形如A+XYH矩阵的性质*

游兴中，全宏跃，徐雪枫，颜小强，赵 坚

(长沙理工大学数学与计算科学学院,湖南 长沙 410004)

形如A+XYH矩阵的性质*

游兴中，全宏跃，徐雪枫，颜小强，赵 坚

(长沙理工大学数学与计算科学学院,湖南 长沙 410004)

讨论了形如A+XYH矩阵的性质,给出了它们在行列式的计算中的应用.

矩阵;可逆矩阵;伴随矩阵;行列式

文中设C为复数域,Cn×m为n×m的复矩阵的全体,In为n阶单位矩阵,Cn为n维列向量的全体.设A∈Cn×n,|A|表示A的行列式,AH表示A的共轭转置,A*表示A的伴随矩阵,r(A)表示A的秩.

文献[1]给出了如下求矩阵A-αβH的行列式，以及其可逆时求其逆矩阵的Sherman-Morisson公式：

文献[2]将Sherman-Morisson推广到求伴随矩阵的情形.笔者从2个方面推广引理1的结果：一方面去掉A可逆的条件推广引理1的结论(ⅰ)；另一方面保留A可逆的条件,将α,β∈Cn推广到U,V∈Cn×m的情形,推广引理1的结论(ⅱ),并说明推广的结果在求行列式中的应用.

定理1 设A∈Cn×n,α,β∈Cn,则|A+αβH|=|A|+βHA*α.

若|A|=0,令A1=A+tIn,则存在正数δ使得当t属于复平面上以原点为中心半径为δ的邻域时|A1|≠0,于是由上面的推理可得|A1+αβH|=|A1|+βHA1*α.注意到该等式两边可视为t的多项式,因而是t的连续函数,故当|t|→0+时也得到|A+αβH|=|A|+βHA*α.

定理2 设A∈Cn×n为可逆矩阵,U,V∈Cn×m,那么：(ⅰ)|A+UVH|=|A||Im+VHA-1U|;(ⅱ)若Im+VHA-1U可逆,则A+UVH可逆且(A+UVH)-1=A-1-A-1U(Im+VHA-1U)-1VHA-1.

证明记B=Im+VHA-1U.

(ⅱ)若B可逆,则由A可逆及(ⅰ)得|A+UVH|=|A||B|≠0,因此A+UVH可逆.

下面以2个例子说明定理1和定理2在行列式计算中的应用.

[1] 戴 华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2002.

[2] 孙胜先,钱泽平.幂等和幂零阵的伴随阵的反问题[J].大学数学,2006(5):114-116.

[3] 北进大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].第3版.北京:高等教育出版社,2003.

(责任编辑 向阳洁)

PropertiesoftheMatricesofTypeA+XYH

YOU Xingzhong,QUAN Hongyue,XU Xuefeng,YAN Xiaoqiang,ZHAO Jian

(College of Math. and Computing Science,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410014，China)

The properties of the matric of typeA+XYHand their applications in calculations of determinants are studied.

matrix;invertible matrix;adjoint matrix;determinant

1007-2985(2014)06-0022-02

2014-03-26

长沙理工大学精品课程建设资助项目(KC1119)；大学生研究性学习和创新性实验计划项目

游兴中(1968—),男,湖南桃源人,长沙理工大学数学与计算科学学院教授,博士,主要从事群论研究.

O211.62

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.006