求解排列组合问题的八种策略

董文荣

排列组合问题是学习的难点，高考的重点，今举例说明求解排列组合问题的常用策略.

一、特殊元素、特殊位置优先安排策略

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再满足其他元素或位置.

例1（2008陕西高考）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲，乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种.

解析先安排最后一棒A12， 再安排第一棒A12，最后安排中间四棒A44，所以不同的的传递方案共有A12A12A44=96种.

二、先选元后排列策略

对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列.

例2（2010湖北高考）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）.

A. 152 B. 126 C. 90 D. 54

解析按从事司机工作的人数进行分类：

（1）有1人从事司机工作有：C13C24A33（或C13C13C24A22）=108种；（2）有2人从事司机工作有：C23A33=18种.

所以不同安排方案的种数是108+18=126.

三、分类讨论的策略

对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此需要对各种不同情况进行合理分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象的发生.分类讨论策略适用于正面情况较少的情形，若较多时，可考虑用间接法.

例3（2013年浙江高考）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析按C的位置分类计算.

（1）当C在第一或第六位时，有A55=120种排法；

（2）当C在第二或第五位时，有A24A33=72种排法；

（3）当C在第三或第四位时，有A22A33+A23A33=48种排法.

所以共有2×（120+72+48）=480种排法.

四、相邻问题捆绑处理策略

对于某些元素要求相邻的排列问题，可先将相邻元素捆绑看做一个元素，再与其它元素进行全排列，同时对该相邻元素进行内部排列.

例4（2010年重庆高考）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）.

A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种

解析解法一：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2×A22A14A44种方法，甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A22（A44+A13A13A33）种方法，故共有1008种不同的排法.

解法二：不考虑丙、丁的情况共有A22A66=1440种排法；在甲乙相邻的情况下，丙排10月1日有A22A66=240种排法，同理，丁排10月7日也有A22A55=240种排法，丙排10月1日且丁排10月7日有A22A44=48种排法，则满足条件的排法有A22A66-2A22A66+A22A44=1008种.

五、不相邻问题插空处理策略

某些元素要求分离（间隔）排列，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把要求分离的几个元素插入上述几个元素的空档或两端.

例5（2013年大纲全国）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种（用数字作答）.

解析不相邻问题用插空法解决.先把甲、乙以外的4个人全排列，有A44种排法，然后将甲、乙两人插入这4人隔成的5个空中的两个，有A25种排法.因此共有A44A25=24×20=480种不同排法.

六、借助模型策略

有些排列组合问题直接求解时较困难，若能认真理解题意，抽象出其中的数量关系，通过构建数学模型来求解，则可简捷巧妙地解决.常用的有构建立体几何模型、构造挡板模型等.

例6（上海高考）如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥， 将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 （ ）.

A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种

解析如图：构建三棱锥A-BCD，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁，由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成.从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法为C36-4=16种.

七、正难则反等价转化的策略

对于正面情况较复杂而其反面情况却简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况即可.这种解法也称作“间接法”.一般含“至多”“至少”型的问题常采用这种解法.

例7（2011北京高考）用数字2，3组成的四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个.

解析解法一：（间接法）2，3组成的四位数共有24=16个，由2组成的4位数为1个，由3组成的4位数为1个，不符合题意.所以符合题意的数为16-1-1=14个.

解法二（分类讨论）数字2，3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24=6个四位数；“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14=4个四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34=4个四位数.

综上所述，共可组成14个这样的四位数.八：均分问题作商法处理的策略对于均分问题，要注意重复出现的情况，均分为 组，要除以 .一般地：设有 个元素平均分成n组，每组m个，有 种方法；平均分成n组，再分配到n个位置，有 种方法.例8：（2010江西高考）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种.解析：先将6位志愿者分组，共有 种方法，再把各组分到不同场馆，共有 种方法，由分步乘法计数原理可知：不同的分配方案共有 =1080种.endprint

排列组合问题是学习的难点，高考的重点，今举例说明求解排列组合问题的常用策略.

一、特殊元素、特殊位置优先安排策略

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再满足其他元素或位置.

例1（2008陕西高考）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲，乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种.

解析先安排最后一棒A12， 再安排第一棒A12，最后安排中间四棒A44，所以不同的的传递方案共有A12A12A44=96种.

二、先选元后排列策略

对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列.

例2（2010湖北高考）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）.

A. 152 B. 126 C. 90 D. 54

解析按从事司机工作的人数进行分类：

（1）有1人从事司机工作有：C13C24A33（或C13C13C24A22）=108种；（2）有2人从事司机工作有：C23A33=18种.

所以不同安排方案的种数是108+18=126.

三、分类讨论的策略

对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此需要对各种不同情况进行合理分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象的发生.分类讨论策略适用于正面情况较少的情形，若较多时，可考虑用间接法.

例3（2013年浙江高考）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析按C的位置分类计算.

（1）当C在第一或第六位时，有A55=120种排法；

（2）当C在第二或第五位时，有A24A33=72种排法；

（3）当C在第三或第四位时，有A22A33+A23A33=48种排法.

所以共有2×（120+72+48）=480种排法.

四、相邻问题捆绑处理策略

对于某些元素要求相邻的排列问题，可先将相邻元素捆绑看做一个元素，再与其它元素进行全排列，同时对该相邻元素进行内部排列.

例4（2010年重庆高考）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）.

A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种

解析解法一：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2×A22A14A44种方法，甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A22（A44+A13A13A33）种方法，故共有1008种不同的排法.

解法二：不考虑丙、丁的情况共有A22A66=1440种排法；在甲乙相邻的情况下，丙排10月1日有A22A66=240种排法，同理，丁排10月7日也有A22A55=240种排法，丙排10月1日且丁排10月7日有A22A44=48种排法，则满足条件的排法有A22A66-2A22A66+A22A44=1008种.

