巧构模型解三角函数题

蒲文轩

〔关键词〕 数学教学；模型；构建；三角函数题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）15—0120—01

三角函数这部分内容的公式、概念较多，知识的涉及面广，解题的技巧性较强.在解某些三角函数问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手.在这种情况下，经常要求我们改变思维方法，换一个角度思考.本文将从另一个角度出发，通过构造数学模型来解决三角函数问题，培养学生观察、分析、联想以及创造力.

一、 构造直角三角形

直角三角形是一类比较特殊的三角形，直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一.而锐角三角形又揭示了直角三角形中锐角和边之间的关系，在解决现实问题有着重要的作用.因此锐角三角函数与直角三角形关系密切，相互作用.构建直角三角形，可以把三角形问题转化为直角三角形中的边的问题求解，既直观简洁，又有章可循.

例1 设x∈[ ， ]，求证：cscx-ctgx≥ -1

思路分析：由 、1联想等腰直角三角形（如右图所示），不妨构造一个等腰直角三角形来研究.作Rt△ABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一点D，记∠CDB=x，则BD=cscx，CD=ctgx，AD=1-ctgx，利用AD+DB≥AB= ，可得cscx-ctgx≥ -1，等号仅在x= 时成立.

二、 构造函数法

用方程思想与三角函数的认知结构优化整合，可以将三角问题转化为函数来解决.

例2 已知x、y∈[- ， ]，a∈R，且x3+sinx-2a=0 ，4y3+sinycosy+a=0

求cos（x+2y）.

思路分析：x3+sinx与2（4y3+sinycosy）两部分形式完全类似，由此可构造函数形式.设f（t）=t3+sint，t∈[- ， ]，易证f（t）在[- ， ]上单调递增.将题目中条件变为f（x）-2a=0，f（-2y）-2a=0得f（x）= f（-2y），x= -2y，所以cos（x+2y）=0.

三、 构造复数方程

复数是高中数学和高考的重要内容之一，利用复数的代数式、三角式、模及其运算的几何意义，能快速解决三角函数问题.

例3试证：cos -cos +cos =

思路分析：由上式可用匹配的三角函数对偶式来构造复数方程，再利用复数性质解题.设a= cos -cos +cos ， b=sin -sin + sin ， z=cos +isin ，则a+ib = z-z2+z3 = = = = +i .比较等式两边的实部，得a= ，即cos -cos +cos = .

四、 构造圆锥曲线方程

当三角函数问题中的条件或者结论与圆锥曲线的定义有关的时候，我们就可以构造圆锥曲线模型，利用圆锥曲线的性质来进行求解.

例4 已知： + =1，求证： + =1

思路分析：这是一道纯粹的三角命题，若能由题中式子的形式而联想到椭圆方程，就有可能开辟以构造椭圆方程证题的途径.设椭圆C： + =1，由题设得点M（cos2A，sin2A）在椭圆C上.又N（cos2B，sin2B）也满足椭圆C，可知点N也在椭圆上.过点N的椭圆C的切线方程为 +=1，即x+y=1.又点M（cos2A，sin2A）满足x+y=1，所以点M也在此切线上.由过椭圆上一点的切线的唯一性，得点M和点N重合，于是cos2A= cos2B，sin2B=sin2A，所以 + = + =1.

总之，求解三角函数题的方法很多.若直接求解遇到困难时，就要转换思路，根据所给式子的特点，构造适宜的模型，就能使原来狭窄的思维豁然开朗.不仅能使复杂问题简单化，而且还能沟通数学知识间的联系，从而更好地提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的想象能力和创新意识.

编辑：谢颖丽endprint

〔关键词〕 数学教学；模型；构建；三角函数题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）15—0120—01

三角函数这部分内容的公式、概念较多，知识的涉及面广，解题的技巧性较强.在解某些三角函数问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手.在这种情况下，经常要求我们改变思维方法，换一个角度思考.本文将从另一个角度出发，通过构造数学模型来解决三角函数问题，培养学生观察、分析、联想以及创造力.

一、 构造直角三角形

直角三角形是一类比较特殊的三角形，直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一.而锐角三角形又揭示了直角三角形中锐角和边之间的关系，在解决现实问题有着重要的作用.因此锐角三角函数与直角三角形关系密切，相互作用.构建直角三角形，可以把三角形问题转化为直角三角形中的边的问题求解，既直观简洁，又有章可循.

例1 设x∈[ ， ]，求证：cscx-ctgx≥ -1

思路分析：由 、1联想等腰直角三角形（如右图所示），不妨构造一个等腰直角三角形来研究.作Rt△ABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一点D，记∠CDB=x，则BD=cscx，CD=ctgx，AD=1-ctgx，利用AD+DB≥AB= ，可得cscx-ctgx≥ -1，等号仅在x= 时成立.

二、 构造函数法

用方程思想与三角函数的认知结构优化整合，可以将三角问题转化为函数来解决.

例2 已知x、y∈[- ， ]，a∈R，且x3+sinx-2a=0 ，4y3+sinycosy+a=0

求cos（x+2y）.

思路分析：x3+sinx与2（4y3+sinycosy）两部分形式完全类似，由此可构造函数形式.设f（t）=t3+sint，t∈[- ， ]，易证f（t）在[- ， ]上单调递增.将题目中条件变为f（x）-2a=0，f（-2y）-2a=0得f（x）= f（-2y），x= -2y，所以cos（x+2y）=0.

