在运动中分析,在变化中求解

吴金有

在初中数学中与“动”有关的问题一般都是教学中的难点，而且这类问题对学生思维品质的培养和各种能力的提高都有很大的促进作用。在近年的中考命题中，许多地区都以“动点”的问题作为压轴题。这类试题集代数与几何的众多知识点于一题，渗透了分类讨论、数形结合等教学思想。

这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间关系，或变量在一定条件下为定理时，进行相关几何计算和综合性解答。解决这类题，一般要根据图形变化的过程，对其不同的情况进行分类求解。本文以各地市的中考动点型问题为例进行分析。

一、动点与列函数关系相结合

此类问题一般是通过参变量时间t，并利用几何的一些性质，得到关于含t的代数式，由此来描述动点的运动过程，使动点视为定点参与计算，从而列出含参变量t的函数关系式，这是初中数学中解决“动点”问题最常用的方法之一。

例1[2014年冲刺卷]如图，直线Y=- 3-4 x+6与坐标轴分别A,B 两 点，动点P、Q同时从0出发，同时到达A点，运动停止，点Q沿线段AO运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿线段O→B→A运动。

（1）写出A、B两点的坐标；

（2)  设点Q运动时间为1秒，∠OPQ面积为S，求S与t之间的函数关系式;

（3）当S=48-5时，求P点的坐标，并求出O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M坐标。

分析：本题是动点和函数关系式的综合性试题，这类的问题难度不太大。处理方法是探索P点运动规律，对运动过程进行分类讨论。再根据题目的要求列函数关系式。

二、动点与图形相似结合

这种“动点与图形相似结合”的综合性试题，它让动点带几何图形的运动变化，在变化中利用相似的讨论方法进行分类讨论。

例2[2009广西钦州]如图，已知抛物线y=(3-4 )x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（-1，0），过点C的直线y=( 3-4t )x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．

（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由。

分析：以P、H、Q为顶点的三角形随P点的运动形状不断变化，但△COQ的形状和各边长是固定不变，利用相似三角形的知识和相似讨论的方法不难求解本题的答案。

三、动点与最值问题相结合

动点与最值问题相结合是近年来兴趣的新型试题，这类题目综合性和探索性较强，要求学生在动中求静，必须要对图形分析、观察，才能正确地求解。

例3[2014中考模拟卷]如图，在平面直角坐票系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4、3）。平行于对角线AC的直线M从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t(秒)。

（1）点A的坐标是 ，点C的坐标是 ；

（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由。

分析：本题以动点为背景，要求学生正确分析变量和其他量之间的内在联系，建立变量与其他量之间的函数关系式，并运用数形结合的知识和方法去解决二次函数的最值问题。解题过程中渗透数形结合思想。

四、动点与分类讨论相结合

分类讨论在数学中应用比较广泛，它对考查学生全面分析问题、考虑问题可能产生的多种情况的能力有独特的作用。

例4[2007金华] 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4，√3），点B在x正半轴上，且∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒√3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

分析：解答这类问题要进行分类讨论，随P在线段BA上移动，△PMN的大小及位置都发生变化，则等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的形状发生变化，找到重叠部分“形”变化时的t进行分类讨论。解答此题要求学生仔细审题，根据条件分类画出图形，通过观察、比较、分析图形的变化，提示图形之间的内在联系。这种题型有一定探索性，知识的综合性强，对学生的思维能力要求高，试题有一定的区分度，深受命题老师的欢迎。

参考文献：

[1]张奠宙，李士.《数学教育学导论》.高等教育出版社，2003年

[2]朱仁宝、王荣德主编.《21世纪老师素质修养》.浙江大学出版社，2001年

[3]布卢姆等编.《教育评价》.华东师范大学出版社，1988年