含绝对值不等式的解法比较

曾光

在2014年的高考中，有多个地方的高考题均出现了含绝对值不等式的题目.虽然难度普遍为中低档，但是我们需要研究的问题是如何能做到准确率高、耗时少.选择恰当的解法是关键，那么含绝对值不等式的问题有哪些解法呢？选择何种解法最为有利？下面让我们一起来探讨这个问题.首先请用心体会以下的解法比较：

（2014年高考广东理科数学第9题）不等式│x-1│+

│x+2│ ≥5的解集为 .

【分析】含绝对值不等式的解法一般有三种，分别是零点区域法、数轴法和图像法.

⑴零点区域法（分类讨论思想）：令x-1=0及x+2=0，得x1=1，x2=-2. x1，x2把实数轴分成三个区域：x<-2，-2≤x≤1，x>1.

①当x>1时，原不等式可去掉绝对值化为x-1+x+2≥5，解得：x≥2，考虑x>1时得x≥2.

②同理当-2≤x≤1时，原不等式可去掉绝对值化为1-x+x+2≥5，得3≥5，无解.

③当x≤-2时，原不等式可去掉绝对值化为1-x-x-2≥5，解得：x≤-3，考虑x<-2时得x<-3.

综合①②③得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑵数轴法：从几何意义方面去考虑.│x-1│的几何意义是表示x与1的距离，│x+2│的几何意义是表示x与-2的距离，原不等式的几何意义是求x与1的距离及与-2的距离之和大于等于5，观察数轴：

当x位于-2与1之间时，x与1的距离及与-2的距离之和为3，即│x-1│+│x+2│=3；当x在1的右边时，取x=2，有x与1的距离及与-2的距离之和为5，即│x-1│+│x+2│=5，因此当x≥2时，有│x-1│+│x+2│≥5.同理，当x在-2的左边时，取x=-3，有x与1的距离及与-2的距离之和为5，即│x-1│+│x+2│=5，因此当x≤-3时，有│x-1│+│x+2│≥5. 综合以上得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑶图像法：令f（x）=│x-1│+│x+2│=2x+1，x>1

3，-2≤x≤1

-2x-1，x<-2画出其函数图像如下：

由图像可得，当x≥2或x≤-3时，有f（x）≥5，即│x-1│+│x+2│≥5.

【点评】比较以上三种解法，零点区域法的应用范围是最广的，蕴含了非常重要的分类讨论的思想；而数轴法的解题速度是最快的，但应用范围较窄；而图像法则是运用了数形结合的思想.为了更深刻地体会以上三种解法的特点，再看以下这道题：

（2014年高考重庆理科数学第16题）若不等式│2x-1│+│x+2│≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是____________.

【分析】本题综合考查绝对值不等式及一元二次不等式的知识.令f（x）=│2x-1│+│x+2│，观察│2x-1│+│x+2│的特点得出，不适合用数轴法，而零点区域法和图像法均可以.下面比较一下这两种解法：

零点区域法：令2x-1=0及x+2=0，得x1=，x2=-2.

x1，x2把实数轴分成三个区域：x<-2，-2≤x≤，x>.

①当x>时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=3x+1，得f（x）>.

②同理当-2≤x≤时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=-x+3，得f（x）≥.

③当x<-2时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=-3x-1，得f（x）>5.

综上得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，

整理得：（2a-1）（a+1）≤0，

解得：-1≤a≤.

图像法：f（x）=│2x-1│+│x+2│=3x+1，x>

-x+3，-2≤x≤

-3x-1，x<-2画

出其函数图像如下：

由图像可得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，整理得：（2a-1）（a+1）≤0，解得-1≤a≤.

【点评】1. 本题不适合用数轴法，因为两个绝对值里x前面的系数不相同；2.对比零点区域法和图像法，由于本题去绝对值后各段均为一次函数，图像较简单，因此图像法略胜一筹.

【巩固练习】（2014年高考江西理科数学第11题）（不等式选做题）对任意x，y∈R，│x-1│+│x│+│y-1│+ │y+1│的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【提示】令f（x）=│x-1│+│x│，g（y）=│y-1│+│y+1│，分别求出f（x），g（y）的最小值后加起来即可.同学们想一想，动手做一做，本题用哪种方法最快？

【总结】1. 若每一个绝对值里前面x的系数都可化为1的话，则用数轴法是最方便的.

2. 在不能用数轴法的情况下，若能画出函数图像，一般来说图像法比零点区域法略胜一筹.

