基于二次根式知识的拼图实验方案

一、 实验主题

基于二次根式知识的拼图实验.

二、 问题背景

几何图形的分割和剪拼与人们日常生活关系密切.将一块或几块形状不合要求的材料通过巧妙的分割，拼成形状合适的成品，具有实用价值.而解决问题的过程，既动脑又动手，可以锻炼我们的思维，提高实践能力和逻辑思维，还会给我们带来成功的喜悦.

三、 探究意义

之前，我们通过对“勾股定理”的学习认识了无理数，学会了在数轴上表示一个无理数，感受了人类认识世界、改变世界的历程.通过对“二次根式”的学习，我们又进一步加深了对“二次根式”性质的认识，而通过本次探究活动，我们将利用所学的知识解决实际问题，感受数学之趣.

四、 课题介绍

本次活动分为四个层次. 层次一：将两个相同的正方形，剪、拼成一个大的正方形. 层次二：将几个常见图形剪、拼成一个大正方形. 层次三：画一个图形，并将之剪、拼成一个大正方形. 层次四：通过拼图寻找一般规律，并能解决简单的问题.

五、 实验准备

剪刀、胶水、正方形纸板2张、网格纸若干张以及A4纸若干张.

六、 实验方法

合作交流型学习、探究性学习、概括性学习等方法.

七、 实验要求

1. 回顾八年级关于勾股定理的相关知识，回顾在数轴上画出表示的点的方法.（图1）

2. 体会“数形结合”的数学思想，逐步学会用数形结合的数学思想分析、解决问题.

3. 能够运用二次根式的相关知识解决几何分割、剪拼的相关问题.

4. 积极参与数学活动，能够提出自己的想法，参与对活动的评价过程，提高归纳和说理能力.

5. 培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学求知的精神.

八、 阶段性实验

1. 活动一：思考—操作

（1） 如图2，两块边长为1的小正方形纸板，请你剪一剪，拼成一块大的正方形，贴在下边的方框中.

【活动说明】作为本次数学实验的第一个活动，该活动中出现的问题比较简单，主要是让学生积累初步的活动经验，为下面的活动打下基础. 运用二次根式的性质易知两个正方形的对角线长为，而（）2的结果是2，这正是拼成的大正方形的面积，沿着对角线剪开，即可拼成所要的大正方形.

（2） 在你所准备的网格纸中，分别按图3所示进行涂色，并将涂色部分的图形剪出来，再将它们逐一剪、拼成正方形.

【活动说明】活动（2）的内容建构在活动（1）的活动经验之上.本活动没有限定裁剪方法，故灵活性比较强，目的在于拓展同学们的思维.通过观察，不难发现上述4幅图片中，阴影部分的面积之和都等于5，所以，我们只需将图形拼成边长为的正方形即可.

（3） 如图4，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1. 请在所给网格中按下列要求画图、裁剪、拼图.

①画出从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2.

②画出以第①小题中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数.

③从点A出发进行适当裁剪，拼出一个面积为8的正方形，并贴在下面的方框中.

【活动说明】上述问题是对二次根式知识的综合运用，通过前两个活动的操作，同学们已经积累了一定的切割和拼接经验，因此，上述问题的关键是能够综合运用二次根式的相关知识，初步形成的活动体会会进一步培养学习的兴趣，感受数学的魅力.

2. 活动二：操作——概括

（1） 图5是由边长为1的n2（n为大于1的整数）个连续小正方形所组成的图形.

它们经过适当分割（指只用剪刀沿直线剪开，不借助其他任何工具）后都能拼成一个大正方形，其分割线（图5中实线）的最少条数与小正方形的个数之间关系见下表，请填写下表中的空白处：

（2） 如图6，边长为1的5个连续小正方形所组成的图案按（1）中的要求经过4次分割后能拼成一个大正方形，其拼成后的图形见方格纸.

