对高中数学中分段函数有关问题的解决方法的思考

苏旭景

摘要：分段函数在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，它可以考查函数的很多重要知识，是高考的一个热点，分段数与函数各个性质的结合与应用。

关键词：分段函数；方程；不等式；值域（最值）；单调性；周期性；图像

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0264-01

因为分段函数在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，它可以考查函数的很多重要知识，它可以与求值方程、不等式，函数的单调性、奇偶性、图像、周期和最值等问题相结合。所以分段函数是高考的一个热点，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它的基本认识我们应注意以下几点。

1.分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数。

2.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集。

3.解决分段函数的方法：分段解决，先分后合。

一、分段函数与方程、不等式相结合

解方程、不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些方程、不等式（组）解集的并集。

例1：（2011·江苏高考）已知实数a≠0，函数f（x）=2x+a，x<1

-x-2a，x≥1.若f（1-a）=f（1+a），则a的值为________。

解：首先讨论1-a，1+a与1的关系，

当a<0时，1-a>1，1+a<1，所以f（1-a）=-（1-a）-2a=-1-a，f（1+a）=2（1+a）+a=3a+2.

因为f（1-a）=f（1+a），所以-1-a=3a+2，所以a=-.

当a>0时，1-a<1，1+a>1，所以f（1-a）=2（1-a）+a=2-a；

f（1+a）=-（1+a）-2a=-3a-1.

因为f（1-a）=f（1+a），所以2-a=-3a-1，所以a=-（舍去）。

综上，满足条件的a=-。

分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x>1时分别解得x的范围，再求其并集。

二、分段函数与值域（最值）相结合

研究分段函数的值域、最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

例2：（2013北京13）函数f（x）=

logx，x≥1

2x，x<1的值域为 。

解：当x>1时，f（x）=logx≤0；当x<1时，f（x）=2x∈（0，2]，所以值域为（-∞，2）。

三、分段函数与单调性相结合

各段单调（如递增）+分界点处不等关系。

例3：（2012·长春模拟）ax（x>1）

（4-

）x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）。

A.（1，+∞） B.4，8） C.（4，8） D.（1，8）

解：因为f（x）是R上的单调递增函数，所以可得a>1，

4-

>0，

a≥4-

+2. 解得4≤a<8。

点评：此类问题学生在考虑时容易忽略分界点处的不等关系。

四、分段函数与周期性相结合

例4：（2012年江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间上[-1，1]，f（x）=ax+1，-1≤x<0

，0≤x≤1

其中a，b∈R.若f

=f

，则a+3b的值为 。

【解析】∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，∴f（-1）=f（1），即-a+1= ①。

又∵f

=f

-=-a+1，f

=f

∴-a+1=②。

联立①②，解得：a=2，b=-4。∴a+3b=-10。【答案】-10。

五、分段函数与图像相结合

例5：（2013新课标卷一12）已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）。

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解：画出函数图像如图所示，当x≤0时，g（x）=f（x）=x2-2x，

g'（x）=2x-2，g'（0）=-2，故a≥-2.

当x>0时，g（x）=f（x）=ln（x+1），g'（x）=。

由于g（x）上任意点的切线斜率都要大于a，所以a≤0，综上-2≤a≤0，选D。

点评：本题涉及分段函数、不等式、参数的取值范围不下3个知识点。解题途径一般采用数形结合法，综合考查学生解决问题的综合能力。此题是数形结合的典型代表，也是新课标“惯用”的命题模式，2009年、2010年、2011年均用此类命题形式进行命题。

通过以上几例体现分段数与函数各个性质的结合与应用，希望对学习分段函数有所帮助。

endprint

摘要：分段函数在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，它可以考查函数的很多重要知识，是高考的一个热点，分段数与函数各个性质的结合与应用。

关键词：分段函数；方程；不等式；值域（最值）；单调性；周期性；图像

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0264-01

因为分段函数在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，它可以考查函数的很多重要知识，它可以与求值方程、不等式，函数的单调性、奇偶性、图像、周期和最值等问题相结合。所以分段函数是高考的一个热点，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它的基本认识我们应注意以下几点。

1.分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数。

2.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集。

3.解决分段函数的方法：分段解决，先分后合。

一、分段函数与方程、不等式相结合

解方程、不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些方程、不等式（组）解集的并集。

例1：（2011·江苏高考）已知实数a≠0，函数f（x）=2x+a，x<1

-x-2a，x≥1.若f（1-a）=f（1+a），则a的值为________。

解：首先讨论1-a，1+a与1的关系，

当a<0时，1-a>1，1+a<1，所以f（1-a）=-（1-a）-2a=-1-a，f（1+a）=2（1+a）+a=3a+2.

因为f（1-a）=f（1+a），所以-1-a=3a+2，所以a=-.

当a>0时，1-a<1，1+a>1，所以f（1-a）=2（1-a）+a=2-a；

f（1+a）=-（1+a）-2a=-3a-1.

