关于强化缓冲算子的研究

陈红静，于静

(中国传媒大学 理学院，北京 100024)

1 引言

灰色系统的特色是研究“小样本”与“贫信息”等不确定性问题。因此充分开发利用已占有的信息来挖掘系统本身固有的规律是灰色系统理论的基本准则。我们可以通过社会、经济、生态等系统的行为特征数据来寻求因素之间或自身的变化规律。灰色系统理论认为，尽管客观系统的表象复杂，数据离乱，但它们总有自身的整体功能，必然蕴藏某种内在的规律。关键是如何选择适当的方法来挖掘和利用它。在文献[1，4，5，7]中，刘思峰教授提出了冲击扰动缓冲算子的概念，并构造出一种得到较广泛应用的缓冲算子。本文在上述工作的基础上，构造出若干新的强化缓冲算子，并研究了其特性及其内在关系，从而使序列前一部分增长(递减)速度过慢，而后一部分增长(递减)速度过快的冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题得到有效解决。

2 基本概念

定义1 设系统行为数据序列为

X=(x(1)，x(2)，……，x(n))，如

(1)∀k=2，3，……，nx(k)-x(k-1)>0

则称X为单调增长序列。

(2)∀k=2，3，……，nx(k)-x(k-1)<0

则称X为单调衰减序列。

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}

x(k1)-x(k1-1)>0

x(k2)-x(k2-1)<0

则称X为振荡序列。

定义2 设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经算子D作用后所得到序列记为

XD=(x(1)d，x(2)d，……，x(n)d).

则称D为序列算子。

对序列连续作用，可得二阶算子，一直可以作用到r阶算子。分别记为

XD2，…，XDr.

公理1(不动点公理) 设X为系统行为数据序列，D为序列算子，则有

X(n)d=x(n).

公理2(信息充分利用公理) 系统行为数据序列X中的每一个数据x(k)，k=1，2，…，n都应充分地参与算子作用的整个过程。

公理3 设X为系统行为数据序列，D为序列算子，当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列，缓冲序列XD比行为数据序列X的增长速度(或衰减速度)增强或振幅加大，则称缓冲算子D为强化算子。

定理1 (1)设X为单调增长序列，XD为缓冲序列，则

D为强化缓冲算子⟺x(k)≥x(k)d，

(k=1，2，…，n).

(2)设X为单调衰减序列，XD为缓冲序列，则

D为强化缓冲算子⟺x(k)≤x(k)d，

(k=1，2，…，n).

(3)设X为振荡序列，XD为缓冲序列，D为强化缓冲算子，则

由定理1可知，单调增长序列在强化缓冲算子作用下，数据萎缩。单调衰减序列在强化缓冲算子作用下，数据膨胀。

3 强化缓冲算子的构造

刘思峰教授在文献[2]中构造了弱化缓冲算子，设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，令

XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，

其中

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，D1皆为强化缓冲算子。

在此我们称强化缓冲算子D1为平均强化缓冲算子，并在此基础上构造若干其它形式的缓冲算子。

定理2 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex，

XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，

(k=1，2，……，n).

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，D2皆为强化缓冲算子。

证明：容易验证，D2满足缓冲算子三公理，因而D2为缓冲算子。

下证当X为单调增长序列时，D2为强化缓冲算子。

因为x(k)≤x(k+1)≤……≤x(n)，得

lnx(k)≤lnx(k+1)≤…≤lnx(n)，

lnx(k)+lnx(k+1)+…+lnx(n)

≥(n-k+1)lnx(k)，

同理可证，当X为单调衰减序列或振荡序列时，D2皆为强化缓冲算子。

定理3 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex

令XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，

(k=1，2，…，n).

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，D3皆为强化缓冲算子。

证明：(略)

定理4 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统行为数据序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex

令XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4)，

(k=1，2，…，n).