边长为1的10个连续小正方形组成的图形（如图7），是否也能按照（1）中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢？如果能，请在图7中画出分割线，并将分割后拼成的大正方形拼出来，粘在图7中.

（3） 你是否还能举出一种非n2（n为大于1的整数）个连续小正方形所组成的图形，按（1）中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢？试试看！

【活动说明】活动二的三个问题分为三个层次. 层次一：通过观察和对比，明确n2个小正方形拼成大正方形需要分割线的最少条数.层次二：通过观察图7，让前面的活动经验和问题（2）的内容产生共鸣，思维得到碰撞，从而产生解决图7中问题的方法.层次三：通过概括和总结，结合活动经验，寻找富有个性的解决问题的方法，寻找一般规律，培养化归思想，形成数形结合的解题意识.活动中，同学们通过小组合作，采用比较和归纳的方法，通过逐步尝试，完成了对解决一般问题方法的总结，提高了概括能力，提升了符号意识.

【活动收获】

在本节课的探究过程中，你有哪些感受与收获？回顾你的探究心路历程，请将你的探究经验、感悟和发现写成数学小论文.

九、 研究论文

【活动说明】撰写数学小论文就是以“数学写作活动”来指导学习，也可称为“反思小文章”.它是同学们将所学知识、技能、经验、思想方法进行“内化”的一种过程，对理解数学概念、表达数学发现和应用数学知识起着很重要的作用.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）endprint

一、 实验主题

基于二次根式知识的拼图实验.

二、 问题背景

几何图形的分割和剪拼与人们日常生活关系密切.将一块或几块形状不合要求的材料通过巧妙的分割，拼成形状合适的成品，具有实用价值.而解决问题的过程，既动脑又动手，可以锻炼我们的思维，提高实践能力和逻辑思维，还会给我们带来成功的喜悦.

三、 探究意义

之前，我们通过对“勾股定理”的学习认识了无理数，学会了在数轴上表示一个无理数，感受了人类认识世界、改变世界的历程.通过对“二次根式”的学习，我们又进一步加深了对“二次根式”性质的认识，而通过本次探究活动，我们将利用所学的知识解决实际问题，感受数学之趣.

四、 课题介绍

本次活动分为四个层次. 层次一：将两个相同的正方形，剪、拼成一个大的正方形. 层次二：将几个常见图形剪、拼成一个大正方形. 层次三：画一个图形，并将之剪、拼成一个大正方形. 层次四：通过拼图寻找一般规律，并能解决简单的问题.

五、 实验准备

剪刀、胶水、正方形纸板2张、网格纸若干张以及A4纸若干张.

六、 实验方法

合作交流型学习、探究性学习、概括性学习等方法.

七、 实验要求

1. 回顾八年级关于勾股定理的相关知识，回顾在数轴上画出表示的点的方法.（图1）

2. 体会“数形结合”的数学思想，逐步学会用数形结合的数学思想分析、解决问题.

3. 能够运用二次根式的相关知识解决几何分割、剪拼的相关问题.

4. 积极参与数学活动，能够提出自己的想法，参与对活动的评价过程，提高归纳和说理能力.

5. 培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学求知的精神.

八、 阶段性实验

1. 活动一：思考—操作

（1） 如图2，两块边长为1的小正方形纸板，请你剪一剪，拼成一块大的正方形，贴在下边的方框中.

【活动说明】作为本次数学实验的第一个活动，该活动中出现的问题比较简单，主要是让学生积累初步的活动经验，为下面的活动打下基础. 运用二次根式的性质易知两个正方形的对角线长为，而（）2的结果是2，这正是拼成的大正方形的面积，沿着对角线剪开，即可拼成所要的大正方形.

（2） 在你所准备的网格纸中，分别按图3所示进行涂色，并将涂色部分的图形剪出来，再将它们逐一剪、拼成正方形.

【活动说明】活动（2）的内容建构在活动（1）的活动经验之上.本活动没有限定裁剪方法，故灵活性比较强，目的在于拓展同学们的思维.通过观察，不难发现上述4幅图片中，阴影部分的面积之和都等于5，所以，我们只需将图形拼成边长为的正方形即可.

