抛物线中过定点的一个推广

容升军

我们知道抛物线中有一个过定点定理：过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O（0，0）作两条垂直的直线OP、OQ分别交抛物线于P、Q两点，则直线PQ必过定点B（2p，0）.如果把定理中的“顶点”改为“抛物线上一特殊点A（a，b）”，那么直线PQ又会过哪个定点呢？

【例题】（2013年吉安市一模考试试题）已知抛物线y2=4x上的一个点A（1，2），过A作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点，则原点O到直线PQ的最大距离为.

解析：设P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直线PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直线PQ必过定点B（5，-2），所以原点O到直线PQ的最大距离为52+（-2）2=29.

如果把定理中的“顶点”改为“抛物线上任意一点A（m，n）”，那么直线PQ又会过哪个定点呢？

解析：由A（m，n）在抛物线上得m=n212p，则

A（n212p，n），设P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直线PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

显然PQ直线过定点B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：过抛物线y2=2px（p>0）上任意一点A（m，n）作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点，则直线PQ必过定点B（2p+m，-n）.

对于抛物线的其他形式也有相似的结论.

（责任编辑黄桂坚）

3.学生自学之后，开展小组合作学习.由于学生的个体差异，在自学过程中，学生对知识的理解程度各不一样.因此学生自学完后，教师不要急于讲解，应留一定的时间，让学生针对自学过程中所遇到的问题互相交流、互相探讨，培养学生的自主学习能力.

四、把握评价的有效性

1.评价要自然、真诚.教育需要赏识，发现孩子身上的闪光点，要肯定孩子的优点.只有发自肺腑的表扬，才能触动学生的心灵，唤起他们积极向上的人生态度.

2.评价要创新、多变.单一重复的评价语会让学生感到厌倦乏味.所以教师最好能广泛收集，加强积累，使评价用语不断更换，常用常新.课堂上使用起来信手拈来，机智善变，时时给学生于不同时空、不同情境、不同对象、不同表现而迥异的评价语，让学生听而不厌.

3.评价要指明改进方向.课堂评价，应以学生为本，关注学生的发展，发挥评价的矫正功能，促使学生在原有水平上提高和发展.要有所发展，就须明确改进的方向.对学生课堂表现优劣的判定是需要的，但提出相应的改进或调整的方法更为重要.

4.评价要肯定、准确.有时，教师为了树立下等生的自信心，在教学过程中给他们一些表现的机会，从而给予鼓励性的评价.教师在作出评价时，一定要实事求是，不能夸大其词，而且要语言准确，忌模糊不清.

通过这几年的教学实践与合理的分组实验，学生的学习能力都有不同程度的提高，今后笔者将继续关注如何提高小组合作学习的有效性，让课堂真正成为全体学生的课堂，让每个学生都成为课堂的主人，全面提高学生的数学成绩.

（责任编辑黄桂坚）endprint

我们知道抛物线中有一个过定点定理：过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O（0，0）作两条垂直的直线OP、OQ分别交抛物线于P、Q两点，则直线PQ必过定点B（2p，0）.如果把定理中的“顶点”改为“抛物线上一特殊点A（a，b）”，那么直线PQ又会过哪个定点呢？

【例题】（2013年吉安市一模考试试题）已知抛物线y2=4x上的一个点A（1，2），过A作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点，则原点O到直线PQ的最大距离为.

解析：设P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直线PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直线PQ必过定点B（5，-2），所以原点O到直线PQ的最大距离为52+（-2）2=29.

如果把定理中的“顶点”改为“抛物线上任意一点A（m，n）”，那么直线PQ又会过哪个定点呢？

解析：由A（m，n）在抛物线上得m=n212p，则

A（n212p，n），设P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直线PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

显然PQ直线过定点B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：过抛物线y2=2px（p>0）上任意一点A（m，n）作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点，则直线PQ必过定点B（2p+m，-n）.

对于抛物线的其他形式也有相似的结论.

（责任编辑黄桂坚）

3.学生自学之后，开展小组合作学习.由于学生的个体差异，在自学过程中，学生对知识的理解程度各不一样.因此学生自学完后，教师不要急于讲解，应留一定的时间，让学生针对自学过程中所遇到的问题互相交流、互相探讨，培养学生的自主学习能力.

