PMUCR 方法对浮筏系统的全局分析与应用

张树桢，陈 前

（1．南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016；2．中国直升机设计研究所，景德镇 333001）

在船舶隔振分析中，由于受隔振器非线性刚度的影响，浮筏隔振系统的动力学特性较为复杂。同时由于设备多样，扰动源的变化，也会影响浮筏的动力学特性，所以浮筏隔振系统的全局分析是一个亟待解决的问题。

目前，全局分析的有效方法为胞映射方法。Hsu［1－2］提出了简单胞映射法（SCM）以及广义胞映射法（GCM），对胞映射的分析过程进行了详尽的描述，并进行了相应的改良。Tongue等［3］提出了插值胞映射（ICM）法，该方法除了记录积分过程中胞的轨迹外，还记录了积分时点的具体坐标，因此可通过插值计算下一步的映射。Levitas等［4］提出庞加莱型胞映射法，该方法基于庞加莱截面将系统降维，有效地减少了胞映射的计算时长和难度。该方法将系统降低一维，对四维以下的系统效果较好，但随着维数的升高，降低一维也难以解决问题。

文成秀等［5］提出了胞映射－点映射法，该方法将胞映射得到的周期解用点映射加以验证，从而保证了计算的精度和有效性。江俊等［6－7］对胞映射方法在实际动力学系统的应用进行了大量的研究，提出了胞化积分轨迹法，胞参考点映射法。将点映射和胞映射进行了有效结合，兼顾了两者的优点，有效地提高了分析效率。

随着系统维数的增高，所需处理的数据急剧增加，因此需要对全局分析方法加以改进。胞参考点映射法（PMUCR）结合了胞映射的高效性和点映射的精确性，且易于推广到高维空间。与其它胞映射法相比，不需要在相空间的每个胞中选取初始点，并可采用动态存储的方法［8］，减少对内存的消耗。

本文试图采用PMUCR方法，进行对称激励条件下高维浮筏隔振系统的全局分析，并判断刚性和柔性筏架条件下，全局分析结果的差异。讨论PMUCR方法在高维系统中的运用准则。最后通过打靶法对吸引子的稳定性进行判断。

1 计算方法

1.1 PMUCR方法的改良

对于低维系统，PMUCR方法可以有效地进行分析。在高维条件下，当系统增加一维，则导致增加一个数量级的计算量，同时PMUCR中的系统特性保持标准也需要进行调整，以适应多变量判断的需求。对PMUCR方法在高维系统中的改良措施为：

1．1．1 PMUCR方法同简单胞映射方法的一个重要区别是判断某点落入某胞后的状态。简单胞映射方法认定落入同一胞内的点具有相同的属性。当胞的尺寸较小且各周期边界规则时，该判断基本合理，但当其它情况下则可能出现伪周期胞。PMUCR方法则通过点－点的间距来判断是否具有相同的属性，即间距是否满足系统特性维持标准。从运动轨迹分析，如一条轨迹接近另一条已知动力学特性的轨迹，且两者之间的距离小于某一定值时，则可认定两条轨迹具有相同的特性，该距离即为系统特性维持标准中的推荐距离。该推荐距离需要同时满足多变量的需求，而不是直接求解点－点之间的间距，如果系统存在多个变量且变量处于不同的数量级时，由于数值计算的误差，可能会忽略某些变量的贡献。因此推荐距离应对多个变量同时分析，即每个变量采用独立的推荐距离。同时，在新周期胞的判断中，当使用计算机本身的舍入误差作为评价标准，虽满足精度的需求，但是以Matlab为例，其舍入误差为小数点后15位，必然导致计算规模极大。因此将其归结到系统特性维持标准中进行分析，提高其舍入误差，保证计算速度。

1．1．2 在判断得到 Gr（B）＝－n时，即出现处理中的已处理胞，按照原方法，需要对新周期胞组和已确定周期胞组进行判断。出现处理中的已处理胞原因在于不满足新周期胞组的判断，尤其是已确定周期胞组的判断。因此当再次映射到该胞时，只需直接判断同之前落入该胞中所有点的距离满足推荐距离或舍入误差，从而减少计算步骤。

