一题多解破难点

董涛

摘 要：初中解几何题添加辅助线是难点，其中用旋转构造全等三角形时的辅助线添加尤为困难。旋转变换是一种全等变换，其要素是旋转中心和旋转角度。在解题中，如何让图形“旋转”起来，从而确定添加辅助线的方法并合理表达是学生需要去突破的一个难点。本文通过典型题目的多重解法，以期帮助学生突破利用旋转构造全等解题的难点，掌握用旋转构全等的方法，同时培养他们的空间概念，提升他们的几何直观、推理能力，增强他们的创新意识。

关键词：几何；空间概念

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）15-285-02

初中解几何题添加辅助线是难点，其中用旋转构造全等三角形时的辅助线添加尤为困难。旋转变换是一种全等变换，其要素是旋转中心和旋转角度。在解题中，如何让图形“旋转”起来，从而确定添加辅助线的方法并合理表达是学生需要去突破的一个难点。

本文通过典型题目的多重解法，以期帮助学生突破利用旋转构造全等解题的难点，掌握用旋转构全等的方法，同时培养他们的空间概念，提升他们的几何直观、推理能力，增强他们的创新意识。

典型例题：如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点M是BC上一点，

试判断AM，BM，CM之间的数量关系，并证明。

分析：本题需先观察AM，BM，CM三条线段的长短，再猜想结论可能是AM=BM+CM或 等，若结论是AM=BM+CM，学生会想到“截长补短”法，若“截长”需探索距A点，还是M截取线段等于CM或BM， 我们不妨把包含BM或CM三角形绕△ABC某顶点旋转，依据旋转可以改变图形的位置，但不改变图形大小的性质，把BM或CM搬到AM上，从而达到截长的目，得到添加辅助线的方法。

通过对上述典型题的多种解析过程的分析，可知用旋转构造全等解三角形题思路如下：

（1）首先分析题目是否需利用旋转构造全等三角形来添加辅助线解题。适用旋转构造全等的题目一般会出现在特殊的图形中有共点的两条相等线段，如等腰三角形、正多边形；通常条件分散，题设和结论没有明显关系；通常求三条线段之间的数量关系。

（2）然后确定旋转三角形。旋转三角形所包含的角或边和所求结论之间有直接或间接联系。

（3）再确定旋转中心。旋转中心是旋转三角形的一个顶点，这个顶点是两条线段的公共点，其中一条线段是三角形的边。

（4）最后确定旋转角度。旋转角度往往是和旋转中心共点的两条相等线段的夹角。

（5）画出旋转后的三角形，并合理表达辅助线是如何添加，往往旋转变换的过程不作为辅助线的作法。

（6）证明旋转前后的两个三角形全等，完成解题过程。

从以上的归纳可以发现，用旋转构造全等解题并不是无法可依，只要掌握这种题型的特征和解题思路，定能突破难点，从而有效地提升学生对几何图形的思维能力。