崔汉哲
(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)
中心二项式系数的同余性质
崔汉哲
(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)
中心二项式系数;p进赋值函数; 同余性质
最近,孙智伟[14]证明了
引理1[14]对于任意正整数n都成立
定义1对于任意正整数n与素数p,定义p进赋值函数vp(n)为n的素因数分解中p的最高幂次。如对任意素数p有vp(1)=0,v3(9)=v3(36)=v2(36)=v2(4)等。
以下引理在任何一本数论的标准教材中都可以找到。如文献[15]中的第一部分第一章的定理1.6。
引理2对于任意正整数n与素数p都有
定理1Sn为奇数⟺n为2的幂次。
证明将Sn的分子与分母重新整理,得
所要证者
v2(Sn)=v2(n!)+v2((6n)!)-v2((2n)!)-
v2((2n+1)!)-v2((3n)!)-1=0⟺n
为2的幂次。注意到
v2((2n+1)!)=v2((2n)!)=
v2(2·4…(2n-2)(2n))=v2(2nn!)=
n+v2(n!)
以及类似的
v2((6n)!)=3n+v2((3n)!)
可将v2(Sn)化简为n-v2(n!)-1。以下分两种情况,利用引理1具体计算该式。
(1) 当n=2l(l为非负整数)时,
2l-1=n-1
此即v2(Sn)=0。
(2) 当n不为2的幂次时,将n做二进制展开,即
n=2at+2at-1+…+2a0
其中,at>at-1>…>a0≥0且均为非负整数。因n不为2的幂次,故有t≥1。此时经简单计算可得
若a0=0,则(2a0-1+2a0-2+…+1)理解为0,
(2at-1-1)+…+(2a0-1)<
2at+2at-1+…+2a0-1=n
(注意到t≥1)
此即v2(Sn)>0。
证毕
定理2对任意正整数n,成立2n+3|3Sn。
证明经简单计算,可得
故所要证者即为对于任意素数p,都成立
vp(3)+vp((n+1)!)+vp((6n)!)≥
vp((2n)!)+vp((2n+3)!)+vp((3n)!)
(1)
也即
以下分p=2、p=3和p≥5三种情况讨论。
(2) 当p=3时,类似定理1中的证明,有
v3((6n)!)=2n+v3((2n)!)
v3((3n)!)=n+v3(n!)
成立,于是式(1)可简化为
1+n+v3((n+1)!)≥v3(n!)+v3((2n+3)!)
再根据n模3的不同取值分3种情况讨论(以下m均为自然数)。
①n=3m。经简单计算可得式(1)不等号左边=1+4m+v3(m!),右边=1+3m+v3(m!)+v3((2m+1)!),故此时要证v3((2m+1)!)≤m。而
v3((2m+1)!)=
由于m为自然数,此即v3((2m+1)!)≤m。
②n=3m+1。经简单计算可得式(1)不等号左边=2+3m+v3((3m)!),右边=1+2m+v3((3m)!)+v3((2m+1)!),故此时要证v3((2m+1)!)≤m+1。由①中结论,这显然成立。
③n=3m+2。经简单计算可得式(1)不等号左边=4+4m+v3((m+1)!),右边=2+3m+v3(m!)+v3((2m+2)!),故此时要证v3((2m+2)!)≤m+2+v3(m+1)。类似①中做法,有v3((2m+2)!) (3) 当p≥5时,式(1)为 vp((n+1)!)+vp((6n)!)≥ vp((2n)!)+vp((2n+3)!)+vp((3n)!) 由引理1,只需证明对任意正整数k与n,均有 (2) 成立。 由于式(2)成立与否只依赖于n模pk的值,故以下设n=0,1,…,pk-1。然后,根据n+1,2n,2n+3,3n,6n与pk的不同大小关系逐一验证式(2)成立。为讨论方便,需要固定2n+3与3n的大小关系,即当n≥4时,有2n+3<3n。因此,n=0,1,2,3的情况首先单独验证。以下是具体过程(注意p≥5,k≥1)。 (1) 当n=0时,式(2)为 (2) 当n=1时,若p=5,且k=1,则式(2)为 其余情况下,式(2)均为 (3)n=2和n=3的情形与上文类似,本文省略具体过程。当n≥4时,分以下几种情况具体计算可得: ① 当6n ② 当3n ③ 当2n+3 ④ 当2n ⑧ 当pk≤n+1,即n=pk-1时,式(2)为 这样便证明了对任意正整数k与n,式(2)均成立。 定理证毕 [1] Stanley R P.Enumerative Combinatorics: Vol.2[M].Cambridge: Cambridge University Press,1999: 219. [2] Grimaldi R.Fibonacci and Catalan Numbers: An Introduction[M].New Jersey: John Wiley & Sons,2012: 147. [3] Cao H Q,Pan H.Factors of alternating binomial sums[J].Advances in Applied Mathematics,2010,45: 96-107. [4] Sun Zhiwei.Binomial coefficients,Catalan numbers and Lucas quotients[J].Science China Mathematics,2010,53: 2473-2488. [5] Sun Zhiwei,Tauraso R.New congruences for central binomial coefficients[J].Advances in Applied Mathematics,2010,45: 125-148. [6] Sun Zhiwei,Tauraso R.On some new congruences for binomial coefficients[J].International Journal of Number Theory,2011,7(3): 645-662. [7] Sun Zhiwei.On congruences related to central binomial coefficients[J].Journal of Number Theory,2011,131(11): 2219-2238. [8] Tauraso R.More congruences for central binomial coefficients[J].Journal of Number Theory,2010,130(12): 2639-2649. [9] Guo V J W,Zeng Jiang.Some congruences involving centralq-binomial coefficients[J].Advances in Applied Mathematics,2010,45(3): 303-316. [10] Mattarei S,Tauraso R.Congruences for central binomial sums and finite polylogarithms[J].Journal of Number Theory,2013,133(1): 131-157. [11] Sun Zhiwei.Supercongruences involving products of two binomial coefficients[J].Finite Fields and Their Applications,2013,22: 24-44. [12] Sun Zhiwei.On divisibility of binomial coefficients[J].Journal of the Australian Mathematical Society,2012,93(1/2): 189-201. [13] Guo V J W,Krattenthaler C.Some divisibility properties of binomial andq-binomial coefficients[J].Journal of Number Theory,2014,135: 167-184. [14] Sun Zhiwei.Products and sums divisible by central binomial coefficients. The Electronic Journal of Combinatorics,2013,20(1): 9. [15] 特伦鲍姆G.解析与概率数论导引[M].陈华一,译.北京: 高等教育出版社,2011: 15. Congruence Property of Central Binomial Coefficients CUIHanzhe (Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China) central binomial coefficients;p-adic valuation function; congruence property 2014 - 05 - 26 崔汉哲(1980-),男,讲师,博士,主要研究方向为算子代数与组合数学,E-mail: cuihz@sdju.edu.cn 2095 - 0020(2014)05 -0288 - 04 O 151.1 A