三、 构造复数方程

复数是高中数学和高考的重要内容之一，利用复数的代数式、三角式、模及其运算的几何意义，能快速解决三角函数问题.

例3试证：cos -cos +cos =

思路分析：由上式可用匹配的三角函数对偶式来构造复数方程，再利用复数性质解题.设a= cos -cos +cos ， b=sin -sin + sin ， z=cos +isin ，则a+ib = z-z2+z3 = = = = +i .比较等式两边的实部，得a= ，即cos -cos +cos = .

四、 构造圆锥曲线方程

当三角函数问题中的条件或者结论与圆锥曲线的定义有关的时候，我们就可以构造圆锥曲线模型，利用圆锥曲线的性质来进行求解.

例4 已知： + =1，求证： + =1

思路分析：这是一道纯粹的三角命题，若能由题中式子的形式而联想到椭圆方程，就有可能开辟以构造椭圆方程证题的途径.设椭圆C： + =1，由题设得点M（cos2A，sin2A）在椭圆C上.又N（cos2B，sin2B）也满足椭圆C，可知点N也在椭圆上.过点N的椭圆C的切线方程为 +=1，即x+y=1.又点M（cos2A，sin2A）满足x+y=1，所以点M也在此切线上.由过椭圆上一点的切线的唯一性，得点M和点N重合，于是cos2A= cos2B，sin2B=sin2A，所以 + = + =1.

总之，求解三角函数题的方法很多.若直接求解遇到困难时，就要转换思路，根据所给式子的特点，构造适宜的模型，就能使原来狭窄的思维豁然开朗.不仅能使复杂问题简单化，而且还能沟通数学知识间的联系，从而更好地提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的想象能力和创新意识.

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〔关键词〕 数学教学；模型；构建；三角函数题

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）15—0120—01

三角函数这部分内容的公式、概念较多，知识的涉及面广，解题的技巧性较强.在解某些三角函数问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手.在这种情况下，经常要求我们改变思维方法，换一个角度思考.本文将从另一个角度出发，通过构造数学模型来解决三角函数问题，培养学生观察、分析、联想以及创造力.

一、 构造直角三角形

直角三角形是一类比较特殊的三角形，直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一.而锐角三角形又揭示了直角三角形中锐角和边之间的关系，在解决现实问题有着重要的作用.因此锐角三角函数与直角三角形关系密切，相互作用.构建直角三角形，可以把三角形问题转化为直角三角形中的边的问题求解，既直观简洁，又有章可循.

例1 设x∈[ ， ]，求证：cscx-ctgx≥ -1

思路分析：由 、1联想等腰直角三角形（如右图所示），不妨构造一个等腰直角三角形来研究.作Rt△ABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一点D，记∠CDB=x，则BD=cscx，CD=ctgx，AD=1-ctgx，利用AD+DB≥AB= ，可得cscx-ctgx≥ -1，等号仅在x= 时成立.

二、 构造函数法

用方程思想与三角函数的认知结构优化整合，可以将三角问题转化为函数来解决.

例2 已知x、y∈[- ， ]，a∈R，且x3+sinx-2a=0 ，4y3+sinycosy+a=0

求cos（x+2y）.

思路分析：x3+sinx与2（4y3+sinycosy）两部分形式完全类似，由此可构造函数形式.设f（t）=t3+sint，t∈[- ， ]，易证f（t）在[- ， ]上单调递增.将题目中条件变为f（x）-2a=0，f（-2y）-2a=0得f（x）= f（-2y），x= -2y，所以cos（x+2y）=0.

三、 构造复数方程

复数是高中数学和高考的重要内容之一，利用复数的代数式、三角式、模及其运算的几何意义，能快速解决三角函数问题.

例3试证：cos -cos +cos =

思路分析：由上式可用匹配的三角函数对偶式来构造复数方程，再利用复数性质解题.设a= cos -cos +cos ， b=sin -sin + sin ， z=cos +isin ，则a+ib = z-z2+z3 = = = = +i .比较等式两边的实部，得a= ，即cos -cos +cos = .

四、 构造圆锥曲线方程

当三角函数问题中的条件或者结论与圆锥曲线的定义有关的时候，我们就可以构造圆锥曲线模型，利用圆锥曲线的性质来进行求解.

例4 已知： + =1，求证： + =1

思路分析：这是一道纯粹的三角命题，若能由题中式子的形式而联想到椭圆方程，就有可能开辟以构造椭圆方程证题的途径.设椭圆C： + =1，由题设得点M（cos2A，sin2A）在椭圆C上.又N（cos2B，sin2B）也满足椭圆C，可知点N也在椭圆上.过点N的椭圆C的切线方程为 +=1，即x+y=1.又点M（cos2A，sin2A）满足x+y=1，所以点M也在此切线上.由过椭圆上一点的切线的唯一性，得点M和点N重合，于是cos2A= cos2B，sin2B=sin2A，所以 + = + =1.

总之，求解三角函数题的方法很多.若直接求解遇到困难时，就要转换思路，根据所给式子的特点，构造适宜的模型，就能使原来狭窄的思维豁然开朗.不仅能使复杂问题简单化，而且还能沟通数学知识间的联系，从而更好地提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的想象能力和创新意识.

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