1．1．3 对相空间中选定的研究区域边界处初始点的积分计算可能映射出定义的研究区域，从而成为陷胞。而实际上在若干积分周期后，该点可以回到分析的研究区域并具有一定的周期性。因此，设定轨迹离开研究区域时，进行多步映射并观察该轨迹是否回到分析的相空间中选定的研究区域。如回到分析的研究区域，则继续计算，否则认定其进入陷胞。此外，在映射步数方面，当某点经过一定的限制映射步数P lim后，仍未形成或达到某周期胞，则为了保证计算时长，可判断其进入陷胞。

1．1．4 为保证计算效率，可设定较大的系统特性维持标准，提高计算速度，但可能引入伪周期胞。因此在得到周期胞后，对周期胞内的吸引子进行一定的数值计算，再进行周期胞以及打靶法的判断。这一点类似于文献［5］中方法，不同的是在打靶法的过程中，可进行稳定性的分析。

1.2 周期运动的稳定性分析

对于耗散系统，其相轨线会随着时间延续而趋于某一稳定的吸引子，该吸引子可能为平衡点、周期运动、概周期运动乃至混沌运动，对于平衡点和周期运动的分析是工程分析的重要内容。

受周期激励的n维非自治系统，其周期运动的存在性和数目较平衡点的求解更为困难，试图采用打靶法对浮筏隔振系统的周期运动稳定性进行分析。打靶法的计算方法为Newton-Raphson迭代法，其通过构造庞加莱截面，分析相轨线在经过该截面时点的分布规律，从而得到周期运动以及对该周期运动稳定性的分析。

2 算例分析

2.1 PMUCR方法对高维动力学方程的分析

图1 浮筏隔振系统空间结构示意图Fig．1 The sketch of floating raft

引入船舶中的浮筏隔振系统，其空间构型以及力和速度条件分别如图1，2所示。采用子结构方法对该系统进行建模分析。系统分为A机组、B上层隔振器、C筏架、D下层隔振器以及E基础板五大子结构。其中A子结构为两台机组，是浮筏系统的本质要素。由线性条件下的分析可知［11］，在低频段，筏架的刚柔程度对系统整体的动力学响应影响较小，甚至可忽略。本算例试图分析在非线性条件下，是否具有类似的结论。

图2 浮筏隔振系统力和速度条件简图Fig．2 The force and velocity condition of floating raft

设定隔振器的刚度为立方非线性即弹性恢复力的表达式为kx＋Ux3。在竖直方向上，柔性筏架柔性基础的非线性浮筏系统动力学方程可简化如下式所示（因位置所限，暂不列出阻尼项）

上式表示系统处于十维的状态空间。方程以隔振器原长为坐标原点，其中mz分为mz1和mz2，代表两台机组的负载质量，其位移分别表示为x1和x2。作用于机组的力FAe分别表示为F1和F2，其大小相等。上层隔振器的力为和表示为e台机组的第i个隔振器的上部t和下部b的作用力，表达式为k1x＋Ux3，下层隔振器的力表达式为k2x＋Vx3。筏架的质量为mzc，其密度、厚度和抗弯刚度分别表示为ρ1、h1和D1*，与此对应的基础板的密度、厚度和抗弯刚度为ρ、h和D。筏架的刚体位移和模态位移以及基础板的模态位移分别为xcg、xcr和xer，表达式中的大写字母R均为模态变换矩阵。

改良后PMUCR方法的流程图如图3所示。其计算流程较简单胞映射复杂，分析判断过程更为细致。

将刚性筏架和柔性筏架的系统分别进行全局分析，并对PMUCR方法在高维系统中的运用进行讨论。系统的物理参数为：负载机组1，2的几何尺寸为0．8 m×0．8 m×0．4 m，质量为1 996．8 kg。为分析多种工况，设定上层隔振器刚度为0．5×107N／m和1×107N／m。平置板式筏架的几何参数为2 m×1 m×0．06 m，质量为942 kg，损耗因子为0．01，自由边界。设定下层隔振器刚度为1×107N／m。基础板的几何参数为2 m×1 m×0．02 m，损耗因子为0．01，简支边界。