四、把握评价的有效性

1.评价要自然、真诚.教育需要赏识，发现孩子身上的闪光点，要肯定孩子的优点.只有发自肺腑的表扬，才能触动学生的心灵，唤起他们积极向上的人生态度.

2.评价要创新、多变.单一重复的评价语会让学生感到厌倦乏味.所以教师最好能广泛收集，加强积累，使评价用语不断更换，常用常新.课堂上使用起来信手拈来，机智善变，时时给学生于不同时空、不同情境、不同对象、不同表现而迥异的评价语，让学生听而不厌.

3.评价要指明改进方向.课堂评价，应以学生为本，关注学生的发展，发挥评价的矫正功能，促使学生在原有水平上提高和发展.要有所发展，就须明确改进的方向.对学生课堂表现优劣的判定是需要的，但提出相应的改进或调整的方法更为重要.

4.评价要肯定、准确.有时，教师为了树立下等生的自信心，在教学过程中给他们一些表现的机会，从而给予鼓励性的评价.教师在作出评价时，一定要实事求是，不能夸大其词，而且要语言准确，忌模糊不清.

通过这几年的教学实践与合理的分组实验，学生的学习能力都有不同程度的提高，今后笔者将继续关注如何提高小组合作学习的有效性，让课堂真正成为全体学生的课堂，让每个学生都成为课堂的主人，全面提高学生的数学成绩.

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我们知道抛物线中有一个过定点定理：过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O（0，0）作两条垂直的直线OP、OQ分别交抛物线于P、Q两点，则直线PQ必过定点B（2p，0）.如果把定理中的“顶点”改为“抛物线上一特殊点A（a，b）”，那么直线PQ又会过哪个定点呢？

【例题】（2013年吉安市一模考试试题）已知抛物线y2=4x上的一个点A（1，2），过A作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点，则原点O到直线PQ的最大距离为.

解析：设P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直线PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直线PQ必过定点B（5，-2），所以原点O到直线PQ的最大距离为52+（-2）2=29.

如果把定理中的“顶点”改为“抛物线上任意一点A（m，n）”，那么直线PQ又会过哪个定点呢？

解析：由A（m，n）在抛物线上得m=n212p，则

A（n212p，n），设P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直线PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

显然PQ直线过定点B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：过抛物线y2=2px（p>0）上任意一点A（m，n）作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点，则直线PQ必过定点B（2p+m，-n）.

对于抛物线的其他形式也有相似的结论.

（责任编辑黄桂坚）

3.学生自学之后，开展小组合作学习.由于学生的个体差异，在自学过程中，学生对知识的理解程度各不一样.因此学生自学完后，教师不要急于讲解，应留一定的时间，让学生针对自学过程中所遇到的问题互相交流、互相探讨，培养学生的自主学习能力.

四、把握评价的有效性

1.评价要自然、真诚.教育需要赏识，发现孩子身上的闪光点，要肯定孩子的优点.只有发自肺腑的表扬，才能触动学生的心灵，唤起他们积极向上的人生态度.

2.评价要创新、多变.单一重复的评价语会让学生感到厌倦乏味.所以教师最好能广泛收集，加强积累，使评价用语不断更换，常用常新.课堂上使用起来信手拈来，机智善变，时时给学生于不同时空、不同情境、不同对象、不同表现而迥异的评价语，让学生听而不厌.

3.评价要指明改进方向.课堂评价，应以学生为本，关注学生的发展，发挥评价的矫正功能，促使学生在原有水平上提高和发展.要有所发展，就须明确改进的方向.对学生课堂表现优劣的判定是需要的，但提出相应的改进或调整的方法更为重要.

4.评价要肯定、准确.有时，教师为了树立下等生的自信心，在教学过程中给他们一些表现的机会，从而给予鼓励性的评价.教师在作出评价时，一定要实事求是，不能夸大其词，而且要语言准确，忌模糊不清.

通过这几年的教学实践与合理的分组实验，学生的学习能力都有不同程度的提高，今后笔者将继续关注如何提高小组合作学习的有效性，让课堂真正成为全体学生的课堂，让每个学生都成为课堂的主人，全面提高学生的数学成绩.

（责任编辑黄桂坚）endprint