一道高考解析几何题的几点思考

2014-09-17 00:05李昭平
广东教育·高中 2014年8期
关键词:同理原点双曲线

李昭平

题目(2014年高考安徽卷理科数学第19题):如图,已知两条抛物线E1∶y2=2p1x(p1>0)和E2∶y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;(Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

思考1:解法基础,注重创新

直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查解析几何的核心内容,它充分体现了解析几何“由数研形”和“由形研数”两大基本思想.2014年高考安徽卷对解析几何的考查也不例外.

本题主要考查直线与抛物线之间的位置关系、解方程组、平面几何知识与向量在解析几何中的运用,考查逻辑推理能力、提炼概括能力和运算求解能力.虽解法常规,但背景设计跳出了以往的传统题型.以两条抛物线为载体,通过研究直线与抛物线的位置关系,获得三角形之间的平行与面积关系,融解几、平几、方程、向量等知识于一体,具有推陈出新之效. 考生的普遍反映是:“入手易、深入难”“会而不对、会而不全”.因此,从难度、区分度、新颖度和满意度等几个方面来看,此题是一道解法基础、注重创新的好题.

思考2:多种思路, 体验探究

思路(1):运用向量法

(Ⅰ)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则 由y=k1x,

y2=2p1x,得A1

. 由 y=k1x,

y2=2p2x,得A2

.同理可得B1

,B2

.所以=

-

-

=2p1

-

-

,=

-

-

=2p2

-

-

.

故=,所以A1B1∥A2B2.

(Ⅱ)由(I)知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2, 所以△A1B1C1~△A2B2C2 . 因此=. 又由(I)中的=知=. 故=.

思路(2):运用斜率法

A1

、A2

、 B1

、 B2

①当k1+k2≠0时,k[A B][1][1] ==,k[A B][2][2] ==,

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2],A1B1∥A2B2 .

②当k1+k2=0时,A1B1⊥x轴,A2B2⊥x轴,故A1B1∥A2B2 .

综合①②,知A1B1∥A2B2 .

(Ⅱ)的解法与上述相同,略去.

显然,无论是思路(1)还是思路(2),联立方程组求出A1、B、A2、B2的坐标是必须的.运用向量法,通过求出和的坐标,根据向量平行的充要条件获证.运用斜率法,必须讨论斜率存在和不存在两种情况.从考生和阅卷反馈的信息来看,考生的得分率并不高.一是题面新、字母多、运算量较大;二是需要提炼概括规律;三是陷入求面积的表达式,没有想到利用平面几何中的相似,这是一个思维难点. 解题中, 让考生体验探究的过程,凸现考生的综合能力.

思考3:联想论证,获得新知

联想1: 已知两个椭圆E1∶+=1(a>b>0)和 E2∶+=1(k>0).过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.

(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;

(Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

解析:假设A1,A2和B1,B2均在第一象限.

(Ⅰ)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则 由y=k1x,

+

=1,得A1

.同理可得B1

,A2

,B2

所以=ab

-,

-,

=kab

-

-

.

故=,所以A1B1∥A2B2.

(Ⅱ)同原题得到,= .

说明:上述椭圆E1和E2的离心率相同,称为相似椭圆.联想1是从抛物线向椭圆的类比.

联想2: 已知两条双曲线和过原点的两条直线E1∶-=1(a,b>0)和 E2∶-=1(k>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点. (Ⅰ)A1B1∥A2B2; (Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

说明:上述双曲线E1和E2的离心率相同,称为相似双曲线.联想2是从抛物线向双曲线的类比.解析过程与联想1类似,大家自己完成,这里略去.

联想3:已知两条抛物线E1∶y2=2p1x(p1>0)和E2∶y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l与E1,E2分别交于A1,A2两点,B1,B2两点分别在E1,E2上,且A1B1∥A2B2 .证明: O,B1,B2三点共线.

证明:设直线l的方程为y=kx(k≠0),则A1

, A2

.

设B1(, y1), B2(, y2). 由A1B1∥A2B2,得∥,所以·=0,即(-)·(y2-)-(-)·(y1-)=0,整理得(p1y2-p2y1)(ky1-2p1)(ky2-2p2)=0.因为(ky1-2p1)(ky2-2p2)≠0,所以p1y2=p2y1.而 =(,y1), =(,y2).

于是·y2-y1·=y1y2(-)=y1y2·=0,所以∥ .

故O,B1,B2三点共线.

说明: 联想3是对原题进行逆向思考而得到的.

以上我们从一道高考题出发,通过分析、求解、联想对其进行思考和研究,融观察、猜想、证明于一体,三种圆锥曲线的和谐美和统一美尽现其中. 这给我们的启示是: 高考题往往具有代表性、典型性和拓展性,备考复习中恰当地选用,对提高思维水平和综合能力十分有益.