图3 PMUCR方法流程图Fig．3 Flow chart for the PMUCR algorithm

图4 激励条件下的吸引子Fig．4 Attractor under conditon

依据研究区域覆盖尽可能大的原则，在刚性筏架模型中，以状态空间中子空间X＝［x1x′1x2x′2xcg40），x2∈ （－0．16，0．16），x′2∈ （－40，40），x3∈（－0．16，0．16），x′3∈（－40，40），x4∈（－0．16，0．16），x′4∈（－40，40）｝为研究区域，并均匀分布508个胞为胞参考空间。为分析最重要的机组状态，选取该研究区域对应的50×50个初始点。与此对应的柔性筏架模型以及不同激励条件下的模型，均根据刚性筏架模型得到其子空间。在激励1条件和激励2条件两种工况。经PMUCR方法计算得到的吸引子在初值平面内的投影如图4所示。

图4（a）说明在可能的初始条件下，隔振系统最后可能呈现出两个不同的周期运动，即周期1和周期2运动状态。在两个运动状态下，系统的隔振性能不同。例如，当任一初始条件使得系统处于周期1运动，并以功率流落差为评价标准，则功率流落差为23．61 dB，而由其他初始条件，使系统处于周期2运动状态时，其功率流落差为14．82 dB。因此系统在周期1运动状态下的隔振效果优于周期2运动，所以当船舶隔振系统受到一定条件的外部扰动时，可能发生运动状态的突变，导致隔振性能发生变化。在进行非线性隔振系统的设计时需要考虑该因素。同时在激励2条件下进行功率流落差的分析，其功率流落差在周期1运动为18．33 dB，其余为15．37 dB左右。同时由隔振器不同刚度的分析表明，立方非线性刚度的隔振器表现出的周期运动较为一致。

图5 吸引子的吸引域分布Fig．5 The domain of attraction

图6 P－1和P－2周期运动的时间历程及庞加莱截面Fig．6 Displacement and phase trajectory of P－1 and P－2

图5中“·”区域为P－1周期运动，“＋”区域为P－2周期运动，空白区域为陷胞。由图4（b）和图5可见，在相同条件下刚性和柔性筏架的系统，其周期运动的区域不同。

由PMUCR方法所得到的P－1和P－2周期运动处的点为积分的初始点，计算得到如图6所示的时间历程及庞加莱截面图。由庞加莱截面分析，其P－1及P－2周期运动是正确的，而且经过PMUCR方法的映射计算，已经消除了系统瞬态响应的影响。

2.2 PMUCR的参数设置分析

如果PMUCR方法使用的系统特性保持标准不够合理，则会引起一定的问题，若该标准过小且限制映射步数P lim过少，则导致计算过程难以收敛，从而产生陷胞及其它问题；当限制映射步数过大，则增加了计算量。以激励1条件下的刚性筏架为例，进行讨论分析。设定分析工况如表1所示，设定不同的舍入误差以及映射步数，对PMUCR方法在全局分析中的参数设置进行研究。

表1 PMUCR分析工况条件Tab．1 The analysis condition of PMUCR

在图7中的左侧图为吸引子，右侧图中以“·”表示陷胞的分布。自上而下分为四列，分别对应表1中自上而下四个条件的计算结果。

图7 吸引子及陷胞的分布Fig．7 The attractor and the sink cell under different condition

由图7（a），7（b）所示，当系统特性保持标准和限制映射步数较小，导致大量的胞映射进入陷胞，而且也未发现P－1周期胞。图7（c），7（d）增大系统特性保持标准和限制映射步数，导致识别出大量的周期胞，改良方法4的计算表明，除图4（a）中的周期胞外，其余均为伪周期胞。图7（e），7（f）减小系统特性保持标准及增大限制映射步数，伪周期胞数量减少，陷胞数量减少。图7（g），7（h）缩小系统特性保持标准及再次增大限制映射步数，伪周期胞消失，陷胞数量较图7（f）多，并散布于分析平面内。原理上，增大系统特性维持标准、延长计算时长及增多限制映射步数可以有效地减少陷胞的发生，但会导致结果精度的降低，尤其大幅增加计算时长。由图7可见，改良方法4较为适用于高维系统的分析。

2．3 周期解的稳定性分析

以激励2条件下，柔性筏架的周期运动稳定性分析为例，其P－1运动的特征值最大模为0．989 1，P－2周期运动的特征值最大模分别为0．990 8、0．990 6、0．991 4及0．982 7，均未超过 1，所以其周期运动稳定。对其它情况分析，也具有类似的性质。实际上，非自治系统周期运动的稳定性受激励频率影响极大，尤其接近于主共振频率时，存在不稳定区域使其特征值大于1，而当激励频率处于正常工作范围，其稳定性较好。