（3） 如图4，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1. 请在所给网格中按下列要求画图、裁剪、拼图.

①画出从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2.

②画出以第①小题中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数.

③从点A出发进行适当裁剪，拼出一个面积为8的正方形，并贴在下面的方框中.

【活动说明】上述问题是对二次根式知识的综合运用，通过前两个活动的操作，同学们已经积累了一定的切割和拼接经验，因此，上述问题的关键是能够综合运用二次根式的相关知识，初步形成的活动体会会进一步培养学习的兴趣，感受数学的魅力.

2. 活动二：操作——概括

（1） 图5是由边长为1的n2（n为大于1的整数）个连续小正方形所组成的图形.

它们经过适当分割（指只用剪刀沿直线剪开，不借助其他任何工具）后都能拼成一个大正方形，其分割线（图5中实线）的最少条数与小正方形的个数之间关系见下表，请填写下表中的空白处：

（2） 如图6，边长为1的5个连续小正方形所组成的图案按（1）中的要求经过4次分割后能拼成一个大正方形，其拼成后的图形见方格纸.

边长为1的10个连续小正方形组成的图形（如图7），是否也能按照（1）中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢？如果能，请在图7中画出分割线，并将分割后拼成的大正方形拼出来，粘在图7中.

（3） 你是否还能举出一种非n2（n为大于1的整数）个连续小正方形所组成的图形，按（1）中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢？试试看！

【活动说明】活动二的三个问题分为三个层次. 层次一：通过观察和对比，明确n2个小正方形拼成大正方形需要分割线的最少条数.层次二：通过观察图7，让前面的活动经验和问题（2）的内容产生共鸣，思维得到碰撞，从而产生解决图7中问题的方法.层次三：通过概括和总结，结合活动经验，寻找富有个性的解决问题的方法，寻找一般规律，培养化归思想，形成数形结合的解题意识.活动中，同学们通过小组合作，采用比较和归纳的方法，通过逐步尝试，完成了对解决一般问题方法的总结，提高了概括能力，提升了符号意识.

【活动收获】

在本节课的探究过程中，你有哪些感受与收获？回顾你的探究心路历程，请将你的探究经验、感悟和发现写成数学小论文.

九、 研究论文

【活动说明】撰写数学小论文就是以“数学写作活动”来指导学习，也可称为“反思小文章”.它是同学们将所学知识、技能、经验、思想方法进行“内化”的一种过程，对理解数学概念、表达数学发现和应用数学知识起着很重要的作用.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）endprint

一、 实验主题

基于二次根式知识的拼图实验.

二、 问题背景

几何图形的分割和剪拼与人们日常生活关系密切.将一块或几块形状不合要求的材料通过巧妙的分割，拼成形状合适的成品，具有实用价值.而解决问题的过程，既动脑又动手，可以锻炼我们的思维，提高实践能力和逻辑思维，还会给我们带来成功的喜悦.

三、 探究意义

之前，我们通过对“勾股定理”的学习认识了无理数，学会了在数轴上表示一个无理数，感受了人类认识世界、改变世界的历程.通过对“二次根式”的学习，我们又进一步加深了对“二次根式”性质的认识，而通过本次探究活动，我们将利用所学的知识解决实际问题，感受数学之趣.

四、 课题介绍

本次活动分为四个层次. 层次一：将两个相同的正方形，剪、拼成一个大的正方形. 层次二：将几个常见图形剪、拼成一个大正方形. 层次三：画一个图形，并将之剪、拼成一个大正方形. 层次四：通过拼图寻找一般规律，并能解决简单的问题.

五、 实验准备

剪刀、胶水、正方形纸板2张、网格纸若干张以及A4纸若干张.

六、 实验方法

合作交流型学习、探究性学习、概括性学习等方法.

