基于有理插值公式GM(1，1)模型的背景值构造新方法与应用

晋斌，张辉

(中国传媒大学 理工学部，北京 100024)

1 前言

自上世纪80年代以来，灰色系统理论所需样本数据少，不需要计算统计特征量等优点已经应用到许多领域，特别是在显著不确定性和缺乏数据信息的领域得到了成功应用。虽然GM(1，1)模型进行预测在许多案例中取得了成功，但也有一些案例预测误差较大，说明GM(1，1)模型的实用性有待提高。因此，我们需要对GM(1，1)模型进行深入的研究，提高GM(1，1)模型精度及其适应性，使模型可以更广泛地应用到实际中。文献[1]用实验的方法分析了GM(1，1)模型误差特性，文献[2]提出GM(1，1)模型中的背景值构造方法影响其精度和适应性的关键因素，并给出了一个重构公式。文献[3]给出了基于多项式的Netwon插值重构，本文作者提出了基于古老的连分式理论的有理插值，仿真例子表明本文所提出方法的有效性。

2 传统GM(1，1)模型的建模机理

设原始数据序列为：

X(0)={x(0)(1)，…，x(0)(n)}

(1)

其中x(0)(i)>0，i=1，…，n。

对原始数据作一次累加，得：

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}

(2)

称一阶线性常微分方程：

(3)

为GM(1，1)模型的线性白化微分方程。其中a和b为待辩识常数。待辨识常数的最小二乘解为：

(4)

其中

Y=[x(0)(1)，…，x(0)(n)]T，

为背景值。

方程(3)的离散解为：

(5)

还原到原始数据为：

从公式(4)可看出拟合和预测精度由常数a和b来决定，而a和b的求解则依赖于背景值z(1)(k+1)。这样，背景值z(1)(k+1)的值就是直接影响GM(1，1)模型精度和适应性的关键因素。

3 GM(1，1)模型背景值的改进方法

3.1 有理插值公式

前文所述求背景值的方法实际上就是数值积分中的梯形公式，而梯形法的误差较大，精度较低，因此我们提出用基于连分式理论的有理插值与广义梯形公式来重构背景值。

定义1[4]设X={x0，x1，…，xn，…}是实平面上一点集，f(x)是定义在G⊃X上的函数，令

φ[xi]=f(xi)，i=0，1，2，…，

称由上述公式确定的φ[x0，x1，…，xl]为函数f(x)在点x0，x1，…，xl处的l阶逆差商。

定义2[4]设{an}，{bn}为两个实数列，称形如：

(6)

的分式为连分式(continued fractions)，记作

而式

(7)

称为连分式(6)的n次渐近连分式，其运算法则按一般分式运算。

定义3[4]下述形式的连分式：

(8)

为Thiele型连分式，见文献[4]。

定理1[4]设

(9)

其中φ[x0，x1，…，xk]≠0，∞，k=0，1，…，n为f(x)在x0，x1，…，xk处的k阶逆差商，则有

Rn(xi)=f(xi)，i=0，1，…，n

即函数Rn(x)为函数f(x)在点x0，x1，…，xn处的有理插值函数。

3.2 基于广义梯形公式的背景值改进法步骤如下：

1)取(2)中的一次累加序列：

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}，

2)取y(k)=k，k=1，2，…，n，m=4(或m=8)，

4)构造背景值

当m=4时

当m=8时

或组合公式

4 应用实例

例：

本文把我国人均能源消耗量的预测作为比较本文与文献[3]模型的模拟预测精度，数据来源《中国统计年鉴》。用1998-2004年的数据建模，预测2005、2006、2007年的数据，结果见下表。按本文方法，建立我国人均能源消耗量灰色预测模型为如(10)式，文献[3]模型如(11)式所示：

(10)

(11)

表 我国人均能源消耗量预测比较

续表

5 小结

从上文的模拟和预测可以看出，所建立的模型提高了预测精度，具有一定的实际应用价值。我们在解决实际问题时可以尝试不同的预测模型，从中选择与现实问题拟合较好的模型，从而提高模型的拟合精度，得到符合实际的预测模型。

[1]黄巍松，吉培荣，胡翔勇.灰色GM(1，1)模型误差特性的实验研究[J].武汉水利电力学报，2000，1(22)：69-72.

[2]谭冠军.灰色GM(1，1)模型的背景值构造方法和应用[J].系统工程理论与实践，2000，20(4)：98-103.

[3]李俊峰，戴文战.基于插值和Netwon-cores公式的GM(1，1)模型的背景值构造新方法和应用[J].系统工程理论与实践，2004，24(10)：122-126.

[4]檀结庆.连分式理论及其应用[M].北京：科学出版社，2007.