复合随机振动系统的动力可靠性矩独立重要性测度及态相关参数解法

张屹尚，刘永寿，赵 彬，翟红波

(西北工业大学 工程力学系 飞行器可靠性工程研究所，西安 710129)

可靠性灵敏度反映设计参数改变对可靠度影响程度。工程中可用于确定结构可靠性优化设计的最优解搜索方向。随机荷载作用的机械、结构系统需同时考虑结构随机性与激励随机性复合随机，其动力可靠性灵敏度求解难度较大[1]。乔红威等[2]采用基于加权非线性响应面法的Monte-Carlo可靠性灵敏度分析方法求解动力可靠性灵敏度。唐帆等[3]基于摄动法分析多源激励下随机结构灵敏度。Valdebenito等[4]据Bootstrap方法求解随机激励下线性系统可靠性灵敏度。以上主要研究随机激励下随机结构的局部灵敏度，即某个输入变量取名义值(一般为均值)时动力可靠度的偏导数，因而考虑某变量灵敏度时无法考虑其它变量变异性所致影响，具有一定局限性。

基本变量的重要性测度(Importance Measure, IM)又称全局灵敏度分析, 研究输入变量不确定性对模型输出响应不确定性(数值或其他)的贡献程度，可依次确定其实验或研究的优先级别,能综合考虑输入变量在值域内取值时对输出响应的平均影响，因而广受重视[5-7]。为有效定量度量随机激励下随机结构输入变量对动力可靠度影响大小，对输入变量进行全局灵敏度分析。已有的重要性测度可分为非参数方法重要度[8]、基于方差方法重要度[9]及矩独立方法重要度[10]。Cui等[11]提出矩独立基本变量对系统失效概率的重要性测度，并分析其性质。

本文用分布信息损失少的矩独立重要性测度指标(Moment-Independent Importance Measure)，结合随机激励下首超可靠性分析方法提出度量输入变量对随机结构动力可靠度概率影响的矩独立重要性测度。其结果可定量反映随机结构参数对随机激励下动力可靠性影响程度, 提高结构可靠性优化设计。针对可靠性矩独立重要性测度Monte-Carlo法求解效率，采用高效模型估计法-态相关参数法(SDP)计算动力测度指标[12-13]，用算例说明方法的合理性及正确性。并以Monte-Carlo数值模拟法结果为标准，检验SDP方法计算重要性测度精度及效率。

1 随机变量对结构动力可靠性重要性测度

1.1 基于首超准则的动力可靠性分析

基于首次超越破坏准则的动力可靠性一般指结构控制点动力响应(如位移、应力等) 首次超越安全界限值的可靠性，简称结构首超动力可靠性。首超破坏可靠性主要有单侧界限、双侧界限两种。其中双侧界限定义为若结构动力响应y(τ)绝对值在时间[0,t]内不超过安全界限值b的概率，即

R(t)=Pr{-b≤y(τ)≤b,0<τ

(1)

动力首超破坏分析基础为响应y(τ)与安全界限的交叉次数。采用基于交叉次数为Markov过程的双侧首超动力可靠度计算公式[14]为

(2)

谱矩ak计算式为

(3)

式中：Syy(ω)为动力响应y(τ)的自功率谱密度函数。

考虑结构随机性与激励随机性的复合动力学可靠性时，采用无条件可靠度分析公式考虑复合随机情况下动力参数随机性[15-16]。设结构参数随机变量向量X反映质量矩阵M、刚度矩阵K、阻尼矩阵C的随机性，则随机结构无条件动力可靠度表达式为

Rf(t)=∫XR(t)xfX(x)dx

(4)

式中：R(t)x为在结构参数x时的可靠度；fX(x)为X的联合概率密度函数。

1.2 随机结构动力可靠性重要性测度指标定义

设系统有n个不确定性基本变量X=[X1,X2,…Xn]及随机结构动力可靠度R(t)x。将随机振动结构的基本输入变量XI对动力可靠性重要性测度指标[11]定义为

(5)

式中：XI为单个基本变量或一组基本变量；Rf(t)为随机结构无条件动力可靠度；Rf|XI(t)为XI为某一值时Rf(t)的条件动力可靠度；fXI(xI)为基本输入变量XI的联合概率密度函数。

