广义正定矩阵的等价定义及进一步推广

秦应兵

(西南交通大学数学学院，成都610031)

1 引 言

正定矩阵在矩阵理论的分析领域中占有十分突出的地位，在几何学、物理学、概率论等学科都起到了很重要的作用.但是，这种定义的正定矩阵有一定的局限性，它限定了矩阵必须为实对称矩阵. 随着时代的发展，理论研究以及应用的进一步深化，对称正定矩阵已经不能满足需要，于是未必对称的广义正定矩阵的研究便进入人们视线.

Johnson于1970年在文[1]中推广了对称正定矩阵的概念：设A∈n×n.如果对任何X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都有XTAX>0,则称A为正定矩阵，记这种矩阵的全体为PL.这种推广的正定矩阵在数学规划的优化模型与线性回归模型结构的基本理论中都得到了应用.

佟文廷于1984年在文[2]中把这种正定矩阵做了推广：设A∈n×n.如果对任何X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都存在正对角矩阵D=DX，使得XTDAX>0,则称A为广义正定矩阵，记这种广义正定矩阵的集合为特别地当DX选取与X无关时记为PD.这种一般意义下的广义正定矩阵与稳定矩阵有着密切的联系，在稳定矩阵的研究中起着重要的作用.

1988年，夏长富在[3]对广义正定矩阵进行了进一步推广：设A∈n×n.如果对任何X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都存在对称正定矩阵S=SX，使得XTSAX>0，则称A为广义正定矩阵，记为特别地，当SX的选取与X无关时，记为PS. 这种扩展定义的广义正定矩阵，其定义条件进一步弱化.

2005年，Yang Shichun, Wu Wenquan在[4]中对广义正定矩阵进行了进一步的推广：设A∈n×n.如果对任何X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都存在正定矩阵M=MX∈PL,使得XTMAX>0，则称A为广义正定矩阵，记为特别地，当M的选取与X无关时，记为PM.

从上述推广正定矩阵的方法出发，我们可以进一步推广正定矩阵，得到

定义1设A∈n×n.如果对任何X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都存在广义正定矩阵M=MX∈PM,使得XTMAX>0，则称A为更广意义下的广义正定矩阵，记为特别地，当M的选取与X无关时，记为PFM.

本文主要研究广义正定矩阵PD，PS，PM的等价定义以及更广意义下的广义正定矩阵PFM的性质.

2 三类广义正定矩阵的等价定义

以上推广正定矩阵得到的广义正定矩阵PD，PS，PM，采用的方法均是构造辅助矩阵从左侧乘矩阵.下面构造辅助矩阵从右侧乘矩阵来推广广义正定矩阵，可以得到三类广义正定矩阵PD，PS，PM的等价定义.

由PD，PS的定义，正对角矩阵D以及对称正定矩阵S均具有对称性以及可逆性，因此，很容易得到

定理1设A∈n×n, 则A∈PD的充要条件是对任意X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都存在正对角矩阵D，使得XTADX>0.

证必要性. 设A∈PD，则存在正对角矩阵D，对任何X≠0，有XTDAX>0.因为D=DT，有XTDAX=(DX)TAD-1(DX)>0.令Y=DX，则Y≠0. 设D*=D-1，则D*依然为正对角矩阵.因此XTDAX=(DX)TAD-1(DX)=YTAD*Y>0，即A∈PDr.

充分性.设存在正对角矩阵D，对任何X≠0，有XTADX>0.而XTADX=(DX)TD-1A(DX)>0，令Y=DX，则Y≠0. 设D*=D-1，则D*依然为正对角矩阵.将上式改写为YTD*AY>0，即A∈PD.

定理2设A∈n×n，则A∈PS的充要条件是对任何X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都存在对称正定矩阵S，使得XTASX>0.

证必要性. 设A∈PS，则存在对称正定矩阵S，对任意X≠0有XTSAX>0.因为S=ST，有XTSAX=(SX)TAS-1(SX)>0.令Y=SX，则Y≠0. 设S*=S-1，则S*为对称正定矩阵.因此

XTSAX=(SX)TAS-1(SX)=YTAS*Y>0.

充分性. 若存在对称正定矩阵S，对任意X≠0，有XTASX>0.而XTASX=(SX)TS-1A(SX)>0，令Y=SX，则Y≠0.设S*=S-1，则S*依然为对称正定矩阵.因此XTASX=(SX)TS-1A(SX)=YTS*AY>0，即A∈PS.

对于广义正定矩阵PM，由于所借助的矩阵M的非对称性，不能直接得到其等价定义.

引理1[4]若A∈PL，则A-1,AT,PTAP∈PL，其中detP≠0.

引理2若A∈PM, 则存在矩阵B,C∈PL, 使得A=BC，反之亦然.

