我们必将知道

肖也垚

我们必须知道，我们必将知道。

——大卫·希尔伯特

平成二十四年七月，十九岁的挂谷邦彦离开东京，回到京都的家里度暑假。虽然名义上说是度假，但其实主要是在帮家里做工。挂谷家经营着一家小小的家庭旅舍，虽然规模并不算大，但经过三代长辈的苦心经营，在京都府中也算小小有些名气。本来七月盛夏既不是赏山樱之时，也并非看红叶之季，但前来投宿的旅客仍然颇多，大都是为了京都著名的祗园祭而来。因此挂谷家的旅舍每日都忙碌异常，尽管家中雇了二十几个雇工，却仍然有忙不过来的感觉。

对于将在日后放弃工作继承旅舍这件事，邦彦并没有太多抵触的情绪。他乐得有一份平稳的家业可以继承，何况这未来的工作环境还相当不错。此时正值盛夏，北侧嵯峨野的古寺空寂幽静，南面岚山的嘉木深秀繁阴，将燠热城市中的焚风也变得清凉了。等到每天傍晚供应完住客的晚饭，在不那么忙碌的时候，邦彦总会站在修葺精整的庭院中，任由晚风吹拂有些疲累的身体，带走皮肤上的薄汗，再附赠给他一些来自山林的木质清香。庭中用白沙细细铺成的枯山水簌簌而动，仿佛真的被风吹活了一般。一直等到暮色四合，暑热渐退，不远处的桂川流水潺潺地透出凉意，邦彦才会回到旅舍中，与家人及雇工们一起吃饭，之后再回到自己的房间看书。

邦彦轻轻打开饭厅的木门，晚餐已经开始了，家人除了他之外都在。桌上是冒着热气的米饭、青豆、鱼干、酱汤、酱黄瓜和汤豆腐，都是清淡而美味的菜肴。桌角随意地摆着一个冰桶，醇郁中微带酸味的冷冽梅酒香气飘散在空气中，是父亲喜爱的加贺鹤。邦彦不由得向父亲看了一眼，年长的男人对此毫无反应，依旧静静地低头吃着饭。父亲对他一向不苟言笑，却也并不严厉，似乎只要他愿意继承挂谷家的旅舍，其余的事情便随他去了。去年他以优异的成绩考进东京庆应义塾大学的理工学研究科，父亲也并没有对此予以过多地置评。大概在父亲看来，他学的数学就是写写算算的课程，等他日后继承旅舍，总少不了各种各样的写写算算，因此多学一点也没什么不好，仅此而已。

七月中旬的一天早晨，邦彦自不安的睡梦中醒来，因为昨夜的失眠，脑袋深处仍旧隐隐作痛。他推开窗户，太阳已经升起来了，初升的刺目光线爬下矮墙，在庭院中映出檐瓦眉黛般的影子。这影子独自横卧在庭院正中，留下一条醒目的明暗分野。

“早安，挂谷君。”

温煦的男性声音伴随着轻柔的布料摩擦声在耳边响起，邦彦回过头，认出向他缓步走来的是住在三楼的角谷英彦。这位身形瘦弱、头发略显花白的中年男人是一位颇为特别的客人：他长租下了三楼的一间客房，每年会有五个月的时间居住在这里，除了早晨和晚上偶尔会在庭院中散步之外，平时几乎足不出户，连三餐都让人专门送进房间，仿佛一位与世隔绝的隐士。

“早安，角谷先生。”邦彦微笑着轻轻躬身，带着未来旅舍主人的礼貌和圆润，“请问需要什么帮助吗？”

“是的。”角谷轻轻点了点头，“今天的早饭没有按时送来，能代我去问问爱子小姐吗？谢谢了。”

“啊，真是抱歉，昨天晚上爱子小姐有急事请假了，没能及时通知您真是对不起。请您稍等片刻，我马上给您安排早饭。”邦彦说着，深深地鞠了一躬。

角谷的房间在三楼走廊的最深处。走廊长且安静，空气中飘散着新换的榻榻米的香气。灯光半明半暗地照着，空气中好像有些东西在浮动，仿佛是流云，又似乎是清晨嵯峨野山道上未散尽的雾气。邦彦端着托盘，轻轻地敲了敲门。门很快开了，耀眼的阳光从客房中汹涌而出，将开门的瘦弱男人包围在一片金色的世界里。

“谢谢。”角谷微笑着点头，侧身让出门来。

角谷的房间是一间和式客房，陈设很少，显得有些空荡。邦彦小心地在房间正中跪坐下来，将手中的托盘放在榉木的暖桌上。“今天的早餐仍然是味噌汤和千层酱菜配米饭，请您慢用。”年轻人轻轻翻开覆在木碗上的盖子，一阵淡淡的水汽带着食物的清香升腾起来，在房间中轻柔地飘荡。

“挂谷君真是长大了啊。”角谷却没有举起筷子，只是温和地笑着说。

“啊，哪里……还是要请您多多指教。”邦彦有些不好意思地低下头，毕竟角谷是旅舍的常客——这位大学教授每年假期都住在挂谷家的旅舍中，是他最为熟悉的客人之一。

“听说挂谷君去年考入了庆应，真是值得祝贺。不过专业方向又是什么呢？”角谷笑着问。

少年白皙的脸庞微微泛起潮红，似乎回答这个问题让他感到有些羞赧。“是数学。”他说，然后又把头埋得更低了些。早晨的风还有些凉，它越过敞开的窗户吹进屋里，让少年更清楚地感到自己的脸颊有些发烫。

“哦？”角谷的声音带着些许的惊异，“为什么会是数学？”

“因为……数学是最完美的。逻辑上的完美、正确性上的完美，以及——”邦彦顿了顿，又说道，“纯粹的完美。我希望我学的东西，是永远不会错的。”

少年在晨曦中抬起头来，注视着角谷的脸。一种神采在他清澈明净的眼瞳里跳动，起初如同水光般变幻，随后渐渐地凝聚起来，最终在瞳孔的最深处收缩成一点坚定明亮的光芒，再不移动。

许多年来他都是这样坚定地认为着。那些最伟大的公理、定理与推论，都是精致完美、绝无瑕疵的石料，彼此重叠，相互榫合，最终成为一座最为纯粹，也最为完美的通天巨塔。

“纯粹性上的完美是什么意思呢？”角谷问道。

“纯粹是一种形式上的完美。”邦彦想了想，回答说，“数学上的命题要么是真的，要么就一定是假的，不会有模棱两可的，或者是既对又不对的断言存在。”