3. 零点区域法应用范围较广，可以解决难度较大的问题，如含参数的题目.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

责任编校 徐国坚endprint

在2014年的高考中，有多个地方的高考题均出现了含绝对值不等式的题目.虽然难度普遍为中低档，但是我们需要研究的问题是如何能做到准确率高、耗时少.选择恰当的解法是关键，那么含绝对值不等式的问题有哪些解法呢？选择何种解法最为有利？下面让我们一起来探讨这个问题.首先请用心体会以下的解法比较：

（2014年高考广东理科数学第9题）不等式│x-1│+

│x+2│ ≥5的解集为 .

【分析】含绝对值不等式的解法一般有三种，分别是零点区域法、数轴法和图像法.

⑴零点区域法（分类讨论思想）：令x-1=0及x+2=0，得x1=1，x2=-2. x1，x2把实数轴分成三个区域：x<-2，-2≤x≤1，x>1.

①当x>1时，原不等式可去掉绝对值化为x-1+x+2≥5，解得：x≥2，考虑x>1时得x≥2.

②同理当-2≤x≤1时，原不等式可去掉绝对值化为1-x+x+2≥5，得3≥5，无解.

③当x≤-2时，原不等式可去掉绝对值化为1-x-x-2≥5，解得：x≤-3，考虑x<-2时得x<-3.

综合①②③得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑵数轴法：从几何意义方面去考虑.│x-1│的几何意义是表示x与1的距离，│x+2│的几何意义是表示x与-2的距离，原不等式的几何意义是求x与1的距离及与-2的距离之和大于等于5，观察数轴：

当x位于-2与1之间时，x与1的距离及与-2的距离之和为3，即│x-1│+│x+2│=3；当x在1的右边时，取x=2，有x与1的距离及与-2的距离之和为5，即│x-1│+│x+2│=5，因此当x≥2时，有│x-1│+│x+2│≥5.同理，当x在-2的左边时，取x=-3，有x与1的距离及与-2的距离之和为5，即│x-1│+│x+2│=5，因此当x≤-3时，有│x-1│+│x+2│≥5. 综合以上得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑶图像法：令f（x）=│x-1│+│x+2│=2x+1，x>1

3，-2≤x≤1

-2x-1，x<-2画出其函数图像如下：

由图像可得，当x≥2或x≤-3时，有f（x）≥5，即│x-1│+│x+2│≥5.

【点评】比较以上三种解法，零点区域法的应用范围是最广的，蕴含了非常重要的分类讨论的思想；而数轴法的解题速度是最快的，但应用范围较窄；而图像法则是运用了数形结合的思想.为了更深刻地体会以上三种解法的特点，再看以下这道题：

（2014年高考重庆理科数学第16题）若不等式│2x-1│+│x+2│≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是____________.

【分析】本题综合考查绝对值不等式及一元二次不等式的知识.令f（x）=│2x-1│+│x+2│，观察│2x-1│+│x+2│的特点得出，不适合用数轴法，而零点区域法和图像法均可以.下面比较一下这两种解法：

零点区域法：令2x-1=0及x+2=0，得x1=，x2=-2.

x1，x2把实数轴分成三个区域：x<-2，-2≤x≤，x>.

①当x>时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=3x+1，得f（x）>.

②同理当-2≤x≤时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=-x+3，得f（x）≥.

③当x<-2时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=-3x-1，得f（x）>5.

综上得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，

整理得：（2a-1）（a+1）≤0，

解得：-1≤a≤.

图像法：f（x）=│2x-1│+│x+2│=3x+1，x>

-x+3，-2≤x≤

-3x-1，x<-2画

出其函数图像如下：

由图像可得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，整理得：（2a-1）（a+1）≤0，解得-1≤a≤.

【点评】1. 本题不适合用数轴法，因为两个绝对值里x前面的系数不相同；2.对比零点区域法和图像法，由于本题去绝对值后各段均为一次函数，图像较简单，因此图像法略胜一筹.

【巩固练习】（2014年高考江西理科数学第11题）（不等式选做题）对任意x，y∈R，│x-1│+│x│+│y-1│+ │y+1│的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【提示】令f（x）=│x-1│+│x│，g（y）=│y-1│+│y+1│，分别求出f（x），g（y）的最小值后加起来即可.同学们想一想，动手做一做，本题用哪种方法最快？

【总结】1. 若每一个绝对值里前面x的系数都可化为1的话，则用数轴法是最方便的.

2. 在不能用数轴法的情况下，若能画出函数图像，一般来说图像法比零点区域法略胜一筹.

