用X射线衍射仪测量普朗克常量

王合英，孙文博

（清华大学物理系，北京 100084）

用X射线衍射仪测量普朗克常量

王合英，孙文博

（清华大学物理系，北京 100084）

讨论了用X射线衍射仪测量普朗克常量的误差来源和改进方法.由于仪器结构和所用透明单晶样品对谱线的展宽效应使不同电压对应的最短波长测量值减小，在计算普朗克常量时应对实验测量的各最短波长进行修正.结果表明用修正的最短波长拟合得到的普朗克常量与理论值基本一致.

普朗克常量；X射线衍射仪；谱线展宽

1 引 言

普朗克常量是人类探索自然的过程中最伟大的发现之一，在物理学发展史上是一个重要的里程碑，它是联系经典物理和近代物理的桥梁.我国各高等院校普遍开设了用光电效应法测量普朗克常量的实验，但实验误差较大.不少文献对此进行了分析与讨论［1-7］.叶企孙先生曾于1921年在Harvard大学用X射线测量普朗克常量［8］.本文介绍用X射线衍射仪测量普朗克常量的方法，并讨论其误差来源和改进方案.

2 实验原理

X射线的产生是利用高速电子和物质原子的碰撞来实现.从X射线管发出的X射线分为连续光谱和特征光谱.高速电子到达阳极靶表面时，电子的运动突然受阻，根据电磁场理论，这种电子产生轫致辐射，向外发射电磁波.由于电子的数量很多，它们到达阳极靶上的条件和时间不同，而且入射电子的能量未完全转化为X射线或转化程度不同，因而形成具有各种波长的连续X射线谱.连续谱中的最短波长相当于最大的电子能量，即短波限波长或截止波长λmin.截止波长与靶材料的种类无关，仅取决于外加电压U 的大小.X射线管高压越高最短波长越短.1915年美国物理学家William Duane和Franklin L.Hunt发现最短波长的倒数与所加高压成正比，称为Duane-Hunt关系.

Duane-Hunt关系可以用量子理论解释：能量为eU的电子和物质碰撞产生光量子时，光量子的能量最多等于电子的能量，因此辐射必定有频率上限νmax，对应最短波长λmin，则有：

式中，h为普朗克常量，c为光速，e为电子电荷.由此可得：

X射线连续谱波长的确定依据布拉格公式

式中，θ为掠射角，d为NaCl晶面间距.已知NaCl（100）的晶面间距d＝282.01 pm，根据测量的衍射角利用式（3）计算相应的X射线连续谱的波长.

3 实 验

实验用德国Leybold教学仪器厂生产的X射线衍射仪通过NaCl单晶反射得到不同电压下X射线连续谱，求出不同电压下X射线连续谱的最短波长.所用X射线由电子轰击Mo靶产生.测量时首先对X射线衍射仪的测角仪用NaCl单晶衍射进行校准，以保证测量角度的准确性，进而保证计算出最短波长的准确性.测量普朗克常量时X光管的电压变化范围为22～35 k V，电流为1 m A，测量角度范围为2.5°～6.5°，角步幅0.1°，以耦合扫描方式，使传感器与靶台转角按2∶1耦合转动，用计算机进行数据采集和处理.

4 结果分析与讨论

图1给出用耦合扫描方式得到NaCl单晶样品（100）晶面的X射线衍射谱.从图1可以看出X射线谱是由连续谱上叠加2个特征峰Kβ和Kα组成的，6个衍射峰分别对应X射线特征谱线Kβ和Kα在NaCl（100）晶面的一级、二级和三级衍射.Kα的一级衍射峰对应的入射角为7.2°，与理论值相符，说明仪器的角度测量准确.

图1 NaCl单晶（100）晶面的X射线衍射谱

用NaCl单晶作为样品，改变电压，在2.5～6.5°范围分别测量不同电压下X射线连续谱如图2所示.

图2 不同电压下NaCl单晶反射得到的X射线连续谱

根据图2利用线性拟合得到不同电压对应的X射线的最短波长如表1所示.

表1 不同电压下X射线连续谱的最短波长

将λmin和1/U进行线性拟合，得到拟合直线斜率A＝1 215.6 pm·k V.由（2）式知

由（4）式计算普朗克常量h＝6.49×10－34J·s，小于理论值h＝6.63×10－34J·s.

用线性拟合方法确定最短波长，与实验者选取拟合的线性区间有很大关系，造成一定的随机误差.但从学生做实验的结果看，几乎所有学生用这种方法计算出的普朗克常量都略小于理论值，说明这种方法测量普朗克常量的误差不仅来源于拟合数据取值的随机误差，还应有其他误差来源.

X射线衍射仪的谱线峰型既和仪器的构造、实验条件有关，也和实验所用样品的结构有关.本实验所用的X射线衍射仪结构比较简单，X射线入射斜缝和出射狭缝是固定斜缝，而且有一定宽度，同时仪器的响应函数并不是Delta函数，导致测得的谱线有一定展宽.最重要的是所用NaCl单晶样品是透明晶体，即使不考虑晶体内缺陷或应力的影响，透明晶体对射线吸收系数小，使得入射到样品的X射线不仅在样品表面发生反射，在样品内部的晶面也发生较强的反射，导致峰宽增加.以上因素都使在不同电压下得到的截止波长λmin比实际的截止波长小，从而导致普朗克常量h的测量值偏小.为了较精确地测量普朗克常量，应该对谱线展宽造成的截止波长变小的影响进行修正.

