基于Gauss-Newton法的空间管形拟合算法的研究

杨 铎

（大连大学 机械工程学院，辽宁 大连 116622）

三坐标测量仪在管类产品的加工验证中高频使用，测量方法一般为：将待测管固定安放后，通过测量仪对各直线段圆柱面及两端面进行采点，由内置软件对圆柱中心线拟合求解、异面直线的中垂线中点求解及平面、直线交点求解，得出测量管形坐标。最后操作者在CAD绘图软件中将测量坐标与设计坐标对比后进行误差判断。

在以上操作过程当中，测量坐标系与设计坐标系很难保持一致，对比判断时需要通过旋转和平移操作使两者达到最佳吻合状态。由于吻合程度依靠人眼进行的判断，导致最后的比较精度大大降低，使三坐标测量仪的高精度得不到真正的发挥。

下面通过以下两种思路进行求解：

（1）建立空间管形自由状态方程，求解管形的最佳逼近。该问题属于六元非线性问题，目前尚无成熟的方法求出其精确的解析解。这里采用Gauss-Newton法进行数值求解。

（2）以两端点最佳逼近为先期约束，然后求取其余各点的最佳逼近。如此，问题分解为两个方面：两端点的最佳逼近为线性问题，可以求出解析解；约束条件下其余各点的最佳逼近为一元非线性问题，仍然以Gauss-Newton法进行数值求解。

1 空间管形自由状态方程

管形的空间放置形态可以由一系列的三维坐标点矩阵表示。设油管空间点的数量为n，初始测量管形矩阵为

设绕x,y,z轴的旋转角度为α, β ,γ，旋转变换四元数矩阵为Rx,Ry,Rz，平移向量为(tx,ty,tz)，平移变换四元数矩阵为M。其中，

整个三维变换四元数矩阵可以表示为

经过三维变换后测量管形的四元数矩阵为

那么，测量管形的空间自由状态方程为

2 无约束管形最佳逼近目标函数及其求解

设管形的设计三维坐标矩阵为

以测量管形与设计管形的各点距离最小为优化目标，建立目标函数为δ=min||G′−D||2。记=(xgi,ygi,zgi)，i= 1,...n，则G′−D可表示为

显然，这是一个6元非线性最小二乘问题，其精确的解析解很难求出，下面使用Gauss-Newton法求出它的数值解。

如用向量、矩阵形式表示，则上式可写为

这里，

将式（2）代入式（1）中，可以得到

的线性化后的表达式。显然，如设该线性最小二乘问题min | |，那么

解出。

3 两端点最佳逼近求解及约束管形方程

设经过上述变换后的矩阵为后的矩阵可由四元数法求出，由于其推导比较复杂，这里直接写出结果：

上式就是两端约束条件下的管形方程。

4 两端约束管形最佳逼近目标函数及其求解

这是一个1元非线性最小二乘问题，同样可以采用Gauss-Newton法求出它的数值解。

将F′(θ)的各个分量在θk处展开成Taylor表达式

将式(6)代入式(5)中将其线性化

其解法同上，不再累述。

5 算例

已知管形的设计坐标D及测量原始坐标G分别为：

求拟合后的管形坐标。

（1）无约束管形最佳逼近算法：迭代跳出条件为连续两次循环的优化目标值之差小于10−8，拟合后坐标G1′为：

（2）两端约束管形最佳逼近算法：迭代跳出条件为连续两次循环的优化目标值之差小于10−6，拟合后坐标G′2为：

6 总结

本文在建立空间管形自由状态方程和两端约束管形方程的基础上，进一步建立两种模型下的测量坐标管形与设计管形之间的最佳逼近目标方程，并以Gauss-Newton法进行数值求解。

（1）这两种方法都适用于三次元测量仪输出结果和设计管形的拟合求解，减少人为操作误差，从而达到提高精度的目的。

（2）虽然无约束状态方程逼近效果更佳明显，但介于实际使用中两端安装的考虑，两端约束方程更贴近实际应用。而且，由于前一种方法为6元非线性求解；后者为一个线性求解和一个1元非线性的综合，软件程序运行中，后者求解速度要快得多。

（3）对于两端约束方程求解，由于参数区间比较明确，也可以采用二分法或黄金分割法进行求解，但较之Gauss-Newton法收敛速度慢。