不同教材中高等数学概念的辩析

高 伟

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046)

高等数学是理工科院校各专业必修的一门重要的基础课．通过本课程的学习，一方面使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程和进一步获得数学知识提供必不可少的数学基础及常用的数学方法．另一方面它能逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，能综合运用所学知识分析和解决实际问题，对学生数学素质的培养和形成具有重要意义.为了实现上述目标和提高教学质量，选择一本好教材也是至关重要的．目前我校的本科学生主要用两种高等数学教材：一种是同济六版的高等数学，另一种是西安交通大学编的高等数学简明教程．两种教材都是普通高等教育‘十一五’国家级规划教材都是经典的优秀教材．但两种教材中的有一些概念在叙述与定义上有比较大的差异，甚至对同一题用不同教材的定义会得到相反的结论．我们以多元函数微分学一章为例比较如下．

1 方向导数定义的比较

同济六版：设l是xOy平面上以P0(x0,y0)为始点的一条射线，el=(cosα,cosβ)是与l同方向的单位向量．射线l的参数方程为

x=x0+tcosα,y=y0+tcosβ(t≥0).

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域U(p0)内有定义，P(x0+tcosα,y0+tcosβ)为l上的另一点，且P∈U(P0).如果函数增量f(x0+tcosα,y0+tcosβ)-f(x0,y0)与P到P0的距离|P0P|=t的比值

西交大版：设P0(x0,y0)为xOy平面上的一个给定点，l为一非零平面向量，el=(cosα,cosβ)是与l同向的单位向量，二元函数z=f(x,y)定义在P0的某邻域内．若极限

用西交大版教材的定义，得

同济版的定义的方向l用一条射线来代表，符合人们的思维习惯，P点在射线的起点P0的沿着方向的一侧，这就是为什么定义中的极限是t→0+时的极限的原因，另外一个原因是在这里t代表的是P到P0的距离，也就是t≥0是单侧极限．

西交大版的定义的方向l用了一条已知方向的有向直线来说明，就像数轴一样，这时的参数t是一个有向距离(增量)，可正可负，是双侧极限．

同济版的用单侧极限的定义，我们认为主要原因之一是方向导数这个概念的提出就是应用的需求.例如，热空气要向冷的地方流动，气象学中就要确定大气温度，气压沿着某些方向的变化率.在电学中，需要知道电场中各点沿某一方向电位的变化情况．在登山中，确定最佳路线等．人们关心的是研究对象沿某一特定方向变化的程度，而不必非得将这个方向反向沿伸而讨论两侧同时逼近的情景．

西交大版的用双侧极限的定义，我们认为主要原因之一是方向导数从本质上来说是函数f(x,y)在点(x,y)处沿l方向的变化率，而偏导数是研究函数f(x,y)在点P沿坐标轴的变化率问题．这样，方向导数的概念与偏导数的概念没有大的不同．而在偏导数定义时，所使用的极限都是双侧的极限．既然本质都是变化率，那么用双侧的极限来刻画方向导数也是可行的．事实上，西交大版定义就是这样做的．这样有一个明显好处就是把方向导数与偏导数的概念同一起来了．偏导数成为方向导数的特例，方向导数是偏导数的推广．

2 极限定义的比较

西交大版: 设二元函数z=f(x,y)的定义在点P(x0,y0)∈2的某一去心邻域中，A∈为一确定的常数．若∀ε>0，∃δ>0，使得当0<ρ(P,P0)<δ即时，恒有不等式|f(x,y)-A|<ε成立，则称当(x,y)→(x0,y0)时f(x,y)有极限，常数A称为当(x,y)→(x0,y0)的二重极限，记作

解函数的定义域为D={(x,y)|x≠0,y≠0}按同济六版的定义(0，0)是函数的聚点，则

按西交大版的定义函数在(0,0)点没有极限．

因为在(0,0)的任何去心邻域内都包含x=0与y=0的点．所以不能保证函数在(0,0)点的去心邻域内每一点都有定义．

3 极值定义的比较

同济六版：设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的内点.若存在P0的某个邻域U(P0)⊂D，使得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极小值点.极大值，极小值统称为极值．

西交大版： 设二元函数f(x,y)的定义域为D⊆2内，P0(x0,y0)是D的内点若∃δ>0，使当(x,y)∈U(P0,δ)时，恒有f(x,y)≤f(x0,y0)(f(x,y)≥f(x0,y0)).则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)有极大(小)值f(x0,y0).点P0(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大(小)值点.极大值与极小值统称为极值.

图1

比较两个定义会发现，不同点在于极值讨论的范围的差别.在西安交大版高等数学是点P0(x0,y0)的某邻域U(P0,δ)同济六版高等数学是点P0(x0,y0)的某去心邻域.很显然同济六版高等数学对于点P0(x0,y0)只要求有定义，而在附近点与它的关系满足严格的不等式即可.这样定义方式无疑是简洁与清晰的而且几何意义比较明显(局部的峰值是极大值，局部的谷值是极小值).西安交大版高等数学讨论的范围扩大，加上P0(x0,y0)点，由于多了一点，那么条件自然就变成f(x,y)≤f(x0,y0)这样定义比较直接，也符合人们的一般习惯.但它们的差别是明显的.例如帐篷函数(如图1)

在(0,0)处．按西安交大版高等数学极值的定义函数在(0,0)取极大值1.按同济六版高等数学极值的定义函数在(0,0)不取极值．这样同一个概念由于定义不同导致了有些函数在某些点处的极值情况有可能不同.当然，仔细比较这两个定义会发现同济六版定义的极值是西安交大版定义中的一部分.即用同济六版极值定义验证过的极值一定是西安交大版极值定义的极值，反之不一定.可以把同济六版极值定义看成是狭义的，把西安交大版极值定义看成是广义的．

4 结 论

通过对上面的不同教材中的概念的比较与分析，得到

(i) 教材是教师组织课堂教学开展教学活动的主要依据，是教师和学生实践教学活动的主要工具.因此不管用哪种优秀教材，教师都要全面，系统地阅读教材，理解教材.准确把握教材中的概念，领会教材编写的意图.传授给学生，才能收到良好的教学效果.

(ii) 比较两个定义，会发现尽管叙述不尽相同，符号含义有所差别，这并不是说哪个教材的定义就好，就高明，就正确.而是两个教材侧重重点不同的具体反映

(iii) 在教学中，讲透教材的概念后，如果时间允许，可引出其他教材对这个概念的叙述，让学生比较细节处的不同举例说明两种定义的差别，在分析个自的优缺点.指出不同的定义只是侧重点的不同，并不是不正确的表述，这样，就使学生对于这个概念的掌握更透彻更全方位.

[参 考 文 献]

[1] 同济大学数学系.高等数学(下册).[M].6版.北京:高等教育出版社，2007.

[2] 王绵森，马知恩．高等数学简明教程(下册).[M].北京:高等教育出版社，2010.