应用基矢量的物质导数公式简化流体运动微分方程式的推导

刘福祥

（大连大学 建筑工程学院，辽宁 大连 116622）

0 引言

理想不可压缩流体运动微分方程式的矢量形式为[1]

其中，v 为流场的速度矢量，v = viei=v1e1+v2e2+v3e3；ei为正交曲线坐标系的基矢量(i=1,2,3)；F 为作用在单位质量流体上的质量力，F = F1e1+ F2e2+F3e3；ρ为流体密度；p为流场的压力函数。

1 应用基矢量的物质导数公式推导理想不可压缩流体运动微分方程式在柱坐标系下的表达形式

1.1 柱坐标系的基矢量的物质导数公式

根据参考文献[2]可得正交曲线坐标系基矢量的物质导数公式为：

对于柱坐标系(r, θ ,z)，

H1= 1 , H2= r , H3=1；根据参考文献[1]上册中给出的基本公式可计算出柱坐标系下各基矢量对坐标变量的偏导数分别为

将(3)式分别代入(2)进行计算，可得出柱坐标系各基矢量的物质导数公式为

1.2 柱坐标系下运动微分方程式的推导

矢量形式的运动微分方程式(1)的左端可写为

在柱坐标系下，上式为

将柱坐标系各基矢量的物质导数公式(4)分别代入上式并整理得：

将上式代入(1)的左端，则该方程式可写为

2 应用基矢量的物质导数公式推导理想不可压缩流体运动微分方程式在球坐标系下的表达形式

2.1 球坐标系的基矢量的物质导数公式

对 于 球 坐 标 系(r,θ, λ) 有H1= 1 ,H2=r,H3=rs inθ；根据参考文献[1]上册中给出的基本公式可计算出球坐标系的各基矢量对坐标变量的偏导数分别为

将(5)式分别代入(2)进行计算，可得出球坐标系各基矢量的物质导数公式分别为

2.2 球坐标系下运动微分方程式的推导

矢量形式运动微分方程式(1)的左端在球坐标系下可写为

将（6）式代入并整理得

将上式代入(1)的左端，则该方程式可写为

并将该方程的两端分别向球坐标系的三个坐标方向投影得

3 结论

从以上推导过程可见，如果将柱坐标系下及球坐标系下基矢量的物质导数公式(4)和(6)作为基本公式使用，则可使上述坐标系下流体运动微分方程式的推导过程得以大大简化。

[1]吴望一. 流体力学: 第一版[M]. 北京: 北京大学出版社,1982.

[2]Liu Fuxiang. Extension of Material Derivative Concept in Fluid Mechanics [C]. 2012年土木、结构与环境工程国际学术会议暨第三届岩土多场耦合理论及应用学术论坛文集,2012

[3]刘福祥. 基矢量和坐标变量的随体导数公式及应用[J].大连大学学报, 2005: 2: 8-10.