3 结 论

通过PMUCR方法对刚性和柔性筏架条件下的浮筏隔振系统进行全局分析，研究其筏架对系统全局特性的影响。并对该方法在高维系统中的应用进行相应的改良和讨论。得到的主要结论为：

（1）PMUCR适用于高维系统的全局特性分析，并具有较好的精度。其计算量较胞映射大，计算结果的精度同时受到系统特性保持标准以及计算步数的影响，因此在使用的过程中需要同时兼顾计算量、特性保持标准以及映射步数三者的关系。

（2）刚性和柔性筏架浮筏隔振系统的运动现象存在差异。PMUCR方法的计算表明，刚性和柔性筏架隔振系统所发生周期运动的类型较为相似，但其相对应区域是不同的。该计算切实地证明了在非线性条件下的所有频段内，筏架的特性对系统的动力学特性影响显著，而不仅仅局限于线性系统的中、高频段。

（3）非线性浮筏隔振系统的全局特性在不同的激励条件以及初始条件下呈现出复杂的周期现象。在分析平面内发现了较为典型的单周期运动和二倍周期运动。当处于不同的周期运动时，系统的隔振效果存在差异。

［1］Hsu C S．A Theory of cell-to-cell mapping for dynamical system［J］．ASME，Journal of Applied Mechanics，1980，47：931－936．

［2］Hsu C S．Cel1-to-Cell mapping：A method of global analysis for nonlinear systems［M］．New York，Berlin，Heidelberg，Vienna，Tokyo：Springer-Verlag，1987：1－352．

［3］Tongue B H，Gu K．Interpolated cell mapping of dynamic system［J］．ASME，Journal of Applied Mechanics，1988，55（6）：461－466．

［4］Levitas J，Weller T，Singer J．Poincare-like simple cell mapping for non-linear dynamical systems［J］．Journal of Sound and Vibration，1994，176（5）：641－662．

［5］文成秀，姚玉玺，闻邦椿．动力系统的胞映射－点映射法及应用［J］．东北大学学报，1997，18（2）：119－122．WEN Cheng-xiu， YAO Yu-xi， WEN Bang-chun． Cellmapping point-mapping method and its application for dynamic system［J］．Journal of Northeastern University，1997，118（2）：119－122．

［6］江俊，徐健学．动力系统的胞化积分轨迹法［J］．振动工程学报，1993，6（2）：194－198．JIANG Jun，XU Jian-xue．Cellurated integration method of dynamical systems［J］．Journal of Vibration Engineering，1993，6（2）：194－198．

［7］Jiang Jun，Xu Jiang-xue．A method of point mapping under cell reference for global analysis of nonlinear dynamical systems［J］．Physics Letters A，1994，188：137－145．

［8］俞翔，朱石坚，刘树勇．PMUCR方法在高维非线性动力学系统中的应用［J］．应用力学学报，2006，23（6）：232－236．YU Xiang，ZHU Shi-jian，LIU Shu-yong．PMUCR method with application to high-dimensional nonlinear system［J］．Chinese Journal of Applied Mechanics，2006，23（6）：232－236．

［9］Moresco P，Dawson S P．The PIM-simplex method：an extension of the PIM-triple method to saddles with an arbitrary number of expanding directions．Physica D，1999，126：38－48．

［10］高文辉，郭旭，江俊．基于胞参考点映射法对转子／定子碰摩响应的全局分析［J］．动力学与控制学报，2011，9（4）：363－367．GAO Wen-hui，GUO Xu，JIANG Jun．Study on the global response characteristics of a rotor／stator contact system through PMUCR［J］．Journal of Dynamics and Control，2011，9（4）：363－367．

［11］张树桢，陈 前．柔性浮筏隔振系统的理论建模和仿真研究［J］．船舶力学，2012，16（10）：1187－1198．ZHANG Shu-zhen，CHEN Qian．Modeling and simulation research on flexible floating raft isolation system［J］．Journal of Ship Mechanics，2012，16（10）：1187－1198．