轴向运动功能梯度Timoshenko梁稳定性分析

赵凤群， 王忠民， 路小平

(1.西安理工大学 理学院，西安 710054；2.西安理工大学 土木建筑工程学院,西安 710054)

轴向运动体系振动在军事、航空航天及机械、电子工程等领域广泛应用。研究表明速度较小的轴向运动亦足以影响系统动力特性。超临界速度时，系统会出现剧烈振动、结构不稳定，甚至被破坏。因此，研究轴向运动体系动力特性及稳定性对结构分析、设计非常重要。Euler-Bernoulli梁模型为一简化有效计算模型，一维轴向运动梁模型大量采用该模型[1-4]。陈立群等[5-7]对此也做过许多研究。对Timoshenko模型轴向运动梁研究较少。Lee等[8]用谱分析方法研究均匀张力作用下轴向运动Timoshenko梁的横向振动特性。Tang等[9]用复模态方法研究轴向运动Timoshenko梁振动问题，分析梁在不同边界条件下的自振频率、模态及临界速度。功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)为材料科学领域提出的新概念。此非均匀复合材料的组织、显微结构及性能由一侧至另一侧连续变化，因而较一般复合材料性能优越，在航空航天、生物医学、核工业等领域应用前景广阔。因此对该材料结构研究已成热点之一。Li等[10]用解析方法研究过功能梯度Timoshenko梁及Euler-Bernoulli梁的静、动力稳定性。而对轴向运动FGM梁的研究报道较少。

本文基于Timoshenko梁模型，由Hamilton原理建立轴向运动FGM Timoshenko梁运动微分方程组，通过引入新未知函数，将该方程组化成单个方程的偏微分方程，方便后续分析。采用WDQ法，获得简支FGM梁的复频率，分析轴向运动FGM Timoshenko梁的失稳形式、临界速度及梯度指标、长高比的变化对其振动特性影响。

1 控制微分方程建立

图1 FGM Timoshenko梁及坐标系

设FGM由陶瓷、金属材料复合而成。图1为矩形截面梁，长l，厚度h，宽度b，x为水平方向，z为厚度方向，V为轴向运动速度，FGM的等效物性参数[11]可表示为：

(1)

其中：Xc，Xm分别为陶瓷、金属材料物性参数；p为FGM梯度指标。

设梁内任一点在y方向位移为零，x,z方向位移u,w分别为：

(2)

式中：u0,w0为轴向、横向位移；φ(x,t)为梁横截面关于y轴转角。梁内任意点应变为：

(3)

应力应变关系为：

(4)

梁截面内力分量为：

(5)

将式(3)、(4)代入式(5)，得：

(6)

梁总动能为：

梁总动能变分为：

(7)

梁总应变能变分为：

(8)

由Hamilton原理，有：

(9)

将式(7)、(8)代入式(9)，得系统运动微分方程为：

(10)

边界条件为：

(11)

(12)

式(12)为关于w0，φ的耦合方程，较复杂，为此引入新未知函数，将式(12)转化成只含一个未知函数的偏微分方程。设：

(13)

将式(13)代入式(12)第二式，有：

取：

(14)

将式(14)代入式(12)第一式，得用函数F表示的轴向运动FGM Timoshenko梁运动微分方程：

(15)

2 稳定性分析

设F(x,t)=f(x)eiωt，代入式(15)得：

(16)

令：

得式(16)的无量纲形式：

(17)

其中：

两端简支梁边界条件为：

w0(0,t)=w0(l,t)=0;M(0,t)=M(l,t)=0

由此得式(17)满足的边界条件为：

ξ=0, 1∶g=g″=0

(18)

WDQ法为有效的数值方法，祥见文献[12-13]，此处采用WDQ法求解式(17)、(18)。

设式(17)的解为：

(19)

(20)

(21)

式(21)中已全部包含边界条件式(18)。将式(21)代入式(17)，则有：

(22)

故式(17)、(18)的特征方程为：

(23)

由式(23)求得复频率Ω与运动速度v之关系，进而讨论轴向运动FGM Timoshenko梁动力稳定性。

3 数值结果及分析

本研究取陶瓷ZrO2，金属Al，参数见表1。通常泊松比ν(z)是z的函数，但变化较小，此处取常数ν=0.3。计算时取剪切修正因子κ=5/6[10]。WDQ法中小波函数φ(ξ)选Shannon函数，尺度因子取J=3，n=3。