“判断命题的对与错，其实是一个比较的过程。”角谷说，“当面对新的命题的时候，我们往往将它与之前我们所掌握的知识系统进行比较。如果新的命题相容于我们之前的知识，那么我们就称之为真，反之则是假。因此，数学命题的真假，仅仅是对于数学体系内而言才有价值。但只要在命题上设置一些语言陷阱，就能很轻易地构建出既不是真，又不是假的奇特命题。”

“要怎么构造？”邦彦有些惊奇地问。

“我说的这个命题是假的。”角谷狡黠地笑了笑，“挂谷君，告诉我，我刚才说的这个命题是真的还是假的？”

说谎者悖论。邦彦紧紧地皱起了眉头。如果假定这个命题是真，那么根据命题本身的叙述，则这个命题是假的；但如果假设这个命题是假的，却又会推论出命题是真的这个结论。自相矛盾的命题，如同一个循环不断、无限扣死的死结，让他竟然找不到可以下手去解的地方。

“可这不是数学命题，是逻辑陷阱！”邦彦脑子里突然一个激灵，脱口而出。

“其实都一样。”角谷微微一笑，“数学上的所有公理和定理，都是不可用于证明自身是否正确的。我们的数学体系，其实都建筑在这些不可自证的公理系统之上，如同悬浮在广阔海洋上的冰山，看上去巍峨庄严，但其实并不稳固。因此，想要从这样的体系中找到这样模棱两可的命题，是完全可能的。

“这就是著名的哥德尔不完备定理：任何蕴含皮亚诺算术公理的系统中，总存在着既无法证明为真，也不能证伪的命题。证明的方法简单却巧妙——只要构造出‘命题的不可自证性是否是不可自证的’这样的问题，那么，便如同说谎者悖论一样，无论假设这个问题是否可证，得到的答案都是相反的。

“这就是如今我们所知的数学。”角谷似乎轻轻地叹息了一声，一片云翳遮住了太阳，房间里暗了下来。半明半暗的光线中，男人的神情透着些萧索，“它不仅不是完备的，也不是相容的，甚至是不可判定的。就像在黑暗的荒野中前行，除了手脚可感的有限的坚实，其余都是我们所不可预知的……”

“那这样的话，数学还有什么意义呢……”邦彦喃喃道。

“也并非全然没有，”角谷笑笑，“无论数学本身如何发展，也终究是属于人类的学科——正如我们的眼睛只能看到波长三百八十到七百四十纳米之间的光，耳朵只能听到二十至两万赫兹的声音一样，以人的视角来理解世界的学科，不可能没有局限。

“何况哥德尔的不完备定理已经发表了八十多年。而在之后的时间里，仍然不断有全新的分支学科或者数学工具被发掘出来——比如代数几何和里奇流。虽然所有人都知道这些新的学科是不完美的，因为它们的系统都不完备。但这并不能否定它们的意义——就算只是建立在不可自证的公理的无根浮冰上的瞭望塔，每增高一分，便总能看得更加遥远一点。”

这顿早餐吃得有些漫长。等到邦彦收拾好碗筷和一些角谷丢弃的、写满了字的草稿纸，端着托盘走下楼梯的时候，太阳已经升得很高了。京都的盛夏异常燠热，阳光照得平坦的庭院里亮晃晃的。只有屋后的树林里仍旧一片阴冷，乌黑的树阴如同没有人下水的池塘。离准备午饭的时间还有些早，邦彦将托盘交给厨房里负责洗碗的年轻女工，转身回到自己房间并掩上了门。

邦彦展开手里的几页草稿纸。角谷的笔迹纤秀细密，满满当当地占据了几乎全部的篇幅，无数的数学符号充斥其中，看起来像是连篇累牍的证明。他想细细看下去，但很快就皱起了眉头——角谷的手稿似乎又与普通的数学证明过程不一样。虽然看不明白，但邦彦隐隐地感到它完全不像教科书中的证明那样流畅简洁，充满自然的美感。角谷的手稿晦涩而抽象，字里行间仿佛隐隐凝聚着乌云，有形有质，挥之不散。

他看了一会儿，将其中的一页纸翻过来，不禁惊讶地睁大了眼睛——纸的背后，用极粗的钢笔涂写着什么。虽然重重叠叠有些看不清楚，但还是能看得出那是两行极短的文字。墨迹几乎深透纸背，显然写得极其用力，仿佛是不屈而深沉的呐喊。邦彦仔细看了许久才辨认出来，白色的纸面上，力透纸背地写着两行字，写着无数行同样的两行字——

Wirmüssen wissen.

Wir warden wissen.

两行简短的文字如同阳光般穿透脑海。他认识它们，在那些他凭着兴趣阅读数学史的夜晚见过它们——那是1930年，六十八岁的大卫·希尔伯特卸任之时，在故乡柯尼斯堡的集会上所做的最后一次演讲：

“……我们不可以相信现今那种人，他们带着一副深思熟虑的表情，以自命不凡的语调预言文化衰落，自我陶醉于不可知当中。对我们而言没有什么不可知，并且按我的观点，对于自然的科学也根本没有。相反，代替那愚蠢的不可知，我们的口号是——”

初老的数学泰斗停住了，缓缓将目光投向远方。远处，初升的太阳正在升起，建筑物的阴影缓慢地、蠕行着向后退去，这古老庄严的城市正在慢慢苏醒。而在更远的地方，宽阔的普列戈利亚河浩荡萦带、波澜不惊地流向天际。七座伟大而古老的石桥①历尽风雨，依旧雄踞在浩浩河水之上。就算再过千百年，这土地、河流与城市依旧还能记得那些如它们一般沉静温厚、严谨端方的名字：克里斯蒂安·哥德巴赫、莱昂哈德·欧拉、赫尔曼·闵可夫斯基……和暖的轻风缓缓吹过城市，天空中响起了鸽哨。一群灰鸽子盘旋着飞上去了，麇集在天空那明亮而又柔软的羽毛下。

一生的成就如走马灯般从眼前掠过，老人的脑袋忽地变轻了。一股燥热火辣辣地直抵胸口而来，骨头架子里仿佛打开了弹簧，撑出了另一副骨头架子。他深深地吸了一口清晨含着凉意的空气，带着少年般的自信与激昂，一字一句地说道——

“我们必须知道。

“我们必将知道。”

与角谷的这次交谈有如一道魔咒。也就是从这一天起，邦彦就不能心无挂碍地学习数学了——即便回到东京之后也是如此。无论之后遇见如何伟大的定理抑或流畅美丽的证明，总会有令人不悦的声音在心底响起，残酷而痛苦地提醒着他，告诉他这些定理和体系都是不完备的，不完备的，不完备的……他重重地叹了口气，懊丧地掷下手中的书，转头看向窗外。