则当X为单调增长序列，单调衰减序列或振荡序列时，D4皆为强化缓冲算子。

证明：类似于定理2。

4 实例分析

生命周期是用来描述某类模式的演化，此模式可以使用于产业部门、产品、技术等。Levitt(1965)最早描述生命周期，也是用的最广的，即随时间迁移，销售量的变化情形。一般来说，产品生命周期可以划分为四个阶段：即投入期、成长期、成熟期和衰退期，呈现为一条对称的S形曲线。投入期的主要特征是生产成本高、投入流动资金多，产品销售量增长缓慢，企业获利极少甚至为负数。产品从投入期转入成长期的标志是销售量迅速增长、利润额迅速上升，竞争者纷纷涌入。第三阶段成熟期是产品在市场上基本饱和，市场竞争日益激烈，销售量基本区域稳定，利润开始减少。最后，由于成本回升、需求减少、竞争者减少和其它因素的影响，导致产品销售量减少，利润额也明显下降，产品普及率迅速降低。产品生命周期理论是制定产品在市场上不同时期营销战略及策略的基础。根据产品生命周期曲线我们可以得知从投入期到成长期呈现出一条S型曲线，本文尝试以Linux系统安装估算数值为依据，采用不同强化缓冲算子进行数据处理并对Linux的S曲线进行预测。

根据表1，我们可以计算出LINUX USER使用人数的年度倍增数分别为1900%，400%，400%，200%，133%，114%，380%，由于1994年该软件刚投入使用不久，开始两年内由于基数小数据非常敏感，年度增长率相当惊人，之后1995—1997的三个年度期间使用人数高速增长，1998—2000年期间使用者仍在快速增加，但是增幅有所减缓，从2001年开始使用者数量急剧递增。根据产品生命周期理论，我们可以初步判定在2000年左右，LINUX系统进入产品成长期，这在LINUX USER使用人数的趋势图中表现尤为明显。进入产品成熟期后，LINUX USER的使用者人数还会快速增加，因而可以用强化缓冲算子对原始数据序列进行作用来有效消除原始序列冲击扰动因素的干扰。由于该数据跨越投入期和成长期而呈现出S曲线，我们采用前四年数据来模拟1998—2001年度的使用者人数作为原始序列，进而探索不同强化缓冲算子的精度以及适用条件。

表1 LINUX USER使用人数

备注：以上资料来源于http：//counter.li.org/estimates.html.

首先我们利用原始序列数据建立灰色GM(1，1)模型进行预测，以新的强化缓冲算子XD2为例对原始序列进行强化，令

表2 不同强化缓冲算子处理后的预测结果比较

由表2我们可以得知对于新的强化缓冲算子而言，1998—2001期间的年度误差分别为80.06%，55.35%，8.90%，18.57%，对于刘氏强化缓冲算子而言，该期间年度误差分别为37.32%，54.85%，316.54%，400.23%。若数据未经处理，则误差分别为0.71%，64.75%，192.48%，133.39%。相对于其它两种方法，新的缓冲算子处理后的预测值在1998年的预测误差较大，但是在S型曲线的转弯后即从投入期演变为成长期后的预测较为准确，与实际使用情况最为吻合。

5 结束语

本文研究了缓冲算子，构造了几类强化缓冲算子，并研究了它们的一些特性与它们之间的内在关系，该算子具有实用方便，易于在计算机上实现。因此利用所构造的强化缓冲算子首先对原始数据序列进行作用，然后再进行建模，它能有效地消除冲击扰动系统数据序列在建模预测过程的干扰。

[1]Liu S F.The Three Axioms of Buffer Operator and Their Application [J].The journal of Grey system，1991，3(1)：39-48.

[2]刘思峰，党耀国，方志耕. 灰色系统理论及其应用(第三版)[M]. 北京：科学出版社，2005.

[3]邓聚龙.灰色理论基础 [M]. 武汉：华中科技大学出版社，2002.

[4]邓聚龙.累加生成灰指数律 [J]. 华中理工大学学报，1987，15(5)：7-12.

[5]刘思峰.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子 [J]. 华中理工大学学报，1997，25(1)：25-27.

[6]刘思峰.缓冲算子及其应用 [J]. 灰色系统理论与实践，1992，2(1)：45-50.

[7]党耀国，刘思峰，刘斌，唐学文. 关于弱化缓冲算子的研究 [J]. 中国管理科学，2004，12(2)：108-111.