五、不相邻问题插空处理策略

某些元素要求分离（间隔）排列，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把要求分离的几个元素插入上述几个元素的空档或两端.

例5（2013年大纲全国）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种（用数字作答）.

解析不相邻问题用插空法解决.先把甲、乙以外的4个人全排列，有A44种排法，然后将甲、乙两人插入这4人隔成的5个空中的两个，有A25种排法.因此共有A44A25=24×20=480种不同排法.

六、借助模型策略

有些排列组合问题直接求解时较困难，若能认真理解题意，抽象出其中的数量关系，通过构建数学模型来求解，则可简捷巧妙地解决.常用的有构建立体几何模型、构造挡板模型等.

例6（上海高考）如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥， 将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 （ ）.

A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种

解析如图：构建三棱锥A-BCD，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁，由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成.从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法为C36-4=16种.

七、正难则反等价转化的策略

对于正面情况较复杂而其反面情况却简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况即可.这种解法也称作“间接法”.一般含“至多”“至少”型的问题常采用这种解法.

例7（2011北京高考）用数字2，3组成的四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个.

解析解法一：（间接法）2，3组成的四位数共有24=16个，由2组成的4位数为1个，由3组成的4位数为1个，不符合题意.所以符合题意的数为16-1-1=14个.

解法二（分类讨论）数字2，3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24=6个四位数；“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14=4个四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34=4个四位数.

综上所述，共可组成14个这样的四位数.八：均分问题作商法处理的策略对于均分问题，要注意重复出现的情况，均分为 组，要除以 .一般地：设有 个元素平均分成n组，每组m个，有 种方法；平均分成n组，再分配到n个位置，有 种方法.例8：（2010江西高考）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种.解析：先将6位志愿者分组，共有 种方法，再把各组分到不同场馆，共有 种方法，由分步乘法计数原理可知：不同的分配方案共有 =1080种.endprint

排列组合问题是学习的难点，高考的重点，今举例说明求解排列组合问题的常用策略.

一、特殊元素、特殊位置优先安排策略

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再满足其他元素或位置.

例1（2008陕西高考）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲，乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种.

解析先安排最后一棒A12， 再安排第一棒A12，最后安排中间四棒A44，所以不同的的传递方案共有A12A12A44=96种.

二、先选元后排列策略

对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列.

例2（2010湖北高考）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）.

A. 152 B. 126 C. 90 D. 54

解析按从事司机工作的人数进行分类：

（1）有1人从事司机工作有：C13C24A33（或C13C13C24A22）=108种；（2）有2人从事司机工作有：C23A33=18种.

所以不同安排方案的种数是108+18=126.

三、分类讨论的策略

对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此需要对各种不同情况进行合理分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象的发生.分类讨论策略适用于正面情况较少的情形，若较多时，可考虑用间接法.

例3（2013年浙江高考）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析按C的位置分类计算.

（1）当C在第一或第六位时，有A55=120种排法；

（2）当C在第二或第五位时，有A24A33=72种排法；

（3）当C在第三或第四位时，有A22A33+A23A33=48种排法.

所以共有2×（120+72+48）=480种排法.

四、相邻问题捆绑处理策略

对于某些元素要求相邻的排列问题，可先将相邻元素捆绑看做一个元素，再与其它元素进行全排列，同时对该相邻元素进行内部排列.

例4（2010年重庆高考）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）.

A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种

解析解法一：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2×A22A14A44种方法，甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A22（A44+A13A13A33）种方法，故共有1008种不同的排法.

解法二：不考虑丙、丁的情况共有A22A66=1440种排法；在甲乙相邻的情况下，丙排10月1日有A22A66=240种排法，同理，丁排10月7日也有A22A55=240种排法，丙排10月1日且丁排10月7日有A22A44=48种排法，则满足条件的排法有A22A66-2A22A66+A22A44=1008种.

五、不相邻问题插空处理策略

某些元素要求分离（间隔）排列，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把要求分离的几个元素插入上述几个元素的空档或两端.

例5（2013年大纲全国）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种（用数字作答）.

解析不相邻问题用插空法解决.先把甲、乙以外的4个人全排列，有A44种排法，然后将甲、乙两人插入这4人隔成的5个空中的两个，有A25种排法.因此共有A44A25=24×20=480种不同排法.

六、借助模型策略

有些排列组合问题直接求解时较困难，若能认真理解题意，抽象出其中的数量关系，通过构建数学模型来求解，则可简捷巧妙地解决.常用的有构建立体几何模型、构造挡板模型等.

例6（上海高考）如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥， 将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 （ ）.

A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种

解析如图：构建三棱锥A-BCD，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁，由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成.从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法为C36-4=16种.

七、正难则反等价转化的策略

对于正面情况较复杂而其反面情况却简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况即可.这种解法也称作“间接法”.一般含“至多”“至少”型的问题常采用这种解法.

例7（2011北京高考）用数字2，3组成的四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个.

解析解法一：（间接法）2，3组成的四位数共有24=16个，由2组成的4位数为1个，由3组成的4位数为1个，不符合题意.所以符合题意的数为16-1-1=14个.

解法二（分类讨论）数字2，3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24=6个四位数；“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14=4个四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34=4个四位数.

综上所述，共可组成14个这样的四位数.八：均分问题作商法处理的策略对于均分问题，要注意重复出现的情况，均分为 组，要除以 .一般地：设有 个元素平均分成n组，每组m个，有 种方法；平均分成n组，再分配到n个位置，有 种方法.例8：（2010江西高考）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种.解析：先将6位志愿者分组，共有 种方法，再把各组分到不同场馆，共有 种方法，由分步乘法计数原理可知：不同的分配方案共有 =1080种.endprint