(作者单位:安徽省太湖中学)

责任编校 徐国坚endprint

题目(2014年高考安徽卷理科数学第19题):如图,已知两条抛物线E1∶y2=2p1x(p1>0)和E2∶y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;(Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

思考1:解法基础,注重创新

直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查解析几何的核心内容,它充分体现了解析几何“由数研形”和“由形研数”两大基本思想.2014年高考安徽卷对解析几何的考查也不例外.

本题主要考查直线与抛物线之间的位置关系、解方程组、平面几何知识与向量在解析几何中的运用,考查逻辑推理能力、提炼概括能力和运算求解能力.虽解法常规,但背景设计跳出了以往的传统题型.以两条抛物线为载体,通过研究直线与抛物线的位置关系,获得三角形之间的平行与面积关系,融解几、平几、方程、向量等知识于一体,具有推陈出新之效. 考生的普遍反映是:“入手易、深入难”“会而不对、会而不全”.因此,从难度、区分度、新颖度和满意度等几个方面来看,此题是一道解法基础、注重创新的好题.

思考2:多种思路, 体验探究

思路(1):运用向量法

(Ⅰ)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则 由y=k1x,

y2=2p1x,得A1

. 由 y=k1x,

y2=2p2x,得A2

.同理可得B1

,B2

.所以=

-

-

=2p1

-

-

,=

-

-

=2p2

-

-

.

故=,所以A1B1∥A2B2.

(Ⅱ)由(I)知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2, 所以△A1B1C1~△A2B2C2 . 因此=. 又由(I)中的=知=. 故=.

思路(2):运用斜率法

A1

、A2

、 B1

、 B2

①当k1+k2≠0时,k[A B][1][1] ==,k[A B][2][2] ==,

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2],A1B1∥A2B2 .

②当k1+k2=0时,A1B1⊥x轴,A2B2⊥x轴,故A1B1∥A2B2 .

综合①②,知A1B1∥A2B2 .

(Ⅱ)的解法与上述相同,略去.

显然,无论是思路(1)还是思路(2),联立方程组求出A1、B、A2、B2的坐标是必须的.运用向量法,通过求出和的坐标,根据向量平行的充要条件获证.运用斜率法,必须讨论斜率存在和不存在两种情况.从考生和阅卷反馈的信息来看,考生的得分率并不高.一是题面新、字母多、运算量较大;二是需要提炼概括规律;三是陷入求面积的表达式,没有想到利用平面几何中的相似,这是一个思维难点. 解题中, 让考生体验探究的过程,凸现考生的综合能力.

思考3:联想论证,获得新知

联想1: 已知两个椭圆E1∶+=1(a>b>0)和 E2∶+=1(k>0).过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.

(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;

(Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

解析:假设A1,A2和B1,B2均在第一象限.

(Ⅰ)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则 由y=k1x,

+

=1,得A1

.同理可得B1

,A2

,B2

所以=ab

-,

-,

=kab

-

-

.

故=,所以A1B1∥A2B2.

(Ⅱ)同原题得到,= .

说明:上述椭圆E1和E2的离心率相同,称为相似椭圆.联想1是从抛物线向椭圆的类比.

联想2: 已知两条双曲线和过原点的两条直线E1∶-=1(a,b>0)和 E2∶-=1(k>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点. (Ⅰ)A1B1∥A2B2; (Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

说明:上述双曲线E1和E2的离心率相同,称为相似双曲线.联想2是从抛物线向双曲线的类比.解析过程与联想1类似,大家自己完成,这里略去.

联想3:已知两条抛物线E1∶y2=2p1x(p1>0)和E2∶y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l与E1,E2分别交于A1,A2两点,B1,B2两点分别在E1,E2上,且A1B1∥A2B2 .证明: O,B1,B2三点共线.

证明:设直线l的方程为y=kx(k≠0),则A1

, A2

.

设B1(, y1), B2(, y2). 由A1B1∥A2B2,得∥,所以·=0,即(-)·(y2-)-(-)·(y1-)=0,整理得(p1y2-p2y1)(ky1-2p1)(ky2-2p2)=0.因为(ky1-2p1)(ky2-2p2)≠0,所以p1y2=p2y1.而 =(,y1), =(,y2).

于是·y2-y1·=y1y2(-)=y1y2·=0,所以∥ .

故O,B1,B2三点共线.

说明: 联想3是对原题进行逆向思考而得到的.

以上我们从一道高考题出发,通过分析、求解、联想对其进行思考和研究,融观察、猜想、证明于一体,三种圆锥曲线的和谐美和统一美尽现其中. 这给我们的启示是: 高考题往往具有代表性、典型性和拓展性,备考复习中恰当地选用,对提高思维水平和综合能力十分有益.