式(5)表征输入变量XI在随机分布域内变化对结构动力可靠度影响程度。由于式(5)定义中绝对值符号不利于运算，本文将其等价转换为平方运算，等价转换后输入变量XI的动力可靠度重要性测度记为δXI：

(6)

由式(6)看出，等价转换后动力可靠重要性测度可有效反映输入变量对可靠性模型分布概率影响程度。动力可靠性精确表达式可表示为输入变量联合概率密度函数在安全域中的积分，其数学期望形式为

Rf(t)=∫XR(t)xfX(x)dx=E[R(t)x]

(7)

式中：E[·]为数学期望算子。

相对无条件动力可靠性概率函数，给定输入变量XI时响应量条件动力可靠度可表达为

Rf|XI(t)=E[R(t)x|XI]

(8)

式中：R(t)x|XI为相应条件动力可靠度响应函数。

将式(7)、(8)分别代入式(6)，利用概率统计中数学期望与方差间关系，可得动力可靠性概率矩独立重要性测度为

δXI=EXI{[E(R(t)x)-E[R(t)x|XI]]2}

(9)

全期望公式为

(10)

式中：V[·]为方差算子。

至此，本文所提δXI能有效反映基本变量不确定性对输出动力可靠度影响程度，可为有效增加输出动力可靠度提供更多参考信息。

2 动力可靠性矩独立重要性测度求解方法

2.1 动力可靠性矩独立重要性测度状态相关参数法(SDP)

状态相关参数法(State Dependent Parameter，SDP)模型由Young[17]提出，为基于递归滤波及平滑估计的非参数光滑方法。Ratto等[12]成功将其应用于参数重要性分析中。采用SDP 方法求解响应量的条件期望E(Y|Xi)，给定单个基本输入变量条件下功能响应输出值Y=g(X)，条件期望E(Y|Xi)(i=1,2,…n)可据一阶函数高维分解模型(HDMR)求出，具体过程[13,18]为：据输入变量联合概率密度函数采用一定抽样策略随机抽取N个样本Xt(t=1,2,…N)，获得相应输出Yt(t=1,2,…N)，考虑Y=g(X)的一阶截断HDMR[13]可表示为

Yt-g0=g1(X1,t)+g2(X2,t)+

…+gk(Xk,t)+o(XX′)

(11)

式中：Yt表示(t=1,2,…N)时刻响应量Y的状态；g0=E(Y)；gi(Xi,t)=E(Y|Xi,t)-g0(t=1,2,…,N)为样本标号；o(XX′)为高阶误差。

设所有高阶项近似服从正态分布的高斯白噪声，即将截断HDMR视为随机非线性系统[13]。每项gi(Xi,t)均依赖于输入变量Xi,t，因此可将其视为状态相关参数进行估计。考虑基本变量Xt(t=1,2,…N)对响应量Y的作用，估计响应输出条件期望E(Y|Xi,t)的态相关模型[13]可表示为

Yt=E(Y|Xi,t)+ei,t=

pi,t(X1,t)+ei,tei,t～N(0,σ2)

(12)

式中：et为观测干扰，即不能用E(Y|Xi,t)表示的项；pi,t为随状态变量X1变化的SDP状态相关参数，为基本变量X1的函数。

据控制理论相关内容，状态空间SDP模型为

(13)

求解SDP模型(13)中状态相关参数pi,t(i=1,…,k)等价于求解HDMR中一阶项。SDP模型参数pi,t(i=1,…,k)求解步骤[17]为

(1) 以某种随机形式描述pi,t的变化，即采用通用随机步(GRW)类如GRW中随机步(RW)或积分随机步(IRW)过程。

(3) 在循环向后拟合过程(backfitting procedure)中用递归Kalman滤波(Kalman Filtering, KF)及相应递归固定区间光滑(Fixed Interval Smoothing, FIS)法则估计各状态相关参数(式(12))。

