探讨《三角函数不等式》教学中的几个常见问题

霍蓓筠

【摘 要】本文对三角函数不等式教学中的常见问题展开探讨，让学生在学习中既可以加深对三角函数的理解，又可以使学生对不等式进一步了解，还可以为以后的学习打下坚实的基础。

【关键词】三角函数不等式

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数，其本质是在任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，定义域十分宽广，为整个实数域。另一种定义则是在直角三角形中，但表现也不完全。而在现代的数学中将三角函数描述成无穷数列的极限以及微分方程的解，把它又扩展到了复数系的范畴中。

一、三角函数不等式的几个常见问题分析

（1）由三角函数的相关知识我们可以知道，在平面直角坐标系当中，如果选取角α的终边上的任意一个点作轴上的垂线，那么所得到的三角函数值并不会因为这个点所取位置的不同而发生变化。以下对这个原因进行探讨，分析这种定义的意义。

首先，其意义表现在，如果把原点当做圆心，半径值取2来定义任意角α的三角函数值，在这里我们设α的终边和圆的交点为Q（x.y），这样就可以算出它的正弦值和余弦值，而正切值。由此我们可以看出，如果利用单位圆去定义三角函数，那么数值会更加清楚和简洁，而且在正弦函数以及余弦函数的自变量与函数值的对应关系中表现得更为突出。其次，由于单位圆中点的坐标对应的就是角的三角函数，所以任何一个角的三角函数代数的形式都能够用图象更加直观地表现出来。例如下图1，根据图1我们可以设∠POM和单位圆相交于点P（x.y），那么∠POM的正弦值y、余弦值x以及正切值都可以在图象上找到各自的对应点，即么、以及。因此单位圆的使用可以让我们在解答三角函数值以及在作三角函数图象的过程中更加便捷。最后，借助单位圆和三角函数的图象，可以更为方便地利用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、每个三角函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式 ，以及三角函数的简化公式。

（2）在教学的课堂上，经常听到教师用“奇变偶不变，符号看象限”的语句概括六组简化公式，并要求学生背出并运用这个口诀的同时要将α看做是一个锐角，但是这个α是否存在为任意角的可能性？

通常来说，简化公式的确是一个可以适用于任意角的公式，它可以揭示任意角α的三角函数值与（k∈Z），，，-α的三角函数值之间的内在联系。我们可以用数形结合来思考这个问题，那么三角函数的简化公式其实也可以当做是圆的对称性的代数表现形式，也就是根据任意角α的终边和（k∈Z），，，-α的终边之间的对称关系来得出三角函数的数值，于是可以看出，这个跟角α是不是锐角完全没有关系。

我们还可以举一个例子，比如，显然并不是一个锐角。在用简化公式的时候，我们可以用sin的值来探索的值，当然在这个时候，我们通常关注到的已经不再是本身终边的位置了，而是和两者之间终边有什么关系。大家都知道，和的终边是关于原点对称的，如果要把化成是任意角α，那么这个关系也仍然成立。根据三角函数的定义可以知道角α和π+α的正弦值是互为相反数的关系，而我们在记忆简化公式中，可以将α看成是一个锐角，也就是说，以上的解题步骤只是公式记忆的一种方法而已。

二、三角函数不等式的几何证明

根据以上图1的问题，学生会产生疑问。例如对于正切函数以及正弦函数的图象是怎样，之间有没有交点。教师都会回答有，当=0时，=0，=0，那么两者就相交于原点（0，0）。同样的道理，当=π时，两者之间相交于（π，0）。根据正切曲线以及正弦曲线的周期性，两者相交于（kπ，0）（k∈Z），这就有无穷多个相交点了。如果学生对有没有存在其他交点的问题还存在疑问，例如在区间（0，）上，的图象是不是在的上面，或者有一段是否相互重合的，再或者两者之间是否存在交点。其实，通过上面的图1，我们可以知道sin∠POM=|PM|，tan∠POM=|AT|，显然|AT|>|PM|，因此tan∠POM＞sin∠POM。也就是说，在区间（0，）上，的图象始终都在的上方，而且会随着∠POM的增大而增大。这个时候学生就会明白，刚开始由于∠POM很小，所以tan∠POM和sin∠POM的差也很小，看上去两者的图象比较象重合，但实际上tan∠POM始终比sin∠POM要大，因此的图象就会一直都在的上方。

这时教师可以引导学生回到最初的问题上去，以及的图象究竟是怎样的。我们知道，这两者的图象相交点是（kπ，0）（k∈Z），那么在区间（0， ）上，的图象都会出现在图象的上方，同时它们都是奇函数，因此在区间（-，0）上，的图象又会在图象的下方。于是其他的范围就会很明确，可以根据其周期性画图即可。教师根据以上过程及时作出总结：也就是说在区间（0，）上的图象最重要。于是可以更深入地研究这个范围的图象，或者我们还可以找出一个量，保证它的值始终小于|AT|，并且大于|PM|。这样可以引导学生认真思考，是不是|PM|<<|AT|显然在图1的单位圆中，S△POA

以上的不等式，当∈（0，）时<<，它有一个非常重要的应用会体现在微积分上[2]，用它来加以证明，这些都在对学生知识的学习和理解能力之上，但是如果学生对这方面的知识有足够的兴趣，而且对三角函数不等式的相关知识掌握足够牢固的话，教师也可以利用知识再深入地向学生进行展示和分析，不断探讨三角函数不等式的乐趣所在。

运用三角函数的有关性质证明不等式是一种重要的方法，可以利用三角函数的基本关系，单调性、有界性、凹凸性证明可换元为三角函数型不等式，并利用作差法、作商法、判别式法、主元法、导数法等方法证明三角函数型不等式。除此之外，在三角函数不等式的相关知识中，还包括了很多例如调整原理的知识点，比如设f （x）定义在区间（a，b）（任何区间上），或者可以设置f （x），x∈（a，b）为正值函数的时候，如何证明不等式成立等，这些都可以通过调整的原理加以论证。由此可见，学习好有关三角函数的知识，并将三角函数运用到不等式的证明中是十分重要的。

三、结束语

在高等数学的教学过程中，有关三角函数的内容都是数学教学的一个难题，学生对三角函数不等式的把握和理解各有差异，在学习过程中遇到了很多难题，因此，有关数学中三角函数不等式的内容是一大重要而复杂的问题。本文由此对数学中三角函数不等式教学中常见的几个问题进行展开探讨，举出事例具体分析三角函数不等式的相关问题，以获取解疑答惑的目的。

【参考文献】

[1]杨海波.三角函数中的不等式[J].试题与研究（新课程论坛），2013，11（25）：61-62.

[2]周再禹.三角函数不等式的调整证法[J].科技资讯，2013，12（21）：46-48.