3. 零点区域法应用范围较广，可以解决难度较大的问题，如含参数的题目.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

责任编校 徐国坚endprint

在2014年的高考中，有多个地方的高考题均出现了含绝对值不等式的题目.虽然难度普遍为中低档，但是我们需要研究的问题是如何能做到准确率高、耗时少.选择恰当的解法是关键，那么含绝对值不等式的问题有哪些解法呢？选择何种解法最为有利？下面让我们一起来探讨这个问题.首先请用心体会以下的解法比较：

（2014年高考广东理科数学第9题）不等式│x-1│+

│x+2│ ≥5的解集为 .

【分析】含绝对值不等式的解法一般有三种，分别是零点区域法、数轴法和图像法.

⑴零点区域法（分类讨论思想）：令x-1=0及x+2=0，得x1=1，x2=-2. x1，x2把实数轴分成三个区域：x<-2，-2≤x≤1，x>1.

①当x>1时，原不等式可去掉绝对值化为x-1+x+2≥5，解得：x≥2，考虑x>1时得x≥2.

②同理当-2≤x≤1时，原不等式可去掉绝对值化为1-x+x+2≥5，得3≥5，无解.

③当x≤-2时，原不等式可去掉绝对值化为1-x-x-2≥5，解得：x≤-3，考虑x<-2时得x<-3.

综合①②③得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑵数轴法：从几何意义方面去考虑.│x-1│的几何意义是表示x与1的距离，│x+2│的几何意义是表示x与-2的距离，原不等式的几何意义是求x与1的距离及与-2的距离之和大于等于5，观察数轴：

当x位于-2与1之间时，x与1的距离及与-2的距离之和为3，即│x-1│+│x+2│=3；当x在1的右边时，取x=2，有x与1的距离及与-2的距离之和为5，即│x-1│+│x+2│=5，因此当x≥2时，有│x-1│+│x+2│≥5.同理，当x在-2的左边时，取x=-3，有x与1的距离及与-2的距离之和为5，即│x-1│+│x+2│=5，因此当x≤-3时，有│x-1│+│x+2│≥5. 综合以上得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑶图像法：令f（x）=│x-1│+│x+2│=2x+1，x>1

3，-2≤x≤1

-2x-1，x<-2画出其函数图像如下：

由图像可得，当x≥2或x≤-3时，有f（x）≥5，即│x-1│+│x+2│≥5.

【点评】比较以上三种解法，零点区域法的应用范围是最广的，蕴含了非常重要的分类讨论的思想；而数轴法的解题速度是最快的，但应用范围较窄；而图像法则是运用了数形结合的思想.为了更深刻地体会以上三种解法的特点，再看以下这道题：

（2014年高考重庆理科数学第16题）若不等式│2x-1│+│x+2│≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是____________.

【分析】本题综合考查绝对值不等式及一元二次不等式的知识.令f（x）=│2x-1│+│x+2│，观察│2x-1│+│x+2│的特点得出，不适合用数轴法，而零点区域法和图像法均可以.下面比较一下这两种解法：

零点区域法：令2x-1=0及x+2=0，得x1=，x2=-2.

x1，x2把实数轴分成三个区域：x<-2，-2≤x≤，x>.

①当x>时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=3x+1，得f（x）>.

②同理当-2≤x≤时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=-x+3，得f（x）≥.

③当x<-2时，原不等式可去掉绝对值化为f（x）=-3x-1，得f（x）>5.

综上得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，

整理得：（2a-1）（a+1）≤0，

解得：-1≤a≤.

图像法：f（x）=│2x-1│+│x+2│=3x+1，x>

-x+3，-2≤x≤

-3x-1，x<-2画

出其函数图像如下：

由图像可得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，整理得：（2a-1）（a+1）≤0，解得-1≤a≤.

【点评】1. 本题不适合用数轴法，因为两个绝对值里x前面的系数不相同；2.对比零点区域法和图像法，由于本题去绝对值后各段均为一次函数，图像较简单，因此图像法略胜一筹.

【巩固练习】（2014年高考江西理科数学第11题）（不等式选做题）对任意x，y∈R，│x-1│+│x│+│y-1│+ │y+1│的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【提示】令f（x）=│x-1│+│x│，g（y）=│y-1│+│y+1│，分别求出f（x），g（y）的最小值后加起来即可.同学们想一想，动手做一做，本题用哪种方法最快？

【总结】1. 若每一个绝对值里前面x的系数都可化为1的话，则用数轴法是最方便的.

2. 在不能用数轴法的情况下，若能画出函数图像，一般来说图像法比零点区域法略胜一筹.

3. 零点区域法应用范围较广，可以解决难度较大的问题，如含参数的题目.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

责任编校 徐国坚endprint