坚，肖滢，吴兴玲．中美微积分教材比较研究［J］．高等数学研究，2010（3）：43-47.

［责任编辑：陈明］