一片黄叶掠过窗前，东京的秋天已经来了。略带寒意的秋风吹过，几株尚未落尽黄叶的老树一齐发出簌簌轻响。夕阳的光芒自屋舍的檐瓦间斜斜劈射下来，齐齐斩印出残叶半脱的斑驳树影。红郁阴亮的残阳渐渐沉落，驳杂的疏影缓缓越过校园里福泽谕吉的半身铜像，在地上拓印出光怪陆离的痕迹来。

如果数学的不完备果真如同角谷所说的一样，是人类不完美的感知所带来的必然结果，那么“真正”的，作为真理而存在的数学，是不是应该仍然是完备的？那么这样完备的数学体系，又要如何才能感知得到？

更进一步说，这些不完备的体系在人类眼中都已经显得严谨、自然而且美丽，那么真正完备的、无懈可击的数学又将会是何等令人惊叹？至于角谷的手稿——邦彦皱着眉头又读了一遍，依然无法理解——纸上密密麻麻地写着无数像是数学证明般的逻辑推演，却又和普通的证明并不相同。如果这些复杂的手稿真的是什么“我们必将知道”的东西，那么它们到底又是什么呢？

“你是从哪里找到这些东西的？”

岩泽丰教授从办公桌后站起身来，轻轻掩上了办公室的门。角谷的手稿被胡乱摊在桌子上，随手搁置在一侧的陶碗里的茶已经有些凉了，但仍有些淡薄的白雾从碗口轻轻飘升上来，丝丝缕缕，连绵不断。

“夹在图书馆的一本书里的，我看不太懂，就拿给岩泽老师您看看。”邦彦不愿多做解释，便顺嘴撒了个谎，“虽然感觉有些无法理解，但这些东西看起来却像是数学证明的样子。”

“的确是数学证明。”教授接过了话头，“之所以让人感觉无法理解，是因为这套证明的逻辑是拒绝算术公理的。”

有些熟悉的词汇像火星般在邦彦心头一跳，他猛地抬起头来，正对上教授若有所思的眼神。

“数学是抽象的，但人类对数学的认识过程却是直观的：比如从‘两个苹果和两个梨一样多’这样的事实得到‘二等于二’的结论。而这种无需证明就能被人们轻易理解的结论，便被称为公理。

“虽然公理的正确性应该是毋庸置疑的，但拒绝某些公理却也不一定会得到全然错误的结论。比如历史上对平行公理的拒绝——这直接导致了球面和鞍面上非欧几何的诞生。与此类似的还有现代集合论中的选择公理——与其相矛盾的结论直到今天还在被研究着。稍加留意的话就会发现，数学中的一些分支学科其实最初就是来源于对体系中某一条公理的拒绝，如同从巨石堆中劈砍出新的道路。不同的数学领域被这些道路相互连接，最终成为相互勾连，而又浑然一体的巨大理性城堡。

“但这份手稿有些与众不同，因为它拒绝的是整个算术公理系统，而后者是人类几千年来对‘数’的最直观认识。从算术公理中得到的两个最基本的结论——自然数的定义和数学归纳法，则是一切代数系统的核心。如果越出算术公理，那么恐怕连‘数’这个概念本身，都是难以被理解的。

“因此，”岩泽推了推眼镜，轻轻地叹了口气，“也许愚钝的人是我，我并不明白它的意义何在，尽管它看上去并没有错误。但看上去没有错误的结论，在数学中可能并不是一个有意义的结果。你可以认为数学是科学或者哲学，但无论如何，它都不是纯粹的逻辑游戏，不是虽然正确却全然没有价值的东西。”

邦彦沉默了片刻，没有说话，不大的办公室里一时陷入了寂静之中。突然传来哗啦啦的一阵轻响，是窗外老树的瘦枝摇晃的声音，一只飞雀从树枝上跃起，扑棱棱去得远了。

“挂谷君，”最后依然是岩泽打破了沉默。年过半百的教授抬起眼睛，静静地看着微微有些发呆的学生，“明年春假你有什么安排吗，要不要留在学校当我的研究助手？”

“不了，”年轻的学生微微一笑，眼神清亮，“谢谢老师您的好意，但明年春天，我还是想回京都。”

第二年春天，邦彦回到京都的时候，满城的樱花几乎已经全部盛开了。春天的樱花本来随处可见，但京都毕竟千年繁华，建筑大多低矮古朴，却是鳞次栉比，越发衬得樱树旁枝斜逸，亭亭如盖，偏要与众不同。路旁最多的是白色的染井吉野樱，小花在枝丫上开得绚烂，层层叠叠，素白无垢，如新雪初降。中间偶或露出一丛红色的八重垂枝樱来，在白色的花丛中开得耀眼，又仿佛素绢上泼了丹砂，美得触目惊心。

这原本也是邦彦打小看惯了的风景，但他如今在东京求学，久别故乡，因此看到樱花繁盛，竟然有些感动。一路走走停停，直到黄昏时他才回到自家的旅舍。此时夕阳还没来得及落下地平线，因此走廊里也并未点灯。阳光被树丛与窗棂割碎，映在雪白的墙壁上，星星点点，色若淡金，木质的楼板随着足步发出吱吱细响。他走着走着，却突然停住了——他看见角谷背着他站在走廊中，仿佛在和谁说着什么。

“啊，挂谷君。”角谷听到身后的脚步声转过身来——近一年不见，角谷明显有些老了，短短的头发变得更白。这个男人此时似乎有些不悦的神色，于是额上的皱纹更加明显，它们在角谷的额角投下浓重的阴影，深得仿佛刀砍斧削。

“从东京回来了啊，一路奔波，辛苦了。”角谷说。

邦彦客气地点头还礼，目光却不自觉地越过角谷的肩膀看向他身后。角谷的身后站着一个女孩，看上去不过十八九岁光景，面貌却并不认识。角谷在这里住了许多年，几乎一直闭门不出，独来独往，鲜少与人说过话。这是角谷老师的家人吗？他想。

角谷似乎看出他的神色，便轻轻地将女孩拉到自己身前。“这是我的女儿凛子。今年刚刚高中毕业，来京都看我。”头发花白的父亲微笑着说。

“初次见面。角谷小姐，您好。”邦彦笑着说。

“叫我凛子就好了。初次见面，您好。”凛子轻轻走上一小步，微微躬身——此时邦彦才得以看清面前的少女。凛子身材高挑，眉眼纤细，异常地清丽细白，乌浓的长发细细盘起，在脑后绾成一个精致的髻。眼瞳黑亮澄澈，却仿佛有什么东西积聚在瞳孔深处，忧郁、隐忍，欲言又止，如水波般微微荡漾。邦彦看不懂，也不知道应该说什么，一时竟呆住了。