(作者单位:安徽省太湖中学)

责任编校 徐国坚endprint

题目(2014年高考安徽卷理科数学第19题):如图,已知两条抛物线E1∶y2=2p1x(p1>0)和E2∶y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;(Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

思考1:解法基础,注重创新

直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查解析几何的核心内容,它充分体现了解析几何“由数研形”和“由形研数”两大基本思想.2014年高考安徽卷对解析几何的考查也不例外.

本题主要考查直线与抛物线之间的位置关系、解方程组、平面几何知识与向量在解析几何中的运用,考查逻辑推理能力、提炼概括能力和运算求解能力.虽解法常规,但背景设计跳出了以往的传统题型.以两条抛物线为载体,通过研究直线与抛物线的位置关系,获得三角形之间的平行与面积关系,融解几、平几、方程、向量等知识于一体,具有推陈出新之效. 考生的普遍反映是:“入手易、深入难”“会而不对、会而不全”.因此,从难度、区分度、新颖度和满意度等几个方面来看,此题是一道解法基础、注重创新的好题.

思考2:多种思路, 体验探究

思路(1):运用向量法

(Ⅰ)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则 由y=k1x,

y2=2p1x,得A1

. 由 y=k1x,

y2=2p2x,得A2

.同理可得B1

,B2

.所以=

-

-

=2p1

-

-

,=

-

-

=2p2

-

-

.

故=,所以A1B1∥A2B2.

(Ⅱ)由(I)知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2, 所以△A1B1C1~△A2B2C2 . 因此=. 又由(I)中的=知=. 故=.

思路(2):运用斜率法

A1

、A2

、 B1

、 B2

①当k1+k2≠0时,k[A B][1][1] ==,k[A B][2][2] ==,

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2],A1B1∥A2B2 .

②当k1+k2=0时,A1B1⊥x轴,A2B2⊥x轴,故A1B1∥A2B2 .

综合①②,知A1B1∥A2B2 .

(Ⅱ)的解法与上述相同,略去.

显然,无论是思路(1)还是思路(2),联立方程组求出A1、B、A2、B2的坐标是必须的.运用向量法,通过求出和的坐标,根据向量平行的充要条件获证.运用斜率法,必须讨论斜率存在和不存在两种情况.从考生和阅卷反馈的信息来看,考生的得分率并不高.一是题面新、字母多、运算量较大;二是需要提炼概括规律;三是陷入求面积的表达式,没有想到利用平面几何中的相似,这是一个思维难点. 解题中, 让考生体验探究的过程,凸现考生的综合能力.

思考3:联想论证,获得新知

联想1: 已知两个椭圆E1∶+=1(a>b>0)和 E2∶+=1(k>0).过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.

(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;

(Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

解析:假设A1,A2和B1,B2均在第一象限.

(Ⅰ)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则 由y=k1x,

+

=1,得A1

.同理可得B1

,A2

,B2

所以=ab

-,

-,

=kab

-

-

.

故=,所以A1B1∥A2B2.

(Ⅱ)同原题得到,= .

说明:上述椭圆E1和E2的离心率相同,称为相似椭圆.联想1是从抛物线向椭圆的类比.

联想2: 已知两条双曲线和过原点的两条直线E1∶-=1(a,b>0)和 E2∶-=1(k>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点. (Ⅰ)A1B1∥A2B2; (Ⅱ)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点. 记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

说明:上述双曲线E1和E2的离心率相同,称为相似双曲线.联想2是从抛物线向双曲线的类比.解析过程与联想1类似,大家自己完成,这里略去.

联想3:已知两条抛物线E1∶y2=2p1x(p1>0)和E2∶y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l与E1,E2分别交于A1,A2两点,B1,B2两点分别在E1,E2上,且A1B1∥A2B2 .证明: O,B1,B2三点共线.

证明:设直线l的方程为y=kx(k≠0),则A1

, A2

.

设B1(, y1), B2(, y2). 由A1B1∥A2B2,得∥,所以·=0,即(-)·(y2-)-(-)·(y1-)=0,整理得(p1y2-p2y1)(ky1-2p1)(ky2-2p2)=0.因为(ky1-2p1)(ky2-2p2)≠0,所以p1y2=p2y1.而 =(,y1), =(,y2).

于是·y2-y1·=y1y2(-)=y1y2·=0,所以∥ .

故O,B1,B2三点共线.

说明: 联想3是对原题进行逆向思考而得到的.

以上我们从一道高考题出发,通过分析、求解、联想对其进行思考和研究,融观察、猜想、证明于一体,三种圆锥曲线的和谐美和统一美尽现其中. 这给我们的启示是: 高考题往往具有代表性、典型性和拓展性,备考复习中恰当地选用,对提高思维水平和综合能力十分有益.

(作者单位:安徽省太湖中学)

责任编校 徐国坚endprint

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