据文献报道，Mo原子所产生的X射线特征谱中Kα＝71.08 pm的谱线的自然展宽约为FWHM＝0.026 pm［9］，而从图1中NaCl单晶衍射图的实验数据测得一级衍射峰的半峰全宽FWHM约为2.4 pm（35 k V加速电压），比自然展宽大近2个数量级，说明谱线展宽对实验结果有重要的影响.可以利用NaCl单晶产生的一级布拉格衍射峰测量该仪器在实验中产生的2条特征谱线的展宽，利用该展宽值对极限波长法测h中测得的λmin进行修正，以得到比较真实的最短波长λmin.

由于最短波长与电压有关，要对不同电压下的最短波长进行修正，应测量不同电压下的NaCl晶体X射线衍射峰的FWHM的大小，然后用拟合得到的λmin值加上这些FWH M的一半就可以得到修正后的.

表2 不同电压对应的Kα特征谱线的FWHM以及对应λmin的修正值

表2 不同电压对应的Kα特征谱线的FWHM以及对应λmin的修正值

U/k V I/m A FWH M/pmλmin/pm λ*min/pm 35 1.00 2.4 34.3 35.5 34 1.00 2.4 35.2 36.4 32 1.00 2.4 37.2 38.4 30 1.00 2.4 40.2 41.4 28 1.00 2.4 43.2 44.4 26 1.00 2.4 46.2 47.4 24 1.00 2.4 50.1 51.3 22 1.00 2.2 55.0 56.1

在不同加速电压下测量得到的特征谱线Kα的半峰全宽FWHM、最短波长λmin及最短波长修正值见表2.表2中前2列数据分别为X射线管的电压和电流，第3列是不同电压条件下Mo原子的特征谱Kα线经NaCl单晶（100）晶面衍射形成的一级衍射峰的半峰全宽FWH M值；第4列λmin为不同电压下测量X射线连续谱的最短波长值，第5列为用半峰全宽对谱线展宽效应修正后的最短波长.谱线展宽效应的修正方法由（5）式给出：过原点作表2中的直线拟合图，如图3所示.线性拟合系数为A*＝1 237.7 pm·k V.将A*＝1 237.7 pm·k V代入（4）式，计算出普朗克常量h＝6.61×10－34J·s.可见对最短波长修正后得到的普朗克常量较修正之前更接近真实值h＝6.63×10－34J·s.这表明用X射线衍射仪测量普朗克常量时应该考虑仪器结构和透明单晶样品反射所造成的谱线展宽的影响.用衍射峰半峰全宽对X射线连续谱的最短波长加以修正，是用X射线衍射仪精确测量普朗克常量的有效方法.

5 结 论

本实验用X射线衍射仪通过测量不同电压下X射线连续谱的最短波长，利用Duane-Hunt关系测算普朗克常量.考虑到因仪器结构和所用透明单晶样品对谱线的展宽效应使不同电压对应的最短波长测量值减小，用衍射方法得到该仪器相同实验条件下的谱峰展宽值，然后对实验测量的各最短波长进行修正.结果表明最短波长修正后得到的普朗克常量与理论值基本一致.因此，用测量X射线截止波长的方法测量普朗克常量时，应考虑实验仪器和实验条件所产生的谱线展宽效应并对其加以修正.

［1］ 汪志刚，施寿生.光电效应法测定普朗克常数实验的几个问题［J］.乐山师范学院学报［J］.2004，19（12）：36-38.

［2］ 袁俊辉.普朗克常数测定的研究［D］.武汉：华中师范大学，2006.

［3］ 张杰.普朗克常数的测量和作图误差分析［J］.物理实验，1998，18（3）：21-22.

［4］ 吴丽君，李倩.光电效应测普朗克常数的三种方法［J］.大学物理实验，2007，20（4）：49-52.

［5］ 武颖丽，李平舟.趋近平均法测量普朗克常量［J］.物理实验，2007，27（4）：42-43.

［6］ 周永军，朴林鹤，吕佳.在光电效应测定普朗克常数实验中测量方法的讨论［J］.沈阳航空航天大学学报，2011，28（2）：85-87.

［7］ 黄勇.测量普朗克常量实验数据处理［J］.物理实验，2011，31（3）：25-28.

［8］ Duane W，Palmer H H，Yeh C S.A remeasurement of the radiation constant h by means of X-rays［J］.Proc.N.A.S.，1921，7：237-242.

［9］ Bearden J A.X-ray wavelengths［J］.Rev.Mod.Phys.，1967，39：78.

［责任编辑：任德香］

Measuring Planck constant by X-ray diffraction

WANG He-ying，SUN Wen-bo
（Department of Physics，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

The cause of the measurement error and the improved approach for measuring the Planck constant by X-ray diffraction were discussed.The measured minimum wavelength in the X-ray spectra decreased with the rising voltage applied on the X-ray tube，because of the broadening of the X-ray lines due to the apparatus structure and the transparent single crystal sample used for diffraction，so that the value of the measured minimum wavelength should be revised before calculating the Planck constant.The results showed that the value of the Planck constant calculated using the revised data was consistent with the theoretical value.

Planck constant；X-ray diffraction apparatus；line broadening

O431

A

1005-4642（2014）10-0004-04

“第8届全国高等学校物理实验教学研讨会”论文

2014-05-16；修改日期：2014-06-27

王合英（1965－），女，山东单县人，清华大学物理系副教授，博士，主要从事近代物理实验教学工作.