基于交通流理论的道路实际通行能力模型

郑松竺，徐雅琳，李梦思

(中国传媒大学 理工学部，北京 100024)

1 引言

道路通行能力是指道路的某一断面在单位时间内所能通过的最大车量数，是衡量公路本身的重要性质之一，会受到交通量、行车环境等因素的影响。道路通行能力的单位为pcu/h(pcu是标准小汽车当量)，一单位的pcu/h等于1千米目标马路上的标准汽车当量总数与该马路畅行时(所有交通工具保持正常安全车距的无障碍行驶状态)速度的乘积。不考虑实时路况时计算出的道路通行能力为理论道路通行能力，而将路面情况、天气等客观因素考虑在内计算得出的道路通行能力为实际道路通行能力[1]。

因交通事故、路边停车、占道施工等因素导致道路横断面单位时间内通过车辆数下降的车道占用现象会导致道路通行能力的下降。由于城市道路具有交通密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。

正确估算车道占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。

《美国道路通行手册》对道路的通行能力，理论通行能力的计算方法，以及在实际情况中所需要的修正方法做了详细的阐述。

GreenBurg提出，在道路拥堵时，汽车行驶速度是随车流密度变化的指数函数，且两者反向变动。考虑到在实际情况中，汽车行驶速度在道路开始拥堵时下降迅速，而随时间推移行车速度的下降速率慢于道路拥堵的恶化速率，GreenBurg的模型是比较贴合实际情况的。

茹红蕾(2008)在其研究中采用非线性回归的方法对GreenBurg的模型进行估计，模型中借鉴其做法对GreenBurg模型中的道路畅行速度和阻塞密度两个参数进行估计。

本文使用的数据来源于2013年高教社杯大学生数学建模竞赛A组题目所提供的道路事故监控视频。针对目标路段自事故发生到事故结束时段内实际通行能力的变化情况，提出了计算道路实际通行能力的模型，同时结合交通流理论建立了上游路段车流量、道路实际通行能力、事故消散时间和排队长度的模型。

2 数据说明

论文中实例的数据来源于对2013年大学生数学建模竞赛A组题目所提供的道路事故监控视频1和视频2的观测整理。视频1中反映的是三车道分道行驶时车辆的行驶时，在某一时间点，车流中两车辆相撞，占用左车道和中间车道，造成交通拥堵的状况。而视频2反映的情况和视频1类似，只是两车辆相撞占用的是右车道和中间车道。两种情况只是占用的车道有差异。

其中从视频中直接观测的变量是道路车流量(Q)、车流密度(K)。观测记录方法如下：

道路车流量(Q)是在单位时间内通过事发横截面的车辆数，单位：pcu/h。开始计数时间为视频开始时间，考虑到红绿灯的影响，记录车流量的周期为30s。

车流密度(K)是随时间变化的量，车流密度(K)的计算公式为：

其中，N为某瞬间在L上行驶的车辆数(总标准汽车当量)，L为路段长度，k的单位是pcu/km。

总标准汽车当量是不同车型与其修正系数乘积的加权和：

为了简化问题，可以将视频中可观察到的车辆分为三种车型：电瓶车、小汽车和大客车。这三种车型的修正系数分别为0.4、1和2。

为了得到更多的数据，取得较为准确的车流密度，将观测车流密度的时间周期取为15s。

本文中的数据符号说明如下：

表1 符号说明

3 基于GreenBurg速度密度模型的通行能力回归模型

3.1 道路实际通行能力计算模型

事故截面的通行能力指的是单位时间内能通过截面的最大车流量，由交通工程学[2]知，道路流量的计算公式为：

Q=kμ

(1)

由对数关系的速度-密度模型，道路上车辆的空间速度与密度在道路拥堵的情况下有如下关系式：

(2)

由(1)、(2)式得：

(3)

根据道路通行能力的定义，流量Q的最大值Qmax就是道路的通行能力C。所以对(3)式求导数，得：

(4)

(5)

(5) 式就是道路通行能力的计算模型。但是式中的道路阻塞密度kj车辆畅行密度μm不能够通过实际的观察或者测量得出。通过非线性回归对这两个参数进行估计是一个可行的方法。(3) 式中因变量Q和自变量k可以通过观察得出，利用Matlab非线性回归工具箱结合已有的数据可以估计得出kj和μm的值，代入(5)式可以求得道路的理论通行能力。

在实际情况中，道路的通行能力不仅仅由公路本身的质量决定，同时也受到实时路况的影响。如道路、交通、管制、环境、气候和运行条件等都会对马路实际通行能力产生影响[3]。在事故视频中可以观察到，交通组成是影响道路实际通行能力的一个主要因素。马路上行驶的重型车辆和非机动车辆(视频中主要体现为公交车和电瓶车)会对公路上行驶其他汽车的行驶造成干扰，马路上这两种车辆的比例越高则实际通行能力越低，于是引入重型车辆修正系数f1和非机动车修正系数f2(其中p1和p2是公交车和电瓶车在车流中的比重)：

同时，由于视频中的每条车道的宽度为3.25米，依照国家标准对车道的实际通行能力进行折减，折减系数f3为0.9。最后，可得道路的实际通行能力的计算式为：

(6)

3.2 模型检验

利用视频中所提取出的数据对模型进行检验。参数估计和计算结果见下表：

表2 模型参数估计和计算结果

由于已知视频二中事发路段截面下游车流量小于视频一种下游车流量(车流更少)，所以在实际情况下视屏二中道路的实际通行能力是要大于视频一中的道路通行能力的。模型计算的结果符合实际情况。