表1 材料常数

运动速度v=0，梯度指标p=0时，退化成经典Timoshenko简支梁，文献[14]中给出固有频率精确解表达式：

用本文方法计算所得不同长高比前三阶固有频率见表2，与文献[14]结果一致，表明本文方法的有效性。

表2 Timoshenko简支梁前三阶固有频率

3.1 轴向运动速度对FGM Timoshenko梁稳定性影响

p=0时，对应于纯陶瓷(ZrO2)材料梁；p→∞时，对应于纯金属(Al)材料梁。长高比λ=10时，轴向运动纯陶瓷材料简支Timoshenko梁前三阶无量纲复频率随无量纲轴向运动速度变化关系见图2。由图2中看出，无量纲运动速度vvf2时，梁发生前三阶模态耦合颤振失稳，vf2为颤振失稳临界速度。

图2 陶瓷材料Timoshenko梁前三阶复频率Ω随速度v的变化曲线

长高比λ=10、梯度指标p=1时，轴向运动FGM简支梁前三阶无量纲复频率随无量纲轴向运动速度变化关系见图3。可见FGM Timoshenko梁与均质材料Timoshenko梁振动特性、失稳形式类似，经历稳定-发散失稳-再稳定-耦合模态颤振-再稳定-耦合模态颤振过程，但各阶复频率绝对值及各临界值均变小。

为进一步了解梯度指标对FGM Timoshenko梁复频率及临界值影响，对无量纲速度v=0.05，长高比λ=10时FGM Timoshenko梁一阶无量纲固有频率Re(Ω1)随梯度指标p变化曲线(v=0.05时梁均处于稳定状态)见图4。一阶发散失稳临界速度vd随梯度指标p变化曲线见图5。由图4、图5看出，p约在[0,1.5]时，Re(Ω1)、vd随梯度指标p的增加而减小；p约在[1.5,6.5]时，Re(Ω1)、vd随梯度指标p的增加而增加；v>6.5时，随梯度指标p的增加，Re(Ω1)、vd逐渐减小并趋于金属材料梁一阶固有频率及发散临界速度值。其它失稳临界值变化过程类似，不再给出图形。值得注意的是，当p取某些特殊值时，对应的FGM Timoshenko梁的Re(Ω1)及vd值相同，说明对某些不同组分含量的FGM梁，振动特性与失稳形式一致。而FGM梁的复频率曲线均位于陶瓷、金属材料梁之间。

图3 FGM Timoshenko梁前三阶复频率Ω随速度v的变化曲线(λ=10, p=1)

图5 一阶发散临界速度随梯度指标变化曲线

3.2 长高比对梁稳定性影响

梯度指标p=1、长高比λ=3时FGM Timoshenko梁前三阶复频率Ω随运动速度v变化曲线见图6。与图3比较看出，λ=3时FGM Timoshenko梁的稳定性与λ=10时有所不同。图6中0vf2时，梁在一阶模态发散失稳，二、三阶模态耦合模态颤振失稳。可见随运动速度的增大，λ=3的FGM Timoshenko梁经历稳定-一阶模态发散失稳-一、二阶耦合模态颤振失稳-一阶模态发散失稳，二、三阶模态耦合颤振失稳过程，失稳后不出现λ=10时再稳定过程；同时， FGM Timoshenko梁的复频率绝对值及失稳临界值均较λ=10时大。可见轴向运动速度对FGM Timoshenko细长梁与粗短梁稳定性影响不同，且随长高比的减小，复频率绝对值及失稳临界值均在增大。

4 结 论

本文通过建立轴向运动FGM Timoshenko梁运动微分方程，分析简支FGM Timoshenko梁振动特性及失稳形式，结论如下：

(1)随运动速度的增大，FGM Timoshenko细长梁会经历稳定-一阶发散失稳-再稳定-一、二阶模态耦合颤振失稳-再稳定-前三阶模态耦合颤振失稳过程。

(2)FGM Timoshenko粗短梁失稳形式与细长梁有所不同，且失稳后不再出现稳定状态，其频率、各失稳临界值均大于细长梁对应值。

(3)由陶瓷、金属材料组成FGM Timoshenko梁的复频率介于均质陶瓷材料Timoshenko梁与金属材料Timoshenko梁之间。但随梯度指标的增加，FGM Timoshenko梁复频率并非单调地从陶瓷材料梁向金属材料梁过渡。

参 考 文 献

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