证必要性. 设A∈PM，则任何X≠0，存在正定矩阵M∈PL，使得XTMAX>0，因此MA∈PL. 令C=MA，有A=M-1C. 记B=M-1，由引理1,B=M-1∈PL, 得证.同理可证充分性.

由引理1以及引理2，有

定理3设A∈n×n，则A∈PM的充要条件是任何X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都存在正定矩阵M∈PL, 使得XTAMX>0.

证必要性. 设A∈PM，则由引理2，存在矩阵B,C∈PL, 使得A=BC.于是AC-1=B∈PL.而C∈PL，故C-1∈PL.记C-1=M，因此对任何X≠0，有

XTAC-1X=XTAMX>0.

充分性. 若对任何X≠0，X=(x1,x2,…,xn)T∈n×1，都存在正定矩阵M∈PL,使得XTAMX>0，则AM∈PL.记AM=C，由引理1，有C-1A=M-1∈PL，以及C-1∈PL.因此对任何X≠0，XTC-1AX>0.即A∈PM.

3 广义正定矩阵的进一步推广及其性质

从上述推广正定矩阵的方法出发，我们可以进一步推广正定矩阵，得到更广意义下的广义正定矩阵PFM.由定义1，有

定理4若A∈PFM,则存在矩阵M∈PM,使得MA∈PL，反之亦然.

证A∈PFM的充要条件是对任何X≠0，存在正定矩阵M∈PM，使得XTMAX>0.这等价于MA∈PL，得证.

由定理4，以及文[5]，有

推论1若A∈PFM，则detA>0.

定理5若A∈PFM，则存在M∈PM，使得MA+ATMT为对称正定矩阵. 反之亦成立.

证必要性. 由A∈PFM，可知存在M∈PM，使得对于X≠0，有XTMAX>0. 于是

故MA+ATMT是对称正定矩阵.

充分性. 由于MA+ATMT是对称正定矩阵，可得对于X≠0，有

XT(MA+ATMT)X>0，

于是XTMAX>0. 又M∈PM，故A∈PFM.

定理6若A∈PFM, 则(i) 若A-1∈PFM；(ii)AT∈PFM；(iii)kA∈PFM，其中k>0； (iv)A*∈PFM； (v)A+kE∈PFM，其中k>0.

证(i) 设A∈PFM，则存在M∈PM，使得对于X≠0，有XTMAX>0，即MA∈PL.令MA=K∈PL. 又因为M∈PM，由引理2, 存在矩阵B,C∈PL, 使得M=BC.则BCA=K∈PL，于是A-1=K-1BC，B-1KA-1=C∈PL.又由引理1及引理2，B-1K∈PM. 于是A-1∈PFM.

(ii)设A∈PFM，则存在M∈PM，使得对于X≠0，有XTMAX>0，即MA∈PL.令MA=K∈PL，又因为M∈PM，由引理2, 存在矩阵B,C∈PL, 使得M=BC.则BCA=K∈PL，于是

AT=KT((BC)-1)T=KT(B-1)T(C-1)T， ((K-1)TBT)AT=(C-1)T.

由引理1以及引理2，(C-1)T∈PL，(K-1)TBT∈PM，因此AT∈PFM.

(iii) 直接由定义可得证.

(iv) 由A*=(detA)A-1以及(3)可得证.

(v) 直接由定义可得证.

与定理1,2,3 类似, 有

定理7A∈PFM的充要条件是对任何X≠0，存在广义正定矩阵M∈PM，使得XTAMX>0等价于AM∈PL，即AM∈PFM.

定理8若A∈PFM, 即存在M∈PM, 使得对于X≠0，有XTMAX>0. 若可逆矩阵P∈PFM, 且PM=MP, 则PAPT∈PFM.

证由题设，MA∈PL.令X=PTY，则P是可逆矩阵，有X=PTY≠0，于是由PM=MP，有

YTMPAPTY=YTPMAPTY=(PTY)TMAPTY=XTMAX>0，

即PAPT∈PFM.

定理9若A∈PFM，且A的QR分解为A=Q1R1，则R1Q1∈PFM.

证若A∈PFM，则存在矩阵M∈PM,使得MA∈PL. 记A1=MA∈PL，于是A1=MQ1R1∈PL，并有

[参 考 文 献]

[1] Johnson C R. Positive definite matrices [J]. Amer. Math. Monthly，1970，77：259—264.

[2] 佟文廷. 广义正定矩阵[J]. 数学学报，1981，27：801—810.

[3] 夏长富. 矩阵正定性的进一步推广[J]. 数学研究与评论，1988，8(4)：499—504.

[4] Yang Shichun, Wu Wenquan. On the generalized positive definite matrices [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2005(5)：146—150.

[5] 李炯生. 实矩阵的正定性[J]. 数学的实践与认识,1985，15(3)：67—73.