角谷仿佛看出了他的窘迫，便轻轻地笑了笑，“挂谷君刚刚从东京回来，一定很辛苦吧？”

“那倒没有。”邦彦回答说，“其实新干线挺快的，一路上也没受什么颠簸。”

“如果挂谷君不累的话，我还有一个不情之请。”角谷突然说，“凛子其实是第一次来京都，如果愿意，您可以带她去看看京都的夜樱吗？”

“好的。”邦彦轻轻地欠了下身子，似乎感到一股淡淡的喜悦从心底升起，“我带她去祗园白川看夜樱就好，离这里也近。”

“爸爸……”少女轻轻撅着嘴，似乎对父亲的决定有些抵触，“我专程来京都看您，您真的不愿意陪我去吗？”她皱着纤巧的眉，轻声地说。

“凛子，爸爸晚上有事，听话。”角谷温和地说，但语气却坚决，显然是不容任何商量或者回转的余地，“让挂谷君带你去，不会有问题的。”他想了想，又补充道，“只是别回来得太晚就好。”

于是，邦彦和凛子这两个萍水相逢的青年与少女，便在这样一个沉静而微妙的夜里，一同踏上了前往祗园的路途。京都的春夜月色如水，万籁俱寂，月光将并不宽敞的路照得如河流般悠长。穿行在故乡熟稔的景色里，身旁又有一位秀丽的少女做伴，虽然两人一路上都未说什么话，但邦彦依旧感觉神清气爽，连走路时脚下都似乎带着风了。

而身边的少女却有些不安。在她幼时的记忆里，父亲就是孤独的、冷淡的。母亲常常不让自己打扰父亲，说是他忙。久而久之，她的心里也就习惯了父亲的冷淡，以至于动身来京都之前，她就几乎料到了他的反应，甚至于父亲依旧习惯性地回避着她，让这个素不相识的青年陪她去祗园白川看夜樱时，她其实都没有特别的沮丧。但京都的夜晚真是不可思议，白玉般的月色和光同尘地润湿在夜空中，竟让她突然感到十分难过。于是她赌气地停住了脚步，让木屐的后齿在路面上用力敲出清脆的声音来。

“凛子？”邦彦听到身后的声音，有些惊异地回过了头。

“挂谷君……”少女停顿了片刻，似是欲言又止。过了片刻才仿佛下定了决心般，低声说道，“您了解我父亲吗？”

“角谷先生？”邦彦有些迟疑。角谷在挂谷家的旅舍中的确住了一些年头了，但却几乎连客房的门都很少出，和旅店中的雇工甚至没怎么讲过话。自己虽然与他有过交谈，但绝大多数情况却也仅仅只是只言片语而已。

“我不了解爸爸，从小到大他都不太和我说话……他总是一个人把自己关在书房里，连饭菜都是妈妈送进去。长大一些以后我觉得爸爸不好，因为他不理我，也不理妈妈……有时候看着他紧闭的书房门，我就想冲进去问问他为什么对我们不理不睬，但是妈妈不让，说爸爸在做大学问，是很大很大的学问，让我不要去打扰他……”

邦彦感到很吃惊，他想不到角谷先生平日竟是连家人也不说话的。但是他不知道该说什么，只好说：“角谷先生在这里，其实也是从不出门的……”

“我猜得到，”凛子苦恼地说，“他就是不会自己出门。最开始的时候，家里还有一些叔叔来拜访，是爸爸在大学里的同事。但是后来他就闭门谢客了，谁都不见，除了上下班也几乎不出门。再后来就干脆每个假期都搬出去，连家也不回了……我知道他在做大学问，但是我经常害怕，害怕他就这么陷进去了。挂谷君您似乎和爸爸很熟的样子，您知道爸爸在做什么吗？他都这样做了十几年了也没做完，我怕他再也做不完了……”

“数学就是要做这么久的。”邦彦有些紧张，他不知道应该如何安慰这新认识的美丽少女，只好语无伦次地说着，“以前英国的那个怀尔斯①，做费马大定理，一个人在家里的阁楼上做了七年。中国也有个教授叫张益唐②的，一个人研究问题，研究了将近二十年才……”

“我知道，我知道。可是大家都说爸爸不好，说他已经学得昏了头，只知道数学了。但我知道不是的，我知道爸爸其实是很爱我的，总是偷偷塞零花钱给我……我读高中的时候在学校寄宿，有一天爸爸下班的时候碰到乞讨的小孩子，当场就给了人家好多钱。妈妈后来问他为什么，他说，他那时候想起了我，怕我在学校里也会没有钱用……”凛子抬起头来，邦彦惊讶地发现少女的眼圈泛着淡淡的红，深邃清亮的眼瞳里开始有泪水浮现。“但我还是心里难受，就觉得我像没有爸爸一样。爸爸花了那么多时间在他的数学上，一个月里跟我和妈妈却连十句话都说不上呢！”

此时的邦彦，也变得有些手足无措了。他面前的少女是不安的、颤抖着的，友禅染的蓝色浴衣披在她纤弱的身体上，在清凉如水的夜色里，仿佛整个人都是半透明的了。周围阒无人声，他们便在这寂静的小路上站住了。小路旁是京都著名的东本愿寺，宽广的佛堂此刻也无言地沉默着，如一座低矮的山丘。此时月近中天，星垂野阔，风吹草动，梵音无声，一派大宁定。在这宁定中，邦彦却也不由得想起角谷先生天书般意义不明的手稿来了。连家人都不顾，一个人枯坐默想了许多年的角谷先生，想做的究竟是什么呢？

然而等到他们并肩穿过四条通，走到夜色中的白川时，少女敏感而不安的心，便急速地被这春夜里俗世的美丽所化解了。白川流水映着夜色，又滑又浓，几如墨染。樱花层层叠叠蘸了灯光，如同一片惊起的彩色蝴蝶。此刻此地天清云淡，星子错落，月影照花，花影拂水，水影映天，不长的一段河道两岸人流如织，便是一个热闹的大乐园了。

而邦彦却默默地盯着河水陷入了沉默，连凛子笑着跳着拉他的衣袖他都没能够立刻反应过来。夜色中的白川流水潺潺，俯首却看不清水深。这种似曾相识的感觉令邦彦打了个寒战，于是他便再次想起同样如流水般深不可测的角谷先生来了。

