一类基于不动点新的强化缓冲算子的构造及其应用

张方红，吴正朋，郑松竺

(中国传媒大学理工学部，北京100024)

1 前言

无论是对实验数据还是对统计数据，在选择模型之前必须对所获得的数据进行分析，否则就会出现定量预测结果和定性分析结论不相符的情况，问题的症结往往不在于所选模型的优劣，而是由于系统行为数据因系统本身受到某种外在冲击而失真。因此，寻求定量预测与定性分析的结合点，设法排除系统行为数据所受到的冲击干扰，还原数据本来面目，从而提高预测的精度，乃是摆在每一位预测工作者面前的一项重要任务［1］。灰色系统理论通过对社会、经济、生态等系统的原始数据挖掘和整理来寻求其变化规律的，这是一种从数据来寻找数据规律的理论体系。灰色系统理论认为，尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但是它是有整体功能的，因此必然蕴涵某种内在规律，关键在于如何选择适当的方法去挖掘它和利用它。刘思峰教授提出的缓冲算子理论［1-4］可以对所获得的数据序列经过某种生成，弱化其随机性，显示其规律性，成功地排除了外在冲击干扰，得到了能够反映系统变化规律的数据序列。

冲击扰动因素对系统行为数据序列的干扰既有加快数据的发展趋势或者使数据的振幅变大，也有减缓数据的发展趋势或使数据序列的振幅变小。为排序这些冲击因素的干扰，文献［4-6］［10］［13］提出了一种实用弱化缓冲算子，文献［7-9］［11-12］构造了一种强化缓冲算子。本文在上述工作的基础上，根据“新信息优先利用”的原理和缓冲算子三公理，基于时间序列的平均发展速度的思想，提出了一种新的强化缓冲算子，并研究其特性及其内在关系，从而使序列前一部分增长(减缓)速度过慢，而后一部分增长(衰减)速度过快的冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题得到有效解决。

2 基本概念

定义1 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，若

(1)若∀k=1，2，…，n-1，x(k)＜ x(k+1)则称X为单调增长序列;

(2)若∀k=1，2，…，n-1，x(k)＞ x(k+1)则称X为单调衰减序列;

(3)若∃k，k'∈{1，2，…，n-1}，有 x(k)＜ x(k+1)，x(k')＞x(k'+1)，则称X为随机振荡序列。令

M=max{x(k)|k∈ {1，2，…，n}}，

m=min{x(k)|k ∈ {1，2，…，n}}

称M-m为序列X的振幅。

定义2［1］设 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经过D作用后记为

XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)

称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。

序列算子作用可以多次进行。相应地，若D1，D2，D3都为序列算子，称D1D2为二阶算子作用序列，等等。

公理1(不动点公理)［1］设X为系统行为数据序列，D为序列算子，则D满足X(n)d=x(n)。

不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列中的数据x(n)保持不变，即运用序列算子对系统行为数据进行调整时，不会改变x(n)。

公理2［1］(信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k)，k=1，2，…，n都应充分参与算子作用的全过程。

信息充分利用公理限定任何序列算子都应以现有序列中的信息为基础进行定义，不允能抛开原始数据序列。

公理3［1］(解析化、规范化公理)任意的 x(k)d，k=1，2，…，n，都可以由一个统一的 x(1)，x(2)，…，x(n)初等解析式表达。

解析化、规范化公理要求由系统行为数据序列得到算子作用序列的程序清晰、规范、统一且尽可能简化、以便于计算出算子作用序列并使计算易于在计算机上实现。

定义3［1］称上述三个公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子，一阶、二阶、三阶缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、三阶缓冲序列。

定义4［1］设X为系统行为数据序列，D为缓冲算子，若满足下列两个条件，则称缓冲算子D为强化缓冲算子

(1)当X为单调增长(单调衰减)序列时，缓冲序列XD比系统行为数据序列X的增长率(衰减率)加快;

(2)当X为振荡序列时，缓冲序列XD比系统行为数据序列X的振幅大。

定理 1［1］设 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，缓冲序列记为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，那么

(1)当X为单调增长序列时，D为强化缓冲算子⇔x(k)d≤x(k)，k=1，2，…，n;

(2)当X为单调衰减序列时，D为强化缓冲算子⇔x(k)d≥x(k)，k=1，2，…，n;

(3)当X为振荡序列时，D为强化缓冲算子则

手术后，周启明的情绪一直不好。他很容易焦虑很容易生气，她理解他。曾经的周启明，是这个家的山，现在他觉得自己不是家人最强大的依靠了。所以才会有一种特别强烈的挫败感吧。

从上述定理可以看出，单调增长序列在强化算子作用下，数据萎缩;单调衰减序列在强化缓冲算子作用下，数据膨胀。

3 一类新的强化缓冲算子的构造

定理2 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统原始行为数据序列，x(k)＞0，k=1，2，…，n，f为一严格单调递增函数，g为其反函数，f＞0，其缓冲序列为 XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，其中则当X为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时，D1都为强化缓冲算子。

证明:容易验证，D1满足缓冲算子三公理，所以，D1为缓冲算子。下面证明D1为强化缓冲算子。

(1)当X为单调增长序列，即0≤x(k)≤…≤x(n)。又因f为一严格单调递增函数，f＞0。

又因g为f为反函数，则

由定理1知，缓冲算子D1为强化缓冲算子。(2)当X为单调衰减序列，即x(k)≥…≥x(n)≥0。

又因f为一严格单调递增函数，f＞0。

又因g为f为反函数，则

(3)若X为振荡序列时，设

x(k)≥x(1)，…，x(n)，x(h)≤x(1)，…，x(n)由x(k)≥x(n)，x(h)≤x(n)