按以上求解条件期望SDP方法知，需一组输入输出样本值便可将HDMR中所有一阶项(动力可靠度的条件期望E(Y|XI)(I=1,2,…,n))一次性求解。该方法不仅适用于连续函数，亦适用于非光滑及不连续函数[17]。为给定单个基本输入变量条件下动力可靠度的条件数学期望E(R(t)x|XI)求解提供了高效途径。可将动力可靠度函数R(t)x视为随机输入变量函数。只需在条件期望求解中将动力可靠度函数R(t)x的值视为相应输出值，用求解功能响应量Y条件期望相同思路求得动力可靠度条件期望E(R(t)x|XI) ，再据给定公式求出单个输入变量动力可靠性重要性测度。

2.2 SDP法与MC法比较

高效的Monte-Carlo数值模拟法[19]可用于求解动力可靠性矩独立重要性测度。求解给定单个基本输入变量条件下动力可靠度条件数学期望E(R(t)x|XI)的过程为：

(1) 据联合分布密度fX(x)随机抽取N1个样本形成矩阵A为

(14)

再随机抽取N2个样本形成矩阵B为

(15)

式中：n为变量个数。

相对普通的Monte-Carlo法，本文选偏差更小的拟Monte-Carlo法[20]进行矩阵A，B样本抽样。

(2) 求解条件动力可靠度指标(R(t)x|Xi)，固定矩阵A中第(k,i)(k≤N1,i≤n)个元素，且替换矩阵B中第i列，生成新矩阵C

(16)

(17)

随机抽取样本量N1，N2越大时拟Monte-Carlo 数值模拟法求解条件期望越准确。SDP 方法只需一组模型输入输出值，所有给定输入条件下动力可靠度条件期望均可一次性进行估计。本文动力可靠度矩独立重要性测度可通过式(10)求得，SDP方法计算量不依赖变量维数。该方法可用任何Monte-Carlo样本，尤其用低偏差样本时，实现过程简单灵活。

3 算例分析

3.1 单自由度振子体系平稳位移响应可靠性分析

单自由度线性体系受单源平稳随机激励时运动方程[21]为

(18)

式中：m，k，c为质量、刚度、阻尼；ζ=c/(2mk)为系统阻尼，用无量纲参数；f(t) 为平稳随机过程，自谱为常值Sff(ω)=S0=1，取ω=[0,10]。

图1 Monte-Carlo法抽样次数与结果变化曲线

图2 SDP法抽样次数与结果变化曲线

表1 单自由度线性体系动力可靠性重要性测度

3.2 十六杆结构动力可靠性矩独立重要性测度

图3 十六杆桁架结构

表2 十六杆结构动力可靠性重要性测度

设结构参数E，ρ，a为互不相关、服从正态分布的基本随机变量，变异系数v=0.1相同,分析第6节点y方向位移动力可靠性矩独立重要性测度。图1十六杆结构对输出不确定性影响较大的随机变量重要性排序为E,a,ρ。因此，在十六杆桁架结构动力学可靠性设计、优化中需注重对输出影响较大E,a重要变量信息的收集，最大程度减小结构整体不确定性水平。亦可在十六杆结构动力学可靠性设计中优先考虑确定重要性程度高的随机变量以改善系统可靠性，对某些重要性程度低的随机变量降维以简化分析过程。较t=1000 s，1100 s动力可靠性重要性测度，本例结构的可靠性重要性测度值随时间的延长而增大。

分析以上两算例知，本文SDP法只需求解2 000即可一次性获得全部输入变量的条件期望，进而进行动力可靠性重要性测度计算；用Monte-Carlo法计算全部输入变量次数为n×108(n为变量维数)。本文方法调用功能函数的次数大大低于Monte Carlo法, 且两种方法所得重要性指标误差均在工程允许范围内，表明用SDP方法计算输入变量的重要性测度可行、高效。

4 结 论

(1) 研究随机激励下随机结构动力学可靠性重要性测度，有效分析基本输入变量对结构动力学可靠性影响，具有重要现实意义。

(2) 提出基于基本输入变量对动力可靠性矩独立重要性测度，给出各基本变量对可靠性贡献度，建立矩独立重要性测度求解的态相关参数(SDP)法。

(3) SDP法可避免计算过程对变量维数的依赖，能提高样本利用率，减少变量矩独立重要性指标求解计算量。并用算例证明该方法的可行性及高效性，可用于大型复杂工程结构动力可靠性重要性测度分析。

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