多种载荷作用下梁内力图快速画法的探讨

田来社

［摘要］工程力学是一门专业技术基础课,是高等院校理工科专业必修课程之一。结合工程力学的教学实践，就弯曲变形梁的剪力图、弯矩图如何快速绘制做了较好的探究和实践。当梁受多种载荷共同作用时，此方法画弯矩图更显现其快捷和方便，既有利于老师的教学，也有利于学生的学习和掌握，具有事半功倍的效果。

［关键词］剪力图弯矩图快速绘制

［中图分类号］G642［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）13-0085-02

工程力学是一门专业技术基础课，是高等院校理工科专业必修课程之一。学好本门课程对后续的专业课与课程设计起着非常重要的支撑作用。在本课程教学中，其中一个很重要的内容就是要进行构件强度和刚度的计算与设计，要完成此任务就必须首先解决内力计算和画出内力图，以便确定构件可能的危险截面。常见的内力图有轴力图、扭矩图、剪力图、弯矩图，其中的剪力图、弯矩图的画法就是教学的难点之一，对于梁在多种载荷同时作用下，学生更是难以掌握。因此，探讨梁在多种载荷作用下，如何快速画出剪力图、弯矩图是十分必要的。

一、预备知识

1. 剪力的正负号：能使微段梁的左右截面发生左上右下的错动趋势，则剪力规定为正，反之剪力为负。如图1（a）、（b）所示的分别是正剪力和负剪力。

2. 弯矩的正负号：能够使梁弯曲成下凸上凹趋势时，则弯矩为正；反之弯矩为负，如图1（c）、（d）所示分别是正弯矩和负弯矩。

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图1

3. 剪力图、弯矩图的特征：首先对简支梁在集中力、集中力偶、均布载荷单独作用下，通过建立剪力与弯矩方程，分别画出剪力图和弯矩图，由于载荷简单，教师讲授、学生学习还是比较容易掌握的，同时也为快速画出梁在多种载荷作用下的剪力图和弯矩图做好铺垫。通过观察上述三种载荷对应的内力图，可以得到下面剪力图和弯矩图的基本特征：

（1）均布载荷段的梁，剪力图为斜直线，q＞0，剪力图（Q图）自左向右上斜，q＜0，Q图自左向右下斜；弯矩图（M图）为抛物线，抛物线的开口与均布载荷方向一致。

（2）有集中力作用的截面上的剪力凸变，变化的大小与方向与集中力一致，而弯矩值不变，但弯矩图出现折角，折的尖角方向与力的指向相反。

（3）集中力偶作用的截面附近两侧的弯矩值发生突变，自左向右遇到顺时针力偶弯矩值向上突变，逆时针力偶弯矩值向下突变，而集中力偶作用处剪力值不变。

（4）梁的两端若为铰链约束且无集中力偶作用，则弯矩值为零。

（5）梁段之间剪力为零的截面上弯矩值為零。

（6）梁上剪力值为零的截面弯矩有极值。

二、剪力图的快速画法

1. 正负号规则：“上正下负”。其内涵是自左向右画，向上的外力包括分布载荷产生正剪力，向下的外力产生负剪力。画图方法：遇到向上的外力向上画，遇到向下的外力向下画，向上向下画多大，外力多大画多大，遇到无外力的段水平画，遇到均布载荷斜着画，向下均布载荷向下斜，向上均布载荷向上斜。最后画出的剪力图与水平轴构成封闭图形。如果不能封闭，说明弯矩图的画法或计算有问题。

2. 如图2（a）图所示的简支梁画剪力图为例，介绍画剪力图的操作方法：首先利用平衡方程计算出简支梁的约束反力，RA=8KN，RB=12KN。然后自左向右画，遇到RA向上画8KN，AC段梁上有5KN/m向下的均布载荷，自A截面到C截面的剪力图向下斜，QC=RA-5×2=-2KN。CE之间无载荷作用，剪力图画成水平直线。集中力偶作用处剪力不变化，QE左=-2KN。过E截面时遇到10KN向下的外力作用，因此在-2KN的基础上向下再画10KN，QE右=12KN。EB段无外力作用，水平画直线，过B截面遇到RB=12KN，向上画12KN，与水平坐标轴形成封闭的图形。全梁上最大的剪力的绝对值Qmax=12KN。如图2（b）所示。

三、弯矩图的迅捷画法

弯矩图的画法采用关键截面弯矩值的控制方法，具体方法如下：

1.关键截面的含义：集中力（含约束力）作用的截面、分布力端点对应的截面、集中力偶附近两侧的截面、均布载荷段剪力为零对应的截面。

2. 基本法则：任意截面上的弯矩等于该截面一侧所有外力含外力偶对该截面形心取矩的代数和。即：M=∑mc（Fi）

其正负号规定为：取左段的力或力偶对研究的截面形心形成的矩使梁产生顺时针转动产生正弯矩，反之负；取右段使梁绕研究截面形心逆时针转向的力或力偶产生正弯矩，反之负。以上规则简称为“左顺右逆”产生正弯矩，反之形成负弯矩。

3. 控制截面上的弯矩值：可利用基本法则算出各控制截面上的弯矩值 。如图2（a）所示：

MA=0

MC=RA×2-5×2×1=6KN.m

MD负=RA×3-5×2×2=4KN.m

MD正=RB×2-10×1=14KN.m

MB=RA×1=12KN.m

MG=RA×1.6-5×1.6×0.8=6.4KN.m

根据弯矩图的特征知道，剪力为零截面处的弯矩有极值，利用几何关系可求得AG=1.6m。

4. 画弯矩图举例：如图2（a）所示的梁上受有有集中力、集中力偶均布载荷多种载荷的作用，画弯矩图如下：

（1）画出弯矩图的坐标系，纵坐标表示弯矩截面的位置，横坐标表示梁截面的位置，分别在坐标系上画出上述控制截面弯矩值对应的点。

（2）梁上AC段有均布载荷，弯矩图的形状是抛物线。

（3）CD段图形为斜直线，过D截面有顺时针力偶，弯矩值自左向右向上突变，突变的弯矩值是10KN.m

（4）DE、EB段的弯矩图分别为自左向右向下倾斜的直线，由于两段梁的剪力值不同，向下倾斜的程度不同，剪力越大，倾斜的程度就越大。

（5）用光滑的曲线或直线连接个控制点得到弯矩图。如图2（c）所示.。

该梁的最大弯矩值为Mmax=14KN.m

结论：通过利用关键点的弯矩值控制方法，结合弯矩图、剪力图的特征，画弯矩图省时省力，易学易做。特别对受多种载荷作用的梁，绘制剪力图、弯矩图更显方便和快捷。

［参考文献］

［1］王玉杰.巧画内力图［J］.机械工程与自动化，2006（2）：154-155.

［2］李杰.《材料力学》内力图教学的创新实践［J］.邢台职业技术学院学报,2006（1）：10-12.

［3］赵火英.浅谈在材料力学中准确绘制内力图的技巧［J］.萍乡高等专科学校学报,2012（3）：99-102.

［责任编辑：张雷］