4 基于交通流理论的拥堵长度和上游车流量关系模型

4.1 车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游流量间的关系

交通事故造成了事故横截面处车辆的拥堵，我们依据车流波动理论对该问题进行分析。车流波动理论运用流体力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续性方程从而探究车流流量与密度、速度之间的关系[4]。

当车辆拥堵、慢速行驶时，我们忽略前车车尾与后车车头之间的距离而认为车流与水流类似，是连续的，从而建立车流的连续性方程。当车流因道路拥堵引起密度的改变时，在车流中会产生车流波的传播。通过分析这种车流波的传播速度，可以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，进而探究上述三者与事故持续时间、堵车引起的排队长度之间的关系。

图1 两种密度的车流运行情况

将交通事故造成的道路拥堵问题等效成图3。其中，S为发生事故的横截面；A段是事故上游，车流速度为uA，密度为kA；B段是事故下游，车流速度为uB，密度为kB。S处的速度为uw，假设沿x正方向的速度为正，反之为负。且：

uA=在A区的车辆的区间平均车速；

uB=在B区的车辆的区间平均车速。

则在时间t内横穿S交界线的车数n为：

n=(uA-uw)kAt=(uB-uw)kBt

(7)

令A、B两部分的车流量分别为qA、qB，则：

qA=uAkA，qB=uBkB

于是，

(8)

当qA>qB，kA

根据路程与速度、时间的关系以及平均速度的求解方法，得到事故持续时间为t时的排队长度为：

将(8)式代入，得

(9)

根据本问题，事故发生后只有一条车道可以通行，且由于道路拥堵，车辆以被阻塞道路的最大能力驶过事故横截面。因此我们将事故下游的车流量等价为此时道路的通行能力，即：

qB=C

(10)

代入(10)式，则排队长度为：

(11)

(11)式建立了L(车辆排队长度)与C(事故横断面实际通行能力)、t(事故持续时间)、qA(路段上游车流量)间的关系。

由前述，kAC，uw为负值，道路堵塞。去掉式(11)的绝对值符号，即：

因此，L与C负相关；L与t、qA正相关。由此，事故横截面实际通行能力越弱，则排队长度越长；事故持续时间越长、上游车流量越大则排队长度越长。

4.2 实例分析

沿用第三部分的案例，通过观察正常路段的车流量，以15s为间隔记录120m内的车流量计算车流密度。从而计算得事故横截面上游的平均密度为kA=49.47pcu/km。根据问题1，计算得事故横截面下游的平均密度为kB=103.83pcu/km，事故所处横截面的通行能力为C=1256.76pcu/h。由于此时上游车流量为qA=1424.74pcu/h，若事故地点距上游路口的距离为L=120m将(11)式变形整理，代入数值，得，

=7min 46s

即事故发生后，车辆排队长度到达120米共用时约7min46s。

再次观察该路段监控视频，发现从事故发生到堵车长度稳定到120m共用时约8min10s；与本文测算时间7min46s相差不大，误差在5%以内。

因此，基于车流波动理论建立的车辆拥堵长度和上游车流量关系模型能够比较精确的估算事故发生后的排队时间。

5 结论与展望

5.1 总结

在之前的部分中，展示了一种利用交通工程学中的车流量公式和拥堵情况下的速度-密度对数公式推导出道路通行能力表达式的方法。并结合实际的交通事故中事发横截面车流量的数据，利用最小二乘法对模型中参数进行了回归拟合，提出了对拥堵时间、拥堵车队长和排队车辆到达上游交通枢纽的时间的估计。

在推导出的公式的基础上，利用修正系数对实时路况中车道上非机动车辆和重型车辆对行驶的干扰做出修正，使计算出的通行能力更加接近于实际通行能力。

最后，利用交通流波动理论，将车流和其运动视为波动的传导过程，则整个车队拥堵的长度是其平均速度乘以运动时间(拥堵时间)。因而可以确立车道通行能力，上游车流量密度，距离上有交通枢纽的距离和拥堵时间之间的关系。

5.2 模型的推广

模型中发现不同的车型对交通拥堵情况的影响不同，如公交车的出现会极大程度上加剧道路拥堵的情况。据此，可以提出不同车型分道行驶的原则，以减少交通拥堵的状况。

通过人工观测，获得车流量数据，计算出了道路的实际交通通行能力，能用于实际通行能力的计算。

通过最终计算，能预测交通事故造成的队长排到路口的时间，这样可以便于交警在此时间内提前到达事故地点舒缓车流，避免造成进一步的拥堵。

在模型的推广方面，可以进一步考虑加入上游路口交通信号灯的影响因素，思考如何设置交通信号灯的周期，减缓交通拥堵的状况。

[1]Highway Capacity Manual(公路通行能力手册) [M] . Washington，D C：Transportation Research Board，2000，Chapter 1.

[2]丹尼尔 L基洛夫，马休 J休伯，蒋璜，任福田. 交通流理论 [M] . 北京：人民交通出版社，1983.

[3]郭宏伟. 城市路内停车影响的建模与特性分析 [D] . 北京交通大学，2011，86-87.

[4]杨少辉，王殿海，董斌，李爽爽. 应用交通波理论分析城市快速交通流特性[J] .可持续发展的中国交通，280-282.

[5]茹红蕾. 城市道路通行能力的影响因素研究[D] .同济大学交通运输工程学院，2008.

[6]中国交通运输部科学研究院 [EB/OL] . http：//www.transst.cn.

[7]任福田，徐吉谦，朱长仁，徐慰慈，刘运通. 交通工程学导论 [M] .北京：中国建筑工业出版社，1987，81-87，119-120.