浅谈数学解题教学

潘兴华

摘 要 在数学解题教学的过程中，如何发展学生的思维是一个非常重要的课题。现代数学教学理论认为，数学是思维活动的过程，数学教学主要就是思维活动的教学，数学知识只是进行思维训练的结构材料。因此，通过数学解题教学培养学生的思维能力也是数学教学中的一个重要目标。

关键词 解题教学 思维能力 中学数学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）15-0059-01

所谓数学思维，就是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对显示世界的空间形式和数量关系的本质的一般性的认识的思维过程。由此可知，数学问题是数学思维活动中最重要也是最基本的内容。而数学问题是由解题主体与数学题系统组成的集，它反映了解题者现有的心理水平与客观需要的矛盾。因而，数学问题是推动数学思维发展的动力。

解题教学是数学教学的一个重要方面。如何更好的进行数学解题教学引起了许多教师的思考，其中提议较多的是通过一题多解来教学。如山东师范大学的扬成武老师在“浅谈数学解题教学中的一题多解”一文中明确指出：一题多解作为培养学生创新思维，创新意识的有效方式，应该得到数学教师的充分重视。但值得强调的是在解题教学中进行一题多解，教师首先应明确其目的之所在，不要盲目的追求一题多解，尤其应防止纯粹为追求一题多解的“作秀”味，为体现另一种解法的巧妙，而故意先设置一种繁解，这样反而不利学生的学习。因此，我们必须选择有效的“一题多解”。

《数学课程标准》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”从这个高度看，数学解题教学应是“解题”活动的教学，是师生之间、生生之间围绕“问题”的解答所进行的交往互动、共同发展的过程。

不管是初中还是高中，教师的教学任务都是非常重的，因此，在教学过程中，提高教学效率至关重要。但为了急于完成教学任务而去盲目的赶进度是不可取的，须知教师的教学目的是让学生学会多少东西，而不是教完了多少内容。事实上，如果可以在解题教学的过程中把握住一些问题，将这些问题举一反三，由一个问题拓展成一类问题，向这种由“特殊到一般”的教学就可以很好地提高教学效率，同时，也使学生经历围绕“问题”的解答所进行的交往互动、共同发展的过程，充分开发了学生的思维空间，培养了学生的思维能力。

例1 从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个不同的数，则这三个数恰成等差数列的概率为（ ）

A. B. C. D.

先提示学生解决这一问题的方法可能不是唯一的，让学生先充分独立思考，再让同学间合作交流，是学生尽可能想出多的解题思路。

思路一 设取出的三数为X，Y，Z，则2Y=X+Z，所以X，Z同为奇数或偶数，将1，2，3，…，10分成1，3，5，7，9与2，4，6，8，10.从而三数构成等差数列的取法为2C52，所以所求的概率为P==，选（A）.

思路二 （例举法）分别取公差d=1，2，3，4，得出取法1 2 3，…，8 9 10，1 3 5，…，6 8 10，1 4 7，…，4 7 10，1 5 9，2 6 10.共有8+6+4+2+20种，所以所求概率P==

思路三 设三数为a，a+d，a+2d（d>0），则a+2d≤10，d=1时，a≤8；d=2时，a≤6；d=3时，a≤4；d=4时，a=2。所以共有8+6+4+2+20种取法，P=

从以上多种思路中可以看出这道看似简单的数学题有较大的拓展空间，因此，应该马上把握机会，将问题进行拓展。

拓展一 （1） 从1，2，3，…，100这100个数中任取3个不同的数，使得这三个数成等差数列有多少种取法？

（2） 在1，2，3，…，100这100个数中任取4个不同的数成等差数列有多少种取法？

拓展二 （1） 从1，2，3，…，100这100个数中任取3个不同的数，使得这三个数成等比数列有多少种取法？

（2） 在1，2，3，…，100这100个数中任取4个不同的数成等比数列有多少种取法？

拓展三 （1） 在1，2，3，…， 这 个数中任取 个不同的数成等差数列有多少种取法？

（2） 在1，2，3，…， 这 个数中任取 个不同的数成等比数列有多少种取法？

有以上的解题思路作为基础，相信学生很快能解决拓展一中的两个问题，而拓展一，拓展二与拓展三又是逐步深入的，如此循序渐进，不但使学生得出解决这类问题的一般方法，而且让学生经历了从解决一个问题到解决一类问题的过程，养成善于思考问题的习惯；同时，也使学生对知识理解得更为深刻，并培养了学生对数学问题的敏感意识，激励了学生创新、探索和研究的精神。

（责任编辑 全 玲）