对一道数学例题的教学思考

马海龙

摘 要 本文结合一道课堂例题，从数学、学生、教学三个角度深入分析造成学生“假懂”的原因，进而阐述了在教学中既要正视学生的思维水平现实，放低教学的思维起点，又要充分借助学生的原有知识经验，以生动活泼的思维教学为主线，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象，最终实现在理性思维的层面理解和运用概念，实现为促进学生的理解而教学。

关键词 假懂 理解 思维 理性

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）15-0036-03

一、从一个教学片断说起

教师：回顾上述解题思路，数列求和型的不等式，要向有利于求和的方向进行转化（不少同学似有所悟，微微点头回应）。

教师：下面请看下一题。

课后，笔者问坐在教室后排的两位同学：“懂了吗？”他们说：“懂了！”笔者接着问：“答案盖住，自己做下试试看。”两位同学想了想，试着写了一下，放缩还是无法完成。

可见，学生的“懂”是“假懂”，而非“真懂”。

二、学生“假懂”的原因分析

1.从数学的角度看

上文的例题，其解答的思维过程包括一下两个方面：

一是要熟知高中数列常见的求和方法，如：常数列求和，周期数列求和，等差数列求和，等比数列求和，倒序相加求和，错位相减求和，裂项相消求和法等，解题时要能从题目信息中联想到已知的求和方法。从求和式Tn=++++…+的结构特征可以提示我们应采用的是裂项相消求和法，这是后续推理活动的铺垫，是题意理解的一个关键。

二是通项bn2（n≥2）本事不具有裂项求和法的结构特征，从目标分析，需要适当的转化放大，而“适当”说的轻松做起并不容易，这也是本题的一个难点所在。通过以上分析，解题时的目标是明确的，即需要寻找这样一个等差数cn，能够使得，当n≥2时，bn2≤成立，而后式能用裂项相消求和，但注意不要放得过度。

2.从学生的角度来看

面对上文的例题，学生的困难主要来自以下三个方面：

一是两个小题相互关联，前面小题是为后面小题做铺垫的，因此对部分学生而言，第（1）小题结构形式复杂，一下子难以找到突破口， 找寻到突破口还要谨小慎微，细致讨论下才能得到正确结论，这已经就是一只拦路虎。在没有能全面解对情况下，第（2）小题对他来说没有任何意义；

二是看到求和型的不等式时，学生心理上不适应。首先司空见惯的是求数列的前n项的和问题，学习的都是具体而相对简单的数列求和问题，基本思维还希望数列本身能是上述求和类型的。而现在要求和的数列既不是等差也不是等比的，哪怕是等差乘以等比的通项公式也可以，理想很丰满，现实很骨感，这样对于题设中的求和与目标中的不等式内在逻辑联系存在困惑。其次，这与学生接触不等式问题少密切相关，现行高中课本必修部分不等式问题独立成章的，主要内容是解不等式和二元的均值不等式为主。从这个方面分析，学生不能将数列求和与不等式联系起来。

三是在以上两个问题在思维层面都解决了，想到向裂项相消求和转化，但在放缩时却遇到一个更大的拦路虎。放缩法是说起来容易操作起来困难，始终感觉到放缩很神秘，高不可攀，一步小心就放缩过头，实属不易。要在课堂和考试的有限时间内独立完成，也许需要的是技巧和好运气了，但好运气不是时时会有的。

3.从教学的角度来看

上文的例题教学中，教师的讲解思路清晰，逻辑准确，表述简洁规范，可谓“一气呵成”。那么造成学生“假懂”的原因，除了前面已述及的例题本身与学生的知识经验、认知发展的局限性，难道就没有教学上的原因？笔者以为：没有正视学生的思维水平现实，放低教学的思维起点。

新课改以来，一直强调学生是教学的主体，教师是教学的主导，作为主导的教师，从哪里开始导， 导向哪里，怎么导， 是作为教师必须思考的问题。

第一个问题从哪里开始导？笔者的想法是从学生的原有知识基础和现有思维水平开始，本题的原有知识基础最基本的是裂项相消法的一般结构模式，扩展起来还有数列求和的一般方法等。现有的思维水平，就是学生想到哪里了，还有那些地方没想到。这些问题清楚后， 又要注意正视学生的思维水平现实，放低教学的思维起点，这些可作为解此题的出发点。