又因f为一严格单调递增函数，f＞0。所以f(x(k))≥f(x(n))，

又因g为f的反函数，则

由定理1知，缓冲算子D1为强化缓冲算子。

定理3设 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统原始行为数据序列，x(k)＞0，k=1，2，…，n，f为一严格单调递增函数，g为其反函数，f＞0。其缓冲序列为 XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，其中

则当X为单调增长序列和单调衰减序列时，D2都为强化缓冲算子。

证明:容易验证，D2满足缓冲算子三公理，所以，D2为缓冲算子。下面证明D2为强化缓冲算子。

(1)若X为单调增长序列，则即0≤x(k)≤…≤x(n)。又因f为一严格单调递增函数，f＞0。

又因g为f为反函数，则

由定理1知，缓冲算子D2为强化缓冲算子。

可仿定理2证明当X为单调衰减序列时，D2都为弱化缓冲算子。

这里，称D2为广义平均强化缓冲算子。

从以上讨论可知，由于强化缓冲算子必须要满足不动点公理，即x(n)d=x(n)，因此强化缓冲算子作用于单调增长序列，数据萎缩，强化缓冲序列的增长速度比原始序列的增长速度减缓;而对于单调衰减序列，在强化缓冲算子作用下，数据膨胀，即强化缓冲序列的衰减速度比原始序列衰减速度减缓。因此，当原始序列的前半部分增长(衰减)速度较缓，后半部分增长(衰减)速度较快时，可以利用本文所构造的强化缓冲算子对原始序列进行作用，将使序列变得比较平缓，并且考虑了“新信息优先”的原则，能够有效地消除冲击扰动对系统数据序列造成的“失真”现象，因而能够提高模型的预测精度。

4 实例分析

以人均电力消费量(单位为千瓦小时)为例来验证本文强化缓冲算子在GM(1，1)预测过程中的作用。选取2000～2006年中国人均电力消费量作为原始数据序列，即

表1 中国人均电力消费量 单位:千瓦小时

目前，中国处在经济发展的工业化进程中，经济的发展对电力的依赖比较大。自从2000年以来，中国克服了亚洲金融危机的影响，政府采取了积极的财政政策和稳健的货币政策，为经济增长注入了活力，引起了电力需求的激增。因此，本文以2000～2005年中国人均电力消费量的原始数据序列作为建模数据，2006年数据作为模型检验数据。计算人均电力消费量环比增长率依次为:9.215%、8.091%、11.132%、9.499%、13.933%、15.090%，年平均增长率为9.468%。对原始数据序列进行准光滑性检验，可以计算当t≥2003时，光滑比分别为:0.401、0.313、0.272、0.246，均在(0，0.5)内，且光滑比递减，满足准光滑性条件，因此原始序列的一次累加生成序列具有准指数规律［1］。但是明显看出，原始序列前半部分增长速度有点慢，后半部分增长速度较快，因此，最好要对原始数据序列进行平滑，以削弱冲击扰动因素的干扰，凸现数据的规律性。

为此，取f(x)=g(x)=x来构造缓冲算子，以本文构造的缓冲算子对原始数据进行二阶强化处理，建立预测模型，并和原始数据序列直接建模进行比较，见表2

表2 两种情况GM(1，1)模型

由表2知，原始数据序列经过强化缓冲算子D1和D2二次作用后，所得到的强化缓冲序列都比原始数据序列直接建模的预测相对误差小，其中作用后得到的二阶强化缓冲序列的预测相对误差最小，预测值为241.210，比较逼近观测值249.4。

取f(x)=x2，g(x)=x0.5来构造缓冲算子，以本文构造的缓冲算子对原始数据进行二阶强化处理，建立预测模型，并和原始数据序列直接建模进行比较，见表3。

由表3知，原始数据序列经过强化缓冲算子D1和D2二次作用后，所得到的强化缓冲序列都比原始数据序列直接建模的预测相对误差小，其中D2作用后得到的二阶强化缓冲序列的预测相对误差最小， 预测值为241.23，比较逼近观测值249.4。

表3 两种情况GM(1，1)模型

5 结论

本文在已有的文献基础上，根据严格单调递增函数和时间序列的平均发展速度的思想构造了一类新的强化缓冲算子，并证明了文献［8，9］的强化缓冲算子是强化缓冲算子D1的特例。利用所构造的缓冲算子对具有前半部分增长速度较慢，而后半部分增长速度较快特征的原始数据序列与二阶强化缓冲序列分别进行了预测精度比较。实例结果表明:(1)用D1和D2强化缓冲算子处理的缓冲序列预测精度比原始数据序列有显著提高;(2)通过比较2个新的强化缓冲算子作用后的强化缓冲序列的预测值可以发现，D1和D2作用的强化缓冲序列预测值逐渐逼近观测值，其中原始序列经过D2作用后，预测相对误差都比D1小。D2强化缓冲算子能够充分有效地消除原始数据序列中的冲击扰动因素的干扰，显现数据的规律性。且显示可通过选择不同的严格单调函数f，g来提高预测精度。因此，对于具体的数据，如何选择严格单调函数f，g是接下来研究的重点。

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