浅析数学与音乐的微妙联系

郭亚庆

摘 要：本文从四方面浅析了音乐中的数学形式，并提出了技校数学教师在教学中利用数学与音乐的微妙联系提高学生数学素养的重要性。

关键词：数学素养 音乐 数学 联系

数学与音乐之间有怎样的微妙联系？为何西方音乐学院中作曲专业的学生一定要学习十分深奥的高等数学？若干世纪以来，数学与音乐两个看似毫不相关的学科，一直被联系在一起。

2500年前，哲学家毕达哥拉斯偶然发现：音响是否和谐与发声体的体积有一定的比例关系，于是他从数学和声学的角度去研究音乐节奏的和谐，发现声音的质的差别（如长短，高低，轻重等）都是由发音体方面数量的差别所决定的。例如发音体（如琴弦）长，声音就长；震动速度快，声音就高；震动速度慢，声音就低。因此，音乐的基本原则在数量关系，音乐节奏的和谐是由高低长短轻重各种不同的音调，按照一定数量上的比例所组成的。毕达哥拉斯是用数的比例来表示不同音程的创始人，例如第八音程是1：2，第四音程是3：4，第五音程是2：3。之后，开普勒、欧拉、傅里叶等科学家都研究过音乐与数学的关系。

音乐虽然千姿百态，但都是由7个音符（音名）组成的，数字1～7在音乐中是神奇的数字。

一、乐谱书写中有数学

在当今，中国汉字记谱主要是用宫、商、角、清角（和）、徵、羽、变宫（变）分别来表示do、re、mi、fa、sol、la、si。

目前世界上通用的记谱法——五线谱是用五条横线来记载音乐的一种记谱法，它的诞生至今已有1000 多年的历史。五线谱是在五根等距离的平行线上，标以不同时值的音符及其他记号来记录音的高低、长短的一种记谱方法。五线谱的五条线和五条线所形成的间，都是自下而上计算的。

简谱是记谱法的一种。由于它简单明了、通俗易懂，因此在我国广泛流传，有字母简谱和数字简谱两种。数字简谱以1、2、3、4、5、6、7代表音阶中的7个基本音级，读音为do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。

二、钢琴键盘上有数学

常见的钢琴共有88个键，在钢琴键盘上任何两个相邻的、具有相同名称的音都称为八度，共包括13个键，其中8个白键和5个黑键。5个黑键分成两组，一组有2个黑键，一组有3个黑键，2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。（n≧2）

用文字来说，就是费波那契数列由0和1开始，之后的费波那契系数就由之前的两数相加。开普勒发现数列前、后两项之比1/2，2/3，3/5，5/8 ，8/13，13/21，21/34，……也组成了一个数列，趋近黄金分割0.618。

除了钢琴外，笛子，吉他等都与数学有关联，因为每种声音的发出都与曲线的频率、振幅和周期函数的形状有关。

三、乐曲中有数学

谈到乐曲的编写，就一定要提到数学家傅里叶以及他的傅里叶变换与级数理论。正是这些伟大的发现让我们知道了，每种声音的发出与曲线的频率、振幅和周期函数（正弦和余弦函数）的形状都有关。只有将这些元素巧妙地融合起来，才能组成美妙悦耳的乐曲。通过对贝多芬的《月光》第一到第三乐章的分析得出：第一乐章69小节，主题从43小节开始再现，43/69=0.62；第二乐章96小节，主题从61小节开始再现，61/96=0.63。计算结果显示，乐曲非常接近黄金分割。

在乐曲的编写中，常常采用平移和对称的方法。平移实际上就是音乐中的反复。如我们熟悉的《国家》《欢乐颂》中的章节就是用了乐曲的平移来表达的。

四、大自然的音乐中有数学

在自然界中，有些昆虫的鸣叫声也与数学息息相关。例如，温度会影响蚱蜢和蟋蟀鸣叫的频率。雪白的树蟋蟀被称为“温度计”，因为把这种蟋蟀在15秒之内鸣叫的次数加上40，大约就是当时的华氏温度。用数学表达式转换为摄氏温度为：t=（N+8）×（N为蟋蟀鸣叫的次数）。

另外，数学和音乐在其他方面也有联系：二者都离不开灵感。乐曲创作和数学家们的发现及数学问题的解答都离不开灵感。法国数学家笛卡儿就是连做了数日梦之后，醒来进行整理，最终创立了解析几何学。音乐家的灵感就是将当时的心情觉受化作音乐的形式存现于世，有了灵感，就有了创作激情，就能创作出优秀的音乐作品。

既然数学与音乐有如此美妙的联系，为何我们不沉浸在《梁祝》优美动听的旋律中，或置身于昆虫鸣叫的田野里，静下心来思考数学与音乐的微妙的内在联系呢？

把素质教育贯彻于数学教学之中，将这方面的素材经过加工渗透到数学教学中，以提高学生的整体素质，将是摆在广大技校数学教师面前的一项重要的任务。

参考文献：

[1]刘卫峰，王尚古.数学与音乐[J].数学通报，2005（4）.

（作者单位：江西省轻工业高级技工学校）endprint