第二个问题导向哪里？这是一个目标分析的问题，要有大局观，要求的是学生和教师对试题总体方向的把握，也需要解题经验的积累。对于本题直接求和在学生现有的水平上已是不能完成的任务的情况下，就要考虑其向已有的求和方法上转化，转化到那种求和方法需要根据求和式的结构特征分析。

第三个问题是怎么导，顺应学生的思维方式是最为有效的。这是最为关键的问题，前面有了引导的基础和方向，具体落实时就是怎么样过渡过去，基础是此岸，目标是彼岸，采取什么方式渡过中间的河流呢？该式<出现的过于突然，仔细思考的话，分数值放大，可以采用分子增加也可以分母减少，选择分母减少，减少多少为有效？为什么会偏偏减少3n呢？减少1或4不行吗？放缩的难点也就在这里，应该向学生解释清楚其中的思维过程。这样关键步骤的缺失导致例题的无效。

三、为促进学生的理解而教

以放缩方法的本身技巧性强的特性而采用“告诉式”“结果式”的教学方式，客观上是一种教师逃避责任的行为，事实上，正是由于在学生看来放缩法艰涩难懂，变化灵活，才为教师开展创造性教学提供了巨大的空间。通过上面例题的教学，教师完全可以达到深化学生对放缩方向和尺度的把握，提升数列与不等式综合题的解题和理解能力的目的，为学生后来更好的学习和研究数列奠定基础。

1.目标引领思维，顺势而为达到水到渠成

康托尔说过：“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。”在例题讲解过程中，教师要密切关注学生的学习动态，并不失时机地提出问题，通过引导、启发、指导、点拨、评价矫正，拓展思路，开阔视野，提炼精要，升华情感化，繁为简作用，让师生对话得以持续，将学生单一的思维系统化，使教学目标迅速达成。经过教师的适时提问，学生的自主、合作、探究才能顺畅，学生的思维才有可能从懵懂走向顿悟，内心才有可能从迷惘变得敞亮。

本例可以尝试从以下问题引领思维：

问题1：我们常见的数列求和方法有那些？本题数列求和与哪种相似度大？

问题2：裂项相消求和方法有什么结构特征？

对于这两个问题，作为刚刚复习过数列的学生而言，都易解决，属于知识层面，其设计意图是在已有知识和未知问题直接建立起跨越的桥梁，为学生继续思考打下基础。这时学生可以发现我们现在需要找到这样的一个等差数列{cn}，能满足当n≥2时，bn2≤成立，也就是

即<<，这是笔者得到的最好结果。

最后说明的一点是 和式没有初等的解析表达式。

一点启示：在数学教学中，若教师善于引导学生对典型例习题进行解法探究、推广、发展，乃至应用，则可帮助学生巩固和深化有关概念，完善某个知识点的结论，掌握某些解题规律和某种数学思想方法，这样处理典型例习题恰与新课程标准所倡导的“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”的本质相吻合。

高中数学人教A版系列教材在”主编寄语”中指出，“数学是自然的”“数学是清楚的”。笔者认为，数学教学同样应该是“自然的”和“清楚的”：自然的概念形成教学，自然的逻辑分析引导，清楚的数学符号解析和合乎学生认知发展规律的思维点拨等。高中学生知识经验不足，认知能力也存在局限性，这给他们学习放缩带来了困难，教学中既要正视学生的思维水平现实，放低教学的思维起点，又要充分借助学生的原有知识经验，以生动活泼的思维教学为主线，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象，最终实现在理性思维的层面理解和运用概念，数学法则以及由数学内容反映的数学思想方法目的，最大限度地克服学生数学学习中“会而不懂”“会而不全”的现象，实现“为迁移而教”的教育目标。这样不但教会学生解题，还能提高学生的数学思维，必将使数学成为人们在成长过程中，提高思辨能力和创新能力的终身受益的一门学科。

（责任编辑 全 玲）