中学数学中的数学归纳法教学小议

母其丙

【摘 要】归纳法是数学推理中经常用到的一种方法，本文对数学归纳法在中学教学中的难点和关键进行了探讨。

【关键词】推理数学教学归纳法

在数学推理中，常用的方法是演绎法和归纳法，归纳推理又可以分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法所得出的结论是可靠的，因为它考察了问题所涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象。数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数的个数是无限的，不可能对所有自然数进行验证，所以用完全归纳法是不可能的。由于只对部分自然数验证得到结论不一定是可靠的，因此就需要学习一种新的推理方法——数学归纳法。

数学归纳法是关于正整数n的命题的一种特殊的直接证明方法，特别是在证明一些与正整数n有关的数学命题时；在数学中有着重要的用途，要求能用数学归纳法证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法的应用，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性；因此在中学数学中是从问题情境中引发数学归纳法的学习欲望，然后对多米诺骨牌蕴含的原理进行分析，再用多米诺骨牌原理解决数学问题，最后从具体事例中概括归纳出数学归纳法的一般步骤：

1. 证明当n取第一个值n=n0（例如n0=1或2等）时结论成立；

2. 假设n=k （k≥n0，kN*）时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立。

完成这两个步骤，就可以断定结论对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。

用数学归纳法证明有关问题的难点和关键在第二步，而这一步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时结论成立”为条件，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推导出“当n=k+1时结论成立”，而不是直接代入，否则 n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明。但是在实际教学中学生往往不会使用归纳假设，即在证明中不使用“n=k时结论成立”这个条件，而直接将n=k+1代入，便断言此时结论成立，从而得出原命题成立的结论。需要引导学生分析这样的“证明”中存在的问题：由此不能得出递推关系“n=k时结论成立n=k+1时结论成立”，因此证明并没有完成。这一步实际上是证明一个命题：“若n=k（k≥n0，kN*）时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立”，其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷。如果没有它，即使已经验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立。

当然，也不是说第一步就可有可无，没有它证明就如同空中楼阁，是不可靠的。在教学中可以结合反例进行说明。例如，“奇数是2的倍数”显然是个假命题，但是如果没有第一步，直接假设“如果奇数m是2的倍数”，却能推出“那么后一个奇数k+2也是2的倍数”。同时在教学中还需要强调：用数学归纳法进行证明时，第一步从n取几开始，要根据具体问题而定。一般地，如果要证明的结论是对全体正整数都成立的，则需要从n=1开始；如果需要证明的结论是对于不小于n0的全体正整数都成立的，则需要从n=n0开始证明；如果要证明的结论是对全体自然数都成立的，则需要从n=0开始证明。

用数学归纳法可以证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学问题，例如：用数学归纳法证明

1+3+5+……+（2n-1）=n2

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。

（2）假设当n=k时等式成立，就是

1+3+5+……+（2k-1）=k2

那么，1+3+5+……+（2k-1）+[2（k+1）-1]

=k2+[2（k+1）-1]

=k2+2k+1

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。

但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析，一般来说从n=k时的情形过渡到n=k+1时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，就可以应用数学归纳法，否则使用数学归纳法就有困难。

在中学数学，数学归纳法主要用于证明题，给学生提供一个新的思路解题，给学生开阔视野的角度；从未来应用的角度，将来会涉及计算机编程，数学归纳法是递归循环的简单形式，有利于学生今后理工科知识的理解和学习；从应试角度，数学归纳法是中学数学的必修课，也是考试必考的知识点，也是比较好拿分的知识点。

【参考文献】

[1]孙名符.数学教育学原理[M]. 科学出版社，1997.

[2]曹才翰、蔡金法.数学教育学概论[M]. 江苏教育出版社，1989.

[3]涂荣豹.试论反思性数学学习[J]. 数学教育学报，1998（9）.

[4]沈文.中学数学思想方法[M]. 湖南师范大学出版社，1997.

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