等他们回到旅舍的时候，夜已经很深了。凛子毕竟还是少女，在白川看樱花只顾看得高兴，一回房间就疲惫不堪地睡去了。走廊里的灯暗着，四下里仿佛虚空般的黑，只有一缕极狭窄的灯光从一间房子的门缝里透出来。邦彦知道，那是角谷的房间。他站在那房间门口想了想，伸手轻轻敲开了门。

尽管他去过几次角谷的房间，对角谷的生活状态算得上早有心理准备，但门打开的瞬间，邦彦还是小小地吃了一惊。角谷的房间看来已经很久没清理过了，虽然并不脏，但是乱得一塌糊涂，写满了字的白纸和翻得起皱的书扔得到处都是。和式的客房四壁萧然，一盏台灯在矮几上发出温暖柔和的光芒，仿如佛像座前长明不熄的灯火。

“有什么事吗？”角谷问他。

角谷的语调仍旧是淡漠的，带着些许不耐的，就像早些时候和凛子说话的语调一样。这令邦彦有些畏惧，但就在他几乎要将所有的好奇——对角谷先生离群索居、整日枯坐的好奇，对他天书般手稿的好奇以及对那些语焉不详的我们必将知道的事情的好奇统统压下去的时候，凛子迷茫忧伤的脸却突然在脑海里浮了起来，一跳，又一跳。

少女泫然欲泣的面容成为了压死骆驼的最后一根稻草。邦彦深深地吸了口气，向角谷鞠了个九十度的大躬。“深夜打扰了您，真是对不起，”他轻而坚定地说，“能让我进来和您聊聊天吗？”

“想和我聊什么呢？”角谷轻轻掸了掸衣服坐下来，将一杯刚泡好的茶水送到邦彦手上。

“今天凛子和我说，说她并不是很了解您……”

角谷挑起眼帘看了他一眼，眼神像风前烛火一般，闪闪烁烁，摇晃不定。于是邦彦就感到紧张，大概是因为这句话过于直接而显得有些无礼了。喉咙里仿佛有什么东西堵着，但他不能停，只有继续努力地说下去。

“她说她不了解您，因为您总是把自己一个人关在房间里，十几年也不怎么和他们说话。她不知道您究竟在研究什么，她怕您把自己陷进去再也出不来了……其实我也不知道您在研究什么，我曾经拿您丢掉的手稿去问我的老师，但他也看不明白。所以……角谷老师能不能告诉我，您究竟在做些什么呢……”

一片寂静。片刻之后邦彦抬起头来，惊讶地看见角谷竟然仿佛变了个人一样。方才的冷淡已经完全消失不见了。他静静地靠在板壁上，眼睛里透出复杂的神色，似乎是欣悦，又像是孤独。

“我没办法告诉凛子……”角谷低声道，“她听不懂。我也没办法和我的同事们说，毕竟我研究了快二十年的东西，在他们看来，也许过于异想天开了点儿……

“但是你没关系，我想你能够明白我说的东西。而且你还年轻，对数学还怀有少年人独有的新奇感，不像那些老家伙，只会在体系内做些缝缝补补的工作……你听说过希尔伯特计划吗？”

邦彦想想，摇了摇头，角谷便坐直了。他再一次提起桌上的铁壶，一条银色的水线团团裹着白色的水雾，冲进了他面前的杯子中。水雾袅袅地升了起来，茶香四溢。角谷的面容变得有些模糊，但眼睛却愈加清亮锐利，仿佛捕食的鹰隼。

“近百年以前，希尔伯特曾经提出过一个数学计划，意在为数学提供一个安全而稳固的基础。如果希尔伯特的这个计划能够被证明，那么数学就是完美的——它完备、相容，并且可以判定。而完备即是确定——任何一个数学命题都非真即假，没有任何的不明确或者模棱两可，任何悬而未决的数学问题在未来的命运都不外乎两种：被证明或被证否。因此这种设想无疑是前景光明的，希尔伯特自己称之为——‘我们必须知道，我们必将知道’。

“可惜的是，这个雄伟的梦想只持续了不到十年。1931年，哥德尔证明了不完备定理，彻底打破了希尔伯特的蓝图——不仅仅是打破一个计划那样简单，这条定理甚至在一定程度上动摇了人们对数学本身的认知。这种所谓的动摇，在更大程度上是一种毁灭性的打击——当人类用自己的智慧解决了三大几何难题，证明了费马大定理，在筚路蓝缕中一步步靠近孪生素数猜想或者哥德巴赫猜想的时候，却发现这世界上还有他们注定永远也解决不了的数学问题……”

“虽然如此，但要说成是‘毁灭性的打击’，角谷老师还是言重了吧。”邦彦突然道，“您不是也曾经告诉我，不完备定理发表后的八十年来，仍旧不断有新的数学工具和分支学科被发现吗？”

“新的数学工具只不过是体系内的改进，”角谷轻轻地摇了摇头，“至于新的分支学科，也仅仅是用更触类旁通的思想去统和或拓展旧有的发现而已——基本群是用代数方法所归纳的同伦不变量，以此为基础出现了名为‘代数拓扑’的新分支；而代数簇则拓展了多项式的公共零点集，由此生出了被称作‘代数几何’的新学科。

“尽管数学家的努力不曾停止，但作为一切成就的基础的公理化集合论却依旧是不完备的。某些在集合论体系内既无法证明，也不能证否的问题——比如连续统假设——随着对它们研究的逐步深入，也许会引发更多的逻辑上的矛盾，从而导致整个集合论体系架构的坍塌，于是一切必将重新开始，而新的公理体系也许依旧是不完备的。一旦这个恶性循环的死结成立，那么人类的数学发展，便只能走向希尔伯特的反面——‘我们不曾知道，我们不会知道’。 ①

“即使我们足够幸运地并未遇到这样的情况，我们在未来所遇到的注定不能解决的，也绝对不会仅仅只是几个有限的命题而已。数学研究几千年来，那些简单直观、容易被人类所理解与掌握的，不过是大千世界中的瀚海微沙——无理数比有理数多得多，超越数比代数数又要多得多。那么，在远远多于我们所知的、注定无法为人类所解答的万千未知面前，数学的意义，又将在何处呢？”

邦彦张了张嘴，却不知道究竟该如何回答。而角谷看起来却也似乎并不期望从他那里得到什么答案，他只是静静地转头看向了窗外。半旧的木窗敞开着，春夜的月光如流水一般泛着波纹，淋淋漓漓倾倒在临街的大树上，又顺着叶尖渐次滴落下来，一滴一滴地溶进了如河流般黑暗悠长的街道。