因为f（1-a）=f（1+a），所以2-a=-3a-1，所以a=-（舍去）。

综上，满足条件的a=-。

分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x>1时分别解得x的范围，再求其并集。

二、分段函数与值域（最值）相结合

研究分段函数的值域、最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

例2：（2013北京13）函数f（x）=

logx，x≥1

2x，x<1的值域为 。

解：当x>1时，f（x）=logx≤0；当x<1时，f（x）=2x∈（0，2]，所以值域为（-∞，2）。

三、分段函数与单调性相结合

各段单调（如递增）+分界点处不等关系。

例3：（2012·长春模拟）ax（x>1）

（4-

）x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）。

A.（1，+∞） B.4，8） C.（4，8） D.（1，8）

解：因为f（x）是R上的单调递增函数，所以可得a>1，

4-

>0，

a≥4-

+2. 解得4≤a<8。

点评：此类问题学生在考虑时容易忽略分界点处的不等关系。

四、分段函数与周期性相结合

例4：（2012年江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间上[-1，1]，f（x）=ax+1，-1≤x<0

，0≤x≤1

其中a，b∈R.若f

=f

，则a+3b的值为 。

【解析】∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，∴f（-1）=f（1），即-a+1= ①。

又∵f

=f

-=-a+1，f

=f

∴-a+1=②。

联立①②，解得：a=2，b=-4。∴a+3b=-10。【答案】-10。

五、分段函数与图像相结合

例5：（2013新课标卷一12）已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）。

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解：画出函数图像如图所示，当x≤0时，g（x）=f（x）=x2-2x，

g'（x）=2x-2，g'（0）=-2，故a≥-2.

当x>0时，g（x）=f（x）=ln（x+1），g'（x）=。

由于g（x）上任意点的切线斜率都要大于a，所以a≤0，综上-2≤a≤0，选D。

点评：本题涉及分段函数、不等式、参数的取值范围不下3个知识点。解题途径一般采用数形结合法，综合考查学生解决问题的综合能力。此题是数形结合的典型代表，也是新课标“惯用”的命题模式，2009年、2010年、2011年均用此类命题形式进行命题。

通过以上几例体现分段数与函数各个性质的结合与应用，希望对学习分段函数有所帮助。

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摘要：分段函数在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，它可以考查函数的很多重要知识，是高考的一个热点，分段数与函数各个性质的结合与应用。

关键词：分段函数；方程；不等式；值域（最值）；单调性；周期性；图像

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0264-01

因为分段函数在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，它可以考查函数的很多重要知识，它可以与求值方程、不等式，函数的单调性、奇偶性、图像、周期和最值等问题相结合。所以分段函数是高考的一个热点，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它的基本认识我们应注意以下几点。

1.分段函数是一个函数，不能把它误认为是几个函数。

2.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集。

3.解决分段函数的方法：分段解决，先分后合。

一、分段函数与方程、不等式相结合

解方程、不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些方程、不等式（组）解集的并集。

例1：（2011·江苏高考）已知实数a≠0，函数f（x）=2x+a，x<1

-x-2a，x≥1.若f（1-a）=f（1+a），则a的值为________。

解：首先讨论1-a，1+a与1的关系，

当a<0时，1-a>1，1+a<1，所以f（1-a）=-（1-a）-2a=-1-a，f（1+a）=2（1+a）+a=3a+2.

因为f（1-a）=f（1+a），所以-1-a=3a+2，所以a=-.

当a>0时，1-a<1，1+a>1，所以f（1-a）=2（1-a）+a=2-a；

f（1+a）=-（1+a）-2a=-3a-1.

因为f（1-a）=f（1+a），所以2-a=-3a-1，所以a=-（舍去）。

综上，满足条件的a=-。

分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x>1时分别解得x的范围，再求其并集。

二、分段函数与值域（最值）相结合

研究分段函数的值域、最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

例2：（2013北京13）函数f（x）=

logx，x≥1

2x，x<1的值域为 。

解：当x>1时，f（x）=logx≤0；当x<1时，f（x）=2x∈（0，2]，所以值域为（-∞，2）。

三、分段函数与单调性相结合

各段单调（如递增）+分界点处不等关系。

例3：（2012·长春模拟）ax（x>1）

（4-

）x+2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）。

A.（1，+∞） B.4，8） C.（4，8） D.（1，8）

解：因为f（x）是R上的单调递增函数，所以可得a>1，

4-

>0，

a≥4-

+2. 解得4≤a<8。

点评：此类问题学生在考虑时容易忽略分界点处的不等关系。

四、分段函数与周期性相结合

例4：（2012年江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间上[-1，1]，f（x）=ax+1，-1≤x<0

，0≤x≤1

其中a，b∈R.若f

=f

，则a+3b的值为 。

【解析】∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，∴f（-1）=f（1），即-a+1= ①。

又∵f

=f

-=-a+1，f

=f

∴-a+1=②。

联立①②，解得：a=2，b=-4。∴a+3b=-10。【答案】-10。

五、分段函数与图像相结合

例5：（2013新课标卷一12）已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）。

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

解：画出函数图像如图所示，当x≤0时，g（x）=f（x）=x2-2x，

g'（x）=2x-2，g'（0）=-2，故a≥-2.

当x>0时，g（x）=f（x）=ln（x+1），g'（x）=。

由于g（x）上任意点的切线斜率都要大于a，所以a≤0，综上-2≤a≤0，选D。

点评：本题涉及分段函数、不等式、参数的取值范围不下3个知识点。解题途径一般采用数形结合法，综合考查学生解决问题的综合能力。此题是数形结合的典型代表，也是新课标“惯用”的命题模式，2009年、2010年、2011年均用此类命题形式进行命题。

通过以上几例体现分段数与函数各个性质的结合与应用，希望对学习分段函数有所帮助。

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