七、 实验要求

1. 回顾八年级关于勾股定理的相关知识，回顾在数轴上画出表示的点的方法.（图1）

2. 体会“数形结合”的数学思想，逐步学会用数形结合的数学思想分析、解决问题.

3. 能够运用二次根式的相关知识解决几何分割、剪拼的相关问题.

4. 积极参与数学活动，能够提出自己的想法，参与对活动的评价过程，提高归纳和说理能力.

5. 培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学求知的精神.

八、 阶段性实验

1. 活动一：思考—操作

（1） 如图2，两块边长为1的小正方形纸板，请你剪一剪，拼成一块大的正方形，贴在下边的方框中.

【活动说明】作为本次数学实验的第一个活动，该活动中出现的问题比较简单，主要是让学生积累初步的活动经验，为下面的活动打下基础. 运用二次根式的性质易知两个正方形的对角线长为，而（）2的结果是2，这正是拼成的大正方形的面积，沿着对角线剪开，即可拼成所要的大正方形.

（2） 在你所准备的网格纸中，分别按图3所示进行涂色，并将涂色部分的图形剪出来，再将它们逐一剪、拼成正方形.

【活动说明】活动（2）的内容建构在活动（1）的活动经验之上.本活动没有限定裁剪方法，故灵活性比较强，目的在于拓展同学们的思维.通过观察，不难发现上述4幅图片中，阴影部分的面积之和都等于5，所以，我们只需将图形拼成边长为的正方形即可.

（3） 如图4，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1. 请在所给网格中按下列要求画图、裁剪、拼图.

①画出从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2.

②画出以第①小题中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数.

③从点A出发进行适当裁剪，拼出一个面积为8的正方形，并贴在下面的方框中.

【活动说明】上述问题是对二次根式知识的综合运用，通过前两个活动的操作，同学们已经积累了一定的切割和拼接经验，因此，上述问题的关键是能够综合运用二次根式的相关知识，初步形成的活动体会会进一步培养学习的兴趣，感受数学的魅力.

2. 活动二：操作——概括

（1） 图5是由边长为1的n2（n为大于1的整数）个连续小正方形所组成的图形.

它们经过适当分割（指只用剪刀沿直线剪开，不借助其他任何工具）后都能拼成一个大正方形，其分割线（图5中实线）的最少条数与小正方形的个数之间关系见下表，请填写下表中的空白处：

（2） 如图6，边长为1的5个连续小正方形所组成的图案按（1）中的要求经过4次分割后能拼成一个大正方形，其拼成后的图形见方格纸.

边长为1的10个连续小正方形组成的图形（如图7），是否也能按照（1）中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢？如果能，请在图7中画出分割线，并将分割后拼成的大正方形拼出来，粘在图7中.

（3） 你是否还能举出一种非n2（n为大于1的整数）个连续小正方形所组成的图形，按（1）中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢？试试看！

【活动说明】活动二的三个问题分为三个层次. 层次一：通过观察和对比，明确n2个小正方形拼成大正方形需要分割线的最少条数.层次二：通过观察图7，让前面的活动经验和问题（2）的内容产生共鸣，思维得到碰撞，从而产生解决图7中问题的方法.层次三：通过概括和总结，结合活动经验，寻找富有个性的解决问题的方法，寻找一般规律，培养化归思想，形成数形结合的解题意识.活动中，同学们通过小组合作，采用比较和归纳的方法，通过逐步尝试，完成了对解决一般问题方法的总结，提高了概括能力，提升了符号意识.

【活动收获】

在本节课的探究过程中，你有哪些感受与收获？回顾你的探究心路历程，请将你的探究经验、感悟和发现写成数学小论文.

九、 研究论文

【活动说明】撰写数学小论文就是以“数学写作活动”来指导学习，也可称为“反思小文章”.它是同学们将所学知识、技能、经验、思想方法进行“内化”的一种过程，对理解数学概念、表达数学发现和应用数学知识起着很重要的作用.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）endprint