过了许久，角谷才轻轻地叹了口气，“也许，是我们从一开始就犯了错误……”

“从一开始……就犯了错误？”

“虽然不完备定理本身毫无疑问是正确的，但却并非每一个公理系统都不完备。”角谷说，“我们所理解的数学概念和体系，却更多的是在完备的前提下建立起来的：勒贝格测度是完备的，巴拿赫空间是完备的，一阶逻辑与欧氏几何是完备的，甚至于实数和复数域上的公理体系，也同样是完备的。

“也正如哥德尔本人所证明的那样，不完备的数学公理体系，仅仅存在于算术公理，以及包含算术公理在的所有公理体系——比如公理化集合论或者群论之中。而算术公理则是人类对数学最直观最基本的认识，是从结绳记事的时代起就自然产生的，对自然数的最直观的理解——绳子上的一个结是一，两个则是二，以此类推。通过将直观可感的数量转换到抽象的自然数概念中去，再以此作为基础建立起庞大的理论体系，这便是数学的真实面貌所在。

“所以说来也实在有些可笑，”角谷自嘲地笑了笑，“最为严谨抽象的、被许多人视为客观存在的真理本身的数学，也是在直观的感受上建立起来的。

“然而在我们直观可感的概念上建立的理论，永远难以脱离我们人类自身的缺陷，尽管我们在不断地努力以让它们接近理性上的完美——古希腊的几何学家拒绝相信人手所完成的度量，坚持用没有刻度的直尺进行尺规作图；法国布尔巴基学派的数学家至今不接受选择公理，因为它并不能用集合论来证明或者证否。但对于现今最大的缺陷——完全基于直观感受所产生的‘自然数’概念，尽管它导致了包括集合论在内的大量公理系统的不完备，却始终没有任何被修正的可能性。因为它是‘数’的基础，如果修补有一丝不当的话，那么，一旦产生逻辑上的矛盾，整个数学体系都会产生新的危机，甚至于完全崩塌都并非不可能。

“但如果坐视不管，任由这些无法确定正确性的命题在体系内存在的话，随着数学本身的发展，还会有更多无法确知的命题被发现。而它们的数量，可能将会比我们所能知道的一切加起来还多得多，如同宇宙中浩瀚如烟海，却既不可视、亦不可感的暗物质一般，最终将整个数学都拖入不可知的深渊之中。

“但不完备定理本身却是铁律，要推翻它绝不可能，唯一的方法只能是绕过去——抛弃原有的、建筑在直观感受之上的算术公理系统，从完全理性的角度出发去重新定义自然数本身。自然数的本质概念将被建立在纯粹的抽象逻辑之上，而非用‘一和它的后继数都是自然数’这样直观的概念来阐述。一旦解决了这个问题，数学就能够从人类本身缺陷的束缚中解放出来，向我们展现它最完备的一面。而我们也能够从此大胆地探索下去，不再为任何将来可能出现的危机所困扰——因为我们不仅必须知道，而且必将知道。”

角谷停住了，微微倾过身体去握住了茶杯。清癯的身形映着一盏孤灯，将一个细长的影子投在墙壁上，如一柄黑色的薄剑。两人都陷入了沉默，斗室之中只有呼吸的声音此起彼伏，如同渺远的潮骚，仿佛将时间都拉得漫长起来。

“这就是我的工作。”角谷轻轻地叹了口气，“在我还在读大学的时候，也许是机缘巧合，当这个想法如同飞虫一般钻进我脑子里的时候，我就知道也许我要和它打一辈子交道了。我没有办法中断它，因为这种灵感是一去不复返的，是一期一会的——也许只要中断一次，便再也没有办法继续下去了。我知道凛子对我是有怨言的，但是我没有办法。”他突然有些伤感地笑了笑，“我只能尽量在有生之年去完成这个想法，大概这就是作为数学家的宿命吧。”

“您一直研究了了这么多年么……”邦彦喃喃地说道。

“从我读大学的时候算起，已经有三十多年了吧，毕竟自然数公理系统的重建是一个巨大的工程。何况需要完成的，还不仅仅是整个公理系统的重建而已。所有建立在它之上的数学体系，都需要重新加以定义和证明。三十年的时间毕竟还是太短了，还远远不足以完成它。

“所以我想我会一直这么做下去，虽然过程很孤独，也可能难以被理解，但总要有人来做这些事情。何况每前进一步，我所见到的理性世界的景象都是如此的美，甚至连清水寺的舞台都黯然失色，令我深深地沉溺于见到她的狂喜之中。也许这就是我直到现在，也仍旧不愿停下来的原因。无论多么艰难，我总这样对自己说——”

角谷轻轻抬起头，静静地看着面前的少年人的眼睛。他猛地感到浑身燥热，胸腔里仿佛有什么东西爆炸了，欣悦混杂着苦痛的炽热感一瞬间包围了他，仿佛周身火焰的迦具土①正用双手撕开他的血脉，熊熊然从体内出生。他的声音微微地颤抖起来，如同流动着的金铁。

“不输给雨，不输给风。”

是宫泽贤治的诗句，邦彦亦是早已耳熟能详。但角谷说出的这句话却仿佛突然变了，带上了沉甸甸的实感。他不明白这是什么，也不清楚应该说什么，于是他缓缓地坐正了，然后向着角谷静静地把腰深深地弯了下去 ——也许，这便是他所能想到的表达敬意的最好方式了。

两年之后，大学毕业的邦彦婉拒了岩泽教授的博士邀请，回到了京都自己家的旅馆里。两年间，旅客来了又走，仍旧只有角谷长住在三楼走廊深处的老房间里。他似乎比常人要老得快一些，原先只是鬓边花白的头发，已大半转为雪白，却仍旧是几乎足不出户。只有邦彦偶尔上楼去送饭的时候，两人才会简短地聊聊天。

这天中午，邦彦如同往常一样走进角谷的房间，将冒着热气的鲣鱼、米饭和味噌汤摆在那张有些褪色的小木桌上，然后在角谷正对面坐了下来。“有凛子小姐给您的一封信。”他说着，将手里一个厚厚的纸包递了过去。

角谷拆开信封，一叠纸页滑落出来。他将它们举到面前，微微眯着眼睛读起来。房间里安安静静的。天空上飘着几朵云，有些苍白的阳光穿过窗户照到他身上，仿佛一幅有些发白的老画。

“凛子结婚了。”过了许久，角谷才放下手中的信纸，淡淡地说。

“是么？”邦彦心头轻轻地跳了一下，却装作漫不经心的样子问道。

“嗯，去年冬天刚刚结的婚，然后就跟着丈夫去了青森县。”角谷淡淡地道，“她邀请我过去做客，还告诉我说那里的冬天很美，尤其是坐火车穿越白神山地的山毛榉林的时候，白雪覆盖的群山无边无际，就像绵延到天与地的尽头。那情景就像我们都读过的一样——‘穿越省界长长的隧道，便是雪国。’也真让人有些神往呢。”

“您会去吗？”邦彦笑着问。

“一定会的——等我完成它之后。”角谷点点头。

邦彦的父亲是在七年后的秋天里去世的，于是年近而立之年的邦彦便自然地继承下了家中的旅馆。虽然挂谷家并不是枝繁叶茂的大家族，但死生毕竟都是大事，邦彦又是长子，因此守灵、纳棺、还骨这一系列事情，还都得由他来亲自操持，而旅舍的生意却又不能丢下，一来二去，人几乎累脱了形。这天邦彦独自走出房间，在院子里歇息的时候，竟远远地看见角谷向他走来。黑色的衣服裹住他清瘦的身体，仿佛一只墨羽的鹤。

“挂谷君，节哀顺变。”邦彦还没来得及说话，角谷却先向他深深地鞠了一躬，“这几天您一定是辛苦了。”

“谢谢您挂记。”邦彦恭敬地还礼，“您的工作近来还顺利吗？”

角谷轻轻点头，“还好，我一切都还很顺利。不过挂谷君，最近要注意身体的是您吧，仅仅几天没见，似乎真的瘦了不少啊。”

“是啊，谢谢您关心。”邦彦说。停顿了片刻，他看了看表，突然有些抱歉地道：“您看，又是快要到准备晚饭的时间了，我得到仓房去看看今天晚餐的食材。您愿意跟我一起去看看吗？”

“那就打扰您了。”角谷回答说。

挂谷旅舍的仓房在客房的后面，掩蔽在一片浓郁的树阴中。邦彦轻轻推开未上锁的木门，点亮了灯。挂在仓顶的灯有些旧了，昏黄的光线被圆锥形的灯罩箍住，在地上撒出一个圆形的光斑。半人高的酱桶和米糠坛整齐地靠在墙边，对面则是一个一人多高的木架子，没有上漆，在灯光中一浸，便仿佛带上了温润的金色毛边。送食材的人似乎刚刚来过，葱、茄子和白萝卜整整齐齐地码在架子上，淋淋漓漓地尚带着水露。

“真是收拾得井井有条啊……”角谷轻声地赞叹着。

“其实父亲以前做得还要好些。”邦彦有些不好意思地说，“只有他病重的这段时间才是我在收拾。不过之前我也会常常到这里来看看，有时候我总会想，也许当年没有继续在数学上深造下去，并不是一个正确的选择。”

“是啊，那时候我也以为挂谷君至少会读完博士。”角谷点点头说，“那么，是因为什么原因停下来了呢？”

“在大学的最后两年里，我时常感到有些失落和不甘……”过了许久，邦彦才慢慢地道，“那时候总觉得，因为算术公理的不完备性，我所学到的一切都是不完整的，而在您完成您的工作之前，它也不可能会变得完整。所以，在大学毕业之后，我便没有继续向上探索了……毕竟那时候感觉无论怎么努力，那些最完美最正确的，被称为‘真理’的东西，都是永远无法得到的。

“但到了现在，我才发现，我之前所想的其实并不正确。就像虽然不是每个人都有幸看到这个世界的全景，但这并不妨碍我们去观看每一个细节的美。这种美尽管不完备，却仍然是深入人心的——这几年来，我闲暇时翻阅大学时代留下的教材，也仍旧会被那些精巧绝伦的证明所感动，比如对角论证法和群理论的证明。它们虽然不完备，但仍旧如同我们目力所及的大地上的景色，尽管只是浩荡天地中的一隅，也依然是无比令人沉醉的。”

“也许我们马上就能看到整个世界了。”角谷轻轻笑了笑，突然说。

“真的？”

“是的。两个月之前我刚刚完成了自然数系统的重新定义，接下来就是整个数学体系在新定义上的重新架构了。”角谷的语调颇有些神采飞扬，甚至在这沉重肃穆的气氛之中显得有些格格不入了。他又变成了那个在自己的世界中独步行走的、一腔炽热的求索者。“当定义变得完备之后，在这个基础上重新构筑代数系统和集合论的体系，只不过是个水到渠成的过程。也许用不了太久的时间，我就能完成剩下的工作了。”

“那恭喜您。”邦彦也禁不住微笑了，“我便静候您的佳音吧。”

角谷依旧在客房中保持着这样深居简出的生活，客房里的一盏小灯总是孤独地亮到深夜，而邦彦也从不去打扰他。只有四季依旧在街巷中静悄悄地不息流转，它们看老了京都，京都也把它们看老了——春天的樱花开了又谢，夏天的鉾车来了又去，秋天的枫叶红了又落，冬天的白雪积了又融，转眼间便又过去了十年。

“又是一年冬天了。”邦彦一边自言自语地说道，一边将手中的瓷瓶轻轻地倾斜了，一道酒水便如同银线一般流注到了小巧的瓷杯里。十年的时间并没有来得及让挂谷旅舍发生什么变化，但邦彦却已经变成一个沉稳中略带圆滑的中年人了。在闲暇的时候，他经常会在无人的餐厅一角独自饮酒，酒液在杯中轻轻地晃动着，清清亮亮的，照出了他额角浅浅的皱纹。

有人在门扉上轻轻地敲了敲，邦彦起身打开了门。

是角谷。这让邦彦有些吃惊，他似乎很长时间没有见到这位最熟悉的住客了。角谷的头发已经全部变白，如同窗外缓缓飘落的雪花，连一丝杂色都见不到。

“我完成它了。”角谷缓缓地在邦彦对面坐了下来，轻轻地道。

“恭喜。”邦彦说着，将一个小小的白瓷杯轻轻放到角谷的面前，然后为他倒满了酒。

角谷轻轻地点了点头，便再也没有多说什么，房子里静极了，仿佛整个天地间都没有一丝声音。邦彦抬起眼睛，望向角谷的双瞳，却惊讶地发现那里面并没有预料之中的狂喜。老人的眼神平静，似乎只是一个注定的结果终于到来了。没有丝毫的情绪波动，只有如释重负后的轻松之感。没有人说话，他们便这么静静地对坐着。

“我老了，角谷先生您也老了。想起您最开始来我们旅店登记的时候，就好像是昨天一样啊。”过了很久，邦彦突然说。

“是啊，”角谷很自然地接过了话头，“一直想着这个问题，不知不觉五十年就过去了。在最开始研究如何重新定义算术公理的时候，我才和最初见到的你一般大呢。如今一下子就都老去了，人间五十年，还真是宛如梦幻。”

老人轻轻地垂下了眼帘，清癯的身影凝滞住了，如同雕像般静静地坐着。天色有些阴，微暗的天光透进房间，空气中好像有些什么东西在微微地浮动着，半明半暗的，仿佛一条狭长的时光甬道轰然打开。孤独、焦躁、欣悦，到最后的平静，五十年独坐冥思中的雪泥鸿爪翩然而至，又慢慢地沉落下来，如同柔软的布料，裹紧了他的身体。

“但对于我来说，当看到这五十年所换来的结果时，我觉得自己无论如何都不会感到比这更幸福了。不是那种偶然发现路边风景的幸福，不，它甚至于都不能用风景来形容。确切地说，一片全新的天地被猛然打开了，那是我此前未曾经历过的，也从来想象不到的崭新世界。我甚至无法用语言来描述这新世界的美丽——所有的公理与推论像是古老的山川河流一般浑然天成，不曾留下任何不自然的刀斧痕迹；绵延的大地铺展向无限的远方，直到整个宇宙的尽头。这便是我五十年旅途的终点，迦南之地——每一寸土地都是坚实的，没有任何可能出现的模糊与不完备，其中的一切奥秘，都会在并不遥远的未来被我们所知。”

“可是这‘并不遥远的未来’也许又是几千年的时间。”邦彦说。

“我们未知的世界如此广阔，几千年的时间是必需的。”角谷道，轻轻地转动着手中的白瓷杯子。一片莹润的水光微微地晃动着，似乎是会流动的水晶。“但也许并不需要这么长久——从结绳记事的年代算起，我们花了几千年来认识整数和有理数，用了两千多年的时间来建立基本的代数结构，但此后将对整个代数系统的理解发展到今天的高度，却仅仅只耗去了我们两百多年，何况这速度还受到不完备的数学基础的制约。而在将来，也许还会更快。可能只要一百多年，甚至几十年，我们便能解开今天的我们所无法理解的一切谜题。

“数学注定是可以被理解的，尽管它有时看起来像神明的语言一般难解。但无论如何，我们已经在探寻的旅途上走了这么远。虽然我们面前的路仍旧是陌生的，但是仍然必须一步步地走下去，直到人类认知的尽头。

“所以我们必须知道——这不是简单地为了生存的需要或者天性的好奇，更大程度上是一种存在的意义。我们对世界的一切探索，我们沉醉于一切令人惊叹敬畏的发现，说到底不过是为了确认自己的渺小，以此印证自身在茫茫天地之间存在的伟大——幸而，我们必将知道。”

老人一口饮尽了杯中的残酒。仿佛有什么东西扫去了经年的风雪，他的眼神突然变得清澈起来，像是涉世未深的少年。他站起身来，伸手拉开了屋门。雪已经停了，新雪覆盖的庭院在半阴的天幕下泛着苍白的银光，像一层柔软的白蜡，低矮的雪见灯笼从积雪中露出稚拙的六角石顶。四周安静极了，除却积雪塌陷的轻微的数念珠般的声响外，没有任何声音。空气凛冽而清新，仿佛一个新造出的寂静的荒凉世界。

几度跋山涉水，

今日也在旅途中，

满目萧疏无止境。①

老人低声地吟诵着。邦彦看见他单薄消瘦的背影，短短的白发被风吹动，让他看上去有些像一个孤独的旅人。或者说，他们原本就是孤独的旅人，独自探寻着荒凉广大的未知旷野，从晨曦初露，到暮色四合。而那些在如蜉蝣般短暂的生命中所探求到的真理，却也不过是这亘古苍茫的天地之中的尘沙。尽管如此，他们依然跋涉在这巨大的未知世界里，开垦着横无际涯的荒凉，世代更替，爝火不熄。不是为了收获，亦不是为了生存。

只是因为我们必须知道。

只是因为我们必将知道。

后记：

《我们必将知道》是一篇对我而言带有些许纪念意义的小说——纪念在大学和研究生时代的数学学习中所看到的各种美妙思维与惊人远见。由于自身知识背景原因，我将《我们必将知道》写成了数学题材的科幻小说，这在科幻小说中属于经典但并不常见的类型，我希望能够处理好它。

这部小说的背景被放在日本京都，之所以这样处理，是因为我在学习过程中所感受到的数学思想的细腻与精微之美，与我所知道的日本传统的美学意象颇有些相近。而在创作这篇小说的时候，我也有意避免刻意制造悬念，而是尽量采取一种类似娓娓道来的形式去讲故事。对于这篇小说而言，我只希望自己达到一条标准，即“美”，这种美应该是数学的细腻之美与文字的精微之美的融合。

同样的，由于这是一个背景在日本的故事，因此我尽量使这部作品具有一些译文风格，使其接近于“日本作者所写的日本小说”这样一个标准。因此，在作品中会出现一些真实的街巷名称或者京都独有的元素，希望以此能够让读者有更强的代入感。

出于致敬的目的，本文中与数学相关的三位人物的名字：挂谷邦彦、角谷英彦和岩泽丰，均来源于六位日本数学家姓名的分拆和重组。这六位数学家分别是：挂谷宗一、小平邦彦、角谷静夫、山边英彦、岩泽健吉和谷山丰，他们都是20世纪日本最为卓越的数学家，分别在分析、代数几何、拓扑、代数等方面有突出的贡献，他们的名字也为每一个学习数学的学生所熟知。

【责任编辑：刘维佳】

①即著名的“柯尼斯堡七桥问题”中的七座桥梁，欧拉于1736年在论文《柯尼斯堡的七桥》中证明该问题不可解。该问题在数学史中亦被认为是图论与拓扑的起源。

①安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），旅美英国数学家，普林斯顿大学教授。最主要的成就是1994年与其学生理查·泰勒合作完成了对费马大定理的最终证明。

②张益唐，旅美华人数学家，新罕布什尔大学讲师。2013年因在孪生素数猜想上的突出贡献而广为人知。

①原文为ignoramus et ignorabimus，由德国生理学家Emil du Boris-Reymond所提出的名言。代表整个19世纪欧洲科学界中的不可知论思潮。

①日本神话中的火神。

①此为若山牧水所作的和歌。若山牧水（1885-1928），本名若山繁，生于九州宫崎县，战前日本的代表歌人，擅